2024學(xué)年湖南省益陽市桃江第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2024學(xué)年湖南省益陽市桃江第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)，當(dāng)時，平均變化率為3，則等于（）A. B.2C.3 D.12．已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為（）A.6 B.36C.10 D.3．已知的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為，則（）A.4 B.5C.6 D.74．加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．則橢圓的蒙日圓的半徑為（）A.3 B.4C.5 D.65．下列說法錯誤的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的最大值為2021C.“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的必要不充分條件D.已知，且，則的最小值為96．若直線與直線平行，則（）A. B.C. D.7．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，若，則的值為（）A.-5 B.-3C.1 D.78．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.9．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，…構(gòu)成的數(shù)列的第n項(xiàng)，則的值為（）A.1225 B.1275C.1326 D.136210．過點(diǎn)，的直線的斜率等于1，則m的值為（）A.1 B.4C.1或3 D.1或411．若圓與直線相切，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.或3C. D.或12．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中,石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺(即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的).下圖給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位:cm),那么該壺的容量約為（）A.100 B.C.300 D.400二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比q為正整數(shù)，若，，且是正整數(shù)，則______14．用組成所有沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，滿足與相鄰并且與不相鄰的五位數(shù)共有____________個.(結(jié)果用數(shù)值表示)15．已知雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________.16．定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓是“黃金橢圓”，則_________.若“黃金橢圓”兩個焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓C上的異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是的內(nèi)心，連接并延長交于點(diǎn)N，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）某消費(fèi)者協(xié)會在3月15號舉行了以“攜手共治，暢享消費(fèi)”為主題的大型宣傳咨詢服務(wù)活動，著力提升消費(fèi)者維權(quán)意識，組織方從參加活動的群眾中隨機(jī)抽取120名群眾，按年齡將這120名群眾分成5組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中m的值；（2）估算這120名群眾的年齡的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；（3）已知第1組群眾中男性有2人，組織方要從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成維權(quán)志愿者服務(wù)隊(duì)，求恰有一名女性的概率.19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足bcosA+（2c+a）cosB=0（1）求角B的大?。唬?）若b=4，△ABC的面積為，求a+c的值20．（12分）如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的一點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時，求點(diǎn)B到平面DFE距離.21．（12分）已知圓C1圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線相切（1）求圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過點(diǎn)M（1，2），直線l被圓C1所截得的弦長為，求直線l的方程22．（10分）設(shè)點(diǎn)是拋物線上異于原點(diǎn)O的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同）（1）已知點(diǎn)，求的最小值；（2）若，直線AB的斜率是，求的值；（3）若，當(dāng)時，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】直接利用平均變化率的公式求解.【題目詳解】解：由題得.故選：B2、B【解題分析】由公切線條數(shù)得兩圓外切，由此可得的關(guān)系，從而點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，記，由求得的最小值，平方后即得結(jié)論【題目詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，半徑為，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，半徑為，兩圓有三條公切線，則兩圓外切，所以，即，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，記，，所以，所以的最小值為故選：B3、C【解題分析】利用賦值法確定展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和以及二項(xiàng)式系數(shù)的和，利用比值為，列出關(guān)于的方程，解方程.【題目詳解】二項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為，二項(xiàng)式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為，因?yàn)楦黜?xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為，所以，.故選：C.4、A【解題分析】由蒙日圓的定義，確定出圓上的一點(diǎn)即可求出圓的半徑.