湖南省普通高中2024屆數(shù)學高二上期末考試試題含解析

湖南省普通高中2024屆數(shù)學高二上期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在上單調(diào)遞減的為（）A. B.C. D.2．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.0C.?1 D.?33．用數(shù)學歸納法證明時，第一步應驗證不等式（）A. B.C. D.4．瑞士數(shù)學家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點，，其歐拉線方程為，則頂點的坐標可以是（）A. B.C. D.5．已知，若與的展開式中的常數(shù)項相等，則（）A.1 B.3C.6 D.96．宋元時期數(shù)學名著《算學啟蒙》中有關于“松竹并生"的問題，松長三尺，竹長一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等，如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的，分別為3，1，則輸出的等于A.5 B.4C.3 D.27．等差數(shù)列中，，則前項的和（）A. B.C. D.8．設命題，，則為（）.A.， B.，C.， D.，9．某校去年有1100名同學參加高考，從中隨機抽取50名同學總成績進行分析，在這個調(diào)查中，下列敘述錯誤的是A.總體是：1100名同學的總成績 B.個體是：每一名同學C.樣本是：50名同學的總成績 D.樣本容量是：5010．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一．書中有這樣一道題目：把個面包分給個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A. B.C. D.11．已知向量，則（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且，，則橢圓離心率是___________14．某單位現(xiàn)有三個部門競崗，甲、乙、丙三人每人只競選一個部門，設事件A為“三人競崗部門都不同”，B為“甲獨自競崗一個部門”，則______.15．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為____________.16．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《算法九章·商功》中，后人稱之為“三角垛”.已知某“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……設各層（從上往下）球數(shù)構成一個數(shù)列，則___________，___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別是上的點，滿足.（1）求證：四點共面；（2）設與交于點，求證：三點共線.18．（12分）某雙曲線型自然冷卻通風塔的外形是由圖1中的雙曲線的一部分繞其虛軸所在的直線旋轉一周所形成的曲面，如圖2所示.雙曲線的左、右頂點分別為、.已知該冷卻通風塔的最窄處是圓O，其半徑為1；上口為圓，其半徑為；下口為圓，其半徑為；高（即圓與所在平面間的距離）為.（1）求此雙曲線的方程；（2）以原平面直角坐標系的基礎上，保持原點和x軸、y軸不變，建立空間直角坐標系，如圖3所示.在上口圓上任取一點，在下口圓上任取一點.請給出、的值，并求出與的值；（3）在（2）的條件下，是否存在點P、Q，使得P、A、Q三點共線.若不存在，請說明理由；若存在，求出點P、Q的坐標，并證明此時線段PQ上任意一點都在曲面上.19．（12分）已知如圖①，在菱形ABCD中，且，為AD的中點，將沿BE折起使，得到如圖②所示的四棱錐，在四棱錐中，求解下列問題：（1）求證：BC平面ABE；（2）若P為AC中點，求二面角的余弦值.20．（12分）已知在數(shù)列中，，且.（1）求，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項公式及前n項和.21．（12分）已知函數(shù).（1）求的導數(shù)；（2）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程.22．（10分）已知函數(shù).（1）當時，證明：函數(shù)圖象恒在函數(shù)的圖象的下方；（2）討論方程的根的個數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】A.利用正切函數(shù)的性質判斷；B.作出的圖象判斷；C.作出的圖象判斷；D.作出的圖象判斷.【題目詳解】A.是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯誤；B.如圖所示：，由圖象知：函數(shù)是以為最小正周期，在上單調(diào)遞減，故正確；C.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯誤；D.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯誤；故選：B2、B【解題分析】先畫出可行域，由，得，作出直線，過點時，取得最大值，求出點的坐標代入目標函數(shù)中可得答案【題目詳解】不等式組表示的可行域如圖所示，由，得，作出直線，過點時，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：B3、B【解題分析】取即可得到第一步應驗證不等式.【題目詳解】由題意得，當時，不等式為故選：B4、C【解題分析】設出點C坐標，求出的重心并代入歐拉線方程，驗證并排除部分選項，余下選項再由外心、垂心驗證判斷作答.【題目詳解】設頂點的坐標為，則的重心坐標為，依題意，，整理得：，對于A，當時，，不滿足題意，排除A；對于D，當時，，不滿足題意，排除D；對于B，當時，，對于C，當時，，直線AB的斜率，線段AB中點，線段AB中垂線方程：，即，由解得：，于是得的外心，若點，則直線BC的斜率，線段BC中點，該點與點M確定直線斜率為，顯然，即點M不在線段BC的中垂線上，不滿足題意，排除B；若點，則直線BC的斜率，線段BC中點，線段BC中垂線方程為：，即，由解得，即點為的外心，并且在直線上，邊AB上的高所在直線：，即，邊BC上的高所在直線：，即，由解得：，則的垂心，此時有，即的垂心在直線上，選項C滿足題意.故選：C【題目點撥】結論點睛：的三頂點，則的重心為.5、B【解題分析】根據(jù)二項展開式的通項公式即可求出【題目詳解】的展開式中的常數(shù)項為，而的展開式中的常數(shù)項為，所以，又，所以故選：B6、B【解題分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【題目詳解】解：當n＝1時，a＝3，b＝2，滿足進行循環(huán)的條件，當n＝2時，a，b＝4，滿足進行循環(huán)的條件，當n＝3時，a，b＝8，滿足進行循環(huán)的條件，當n＝4時，a，b＝16，不滿足進行循環(huán)的條件，故輸出的n值為4，故選：B【題目點撥】本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答7、D【解題分析】利用等差數(shù)列下標和性質可求得，根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求得結果.【題目詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，，解得：；.故選：D.8、B【解題分析】根據(jù)全稱命題和特稱命題互為否定，即可得到結果.【題目詳解】因為命題，，所以為，.故選：B.9、B【解題分析】采用逐一驗證法，根據(jù)總體，個體，樣本的概念，可得結果.【題目詳解】據(jù)題意：總體是1100名同學的總成績，故A正確個體是每名同學的總成績，故B錯樣本是50名同學的總成績，故C正確樣本容量是：50，故D正確故選：B【題目點撥】本題考查總體，個體，樣本的概念，屬基礎題.10、A【解題分析】設5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，得到關于關系式，即可求出結論.【題目詳解】設5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.【題目點撥】本題以數(shù)學文化為背景，考查等差數(shù)列的前項和、通項公式基本量的計算，等差數(shù)列的性質應用是解題的關鍵，屬于中檔題.11、B【解題分析】根據(jù)向量加減法運算的坐標表示即可得到結果【題目詳解】故選：B.12、D【解題分析】由題意轉化為，恒成立，參變分離后轉化為，求函數(shù)的最大值，即可求解.【題目詳解】函數(shù)的定義域是，，若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即在恒成立，所以，恒成立，即設，，當時，函數(shù)取得最大值1，所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】先由，根據(jù)橢圓的定義，求出，，再由余弦定理，根據(jù)，即可列式求出離心率.【題目詳解】因為點在橢圓上，所以，又，所以，因，在中，由，根據(jù)余弦定理可得，解得（負值舍去）故答案為：.【題目點撥】本題主要考查求橢圓的離心率，屬于?？碱}型.14、##0.5【解題分析】根據(jù)給定條件求出事件B和AB的概率，再利用條件概率公式計算作答.【題目詳解】依題意，，，所以.故答案：15、【解題分析】先求出，然后當時，由，得，兩式相減可求出，再驗證，從而可得數(shù)列為等比數(shù)列，進而可求出，再將問題轉化為在上恒成立，所以，從而可求出實數(shù)的取值范圍【題目詳解】當時，，得，當時，由，得，兩式相減得，得，滿足此式，所以，因為，所以數(shù)列是以為公比，為首項的等比數(shù)列，所以，所以對于任意的，不等式恒成立，可轉化為對于任意的，恒成立，即在上恒成立，所以，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為故答案為：【題目點撥】關鍵點點睛：此題考查數(shù)列通項公的求法，等比數(shù)列求和公式的應用，考查不等式恒成立問題，解題的關鍵是求出數(shù)列的通項公式后求得，再將問題轉化為在上恒成立求解即可，考查數(shù)學轉化思想，屬于較難題16、①.②.【解題分析】根據(jù)，，得到，利用累加法和等差數(shù)列求和公式求出，再利用裂項抵消法進行求和.【題目詳解】因為，，，，，以上個式子累加，得，則；因為，所以.故答案為：，.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解題分析】【小問1詳解】連接AC，分別是的中點，.在中，，所以四點共面.【小問2詳解】，所以，又平面平面，同理平面，為平面與平面的一個公共點.又平面平面，即三點共線.18、（1）；（2），，，；（3）存在，或，證明見解析.【解題分析】（1）設雙曲線的標準方程為，易知，設，，代入求解即可；（2）分析圓，圓的方程即可求解；（3）利用圓的參數(shù)方程，設，，利用，即可求解，再利用線段PQ上任意一點的特征證明點在曲面上；【小問1詳解】設雙曲線的標準方程為，由題意知，點，的橫坐標分別為，，則設點，的坐標為，，，，，解得，，又塔高米，，解得，故所求的雙曲線的方程為【小問2詳解】點在圓上，；點在圓上，；圓，其半徑為，；圓，其半徑為，【小問3詳解】存在點P、Q，使得P、A、Q三點共線.由點在半徑為的圓上，（為參數(shù)）；點在半徑為的圓上，（為參數(shù)）；由已知得，整理得兩式平方求和得，則或當時，，當時，證明：，則，利用，，其中又曲面上的每一點可以是圓與旋轉任意坐標系上的雙曲線的交點，旋轉直角坐標系，保持原點和y軸不變，點所在的軸為軸，此時，滿足，即即點是曲面上的點.19、（1）證明見解析；（2）【解題分析】（1）利用題中所給的條件證明，，因為，所以，，即可證明平面；（2）先證明平面，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用向量的夾角公式即可求解【題目詳解】（1）在圖①中，連接，如圖所示：因為四邊形為菱形，，所以是等邊三角形.因為為的中點，所以，.又，所以.在圖②中，，所以，即.因為，所以，.又，，平面.所以平面.（2）由（1）知，，因為，，平面.所以平面.以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系：則，，，，.因為為的中點，所以.所以，.設平面的一個法向量為，由得.令，得，，所以.設平面的一個法向量為.因為，由得令，，，得則，由圖象可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20、（1），，證明見解析（2），【解題分析】（1）根據(jù)遞推關系求出，，對遞推公式變形，即可得證；（2）結合（1）求得通項公式，分組求和.【小問1詳解】因為，且所以，，∵，∴，∵，∴，且，∴數(shù)列是等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可知是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，即，即；.21、（1）；（2）.【解題分析】(1)利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及求導法則直接計算作答.(2)求出，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.【小問1詳解】函數(shù)定義域為，所以函數(shù).【小問2詳解】由(1)知，，而，于是得，即，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程是.2