【題目詳解】由蒙日圓的定義，可知橢圓的兩條切線的交點(diǎn)在圓上，所以，故選：A5、C【解題分析】對于A：用存在量詞否定全稱命題，直接判斷；對于B：根據(jù)充分不必要條件直接判斷；對于C：判斷出“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件，即可判斷；對于D：利用基本不等式求最值.【題目詳解】對于A：用存在量詞否定全稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故A正確；對于B：若“”是“或”的充分不必要條件，所以，即實(shí)數(shù)m的最大值為2021.故B正確；對于C：“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”，則，解得：或，所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件.故C錯誤；對于D：已知，且，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）故D正確.故選：C6、D【解題分析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】由于直線與直線平行，則，解得.故選：D.7、C【解題分析】根據(jù)，可知向量建立方程求解即可.【題目詳解】由題意根據(jù)，可知向量，則有，解得.故選：C8、D【解題分析】由已知設(shè)拋物線方程為，由題意可得，求出，從而可得拋物線的方程【題目詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以設(shè)拋物線方程為，則，得，所以拋物線方程為，故選：D，9、B【解題分析】觀察前4項(xiàng)可得，從而可求得結(jié)果【題目詳解】由題意可得，……，觀察規(guī)律可得，所以，故選：B10、A【解題分析】解方程即得解.【題目詳解】由題得.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查斜率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.11、D【解題分析】利用圓心到直線的距離等于半徑可得答案.【題目詳解】若圓與直線相切，則到直線的距離為，所以，解得，或.故選：D.12、B【解題分析】根據(jù)圓臺的體積等于兩個圓錐的體積之差，即可求出【題目詳解】設(shè)大圓錐的高為，所以，解得故故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查圓臺體積的求法以及數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由已知等差、等比數(shù)列以及，，是正整數(shù)，可得，結(jié)合q為正整數(shù)，進(jìn)而求.【題目詳解】由，，令，其中m為正整數(shù)，有，又為正整數(shù)，所以當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得不是正整數(shù)，故答案為：14、【解題分析】由題意，先利用捆綁法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.【題目詳解】因?yàn)闈M足與相鄰并且與不相鄰，則將捆綁，內(nèi)部排序得，再對和全排列得，利用插空法將和插空得，所以滿足題意得五位數(shù)有.故答案為：15、【解題分析】依題意，設(shè)所求的雙曲線的方程為.點(diǎn)為該雙曲線上的點(diǎn)，.該雙曲線的方程為：，即.故本題正確答案是.16、①.②.【解題分析】第一空，直接套入“黃金橢圓”新定義即可，第二空，從內(nèi)切圓入手，找到等量關(guān)系，進(jìn)而得到，求解即可【題目詳解】由題，，所以如圖，連接，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，即，∴，∴，∴∴，∴故答案為：；【題目點(diǎn)撥】本題從新定義出發(fā)，第一空直接套用定義可得答案，第二空升華，需要在理解新定義的基礎(chǔ)上，借助內(nèi)切圓的相關(guān)公式求解，層層遞進(jìn)，是一道好題．關(guān)鍵點(diǎn)在于找到“”這一關(guān)系三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2），.【解題分析】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用分組求和的方法結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.【題目詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，且，依題意有，由，又，解得，∴，即，；（2）∵，∴前項(xiàng)和.∴前項(xiàng)和，.18、（1）（2）（3）【解題分析】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率和為1求出；（2）求出概率對應(yīng)的值即為中位數(shù)；（3）求出第一組中總?cè)藬?shù)，得女性人數(shù)，然后求得恰有一名女性的方法數(shù)和總的方法數(shù)后可得概率【小問1詳解】解：因?yàn)轭l率分布直方圖的小矩形面積和為1，所以，解得，【小問2詳解】解：前2組頻率和為，前3組頻率和為，所以中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為，則，；【小問3詳解】解：第一組總?cè)藬?shù)為，男性人2人，則女性有4人，不妨記兩名男性為，四名女性為，則隨機(jī)抽取2名群眾的可能為，，，共15種方案，其中恰有一名女性的方法數(shù)，共8種，所以第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成維權(quán)志愿者服務(wù)隊(duì)，求恰有一名女性的概率為19、（1）（2）【解題分析】（1）利用正弦定理化簡，通過兩角和與差的三角函數(shù)求出，即可得到結(jié)果（2）利用三角形的面積求出，通過由余弦定理求解即可【題目詳解】解：（1）因?yàn)閎cosA=（2c+a）cos（π﹣B），所以sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB所以sin（A+B）=﹣2sinCcosB∴cosB=﹣∴B=（2）由=得ac=4由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2+ac=16∴a+c=2【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用正、余弦定理及三角形的面積公式解三角形問題，其中在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到20、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得.（2）利用平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值列方程，求得，結(jié)合向量法求得到平面的距離.【小問1詳解】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向建立如圖所示的建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，可得，，，.，.因?yàn)椋?【小問2詳解】，設(shè)為平面DEF的法向量，則，即，可取.因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋?由題設(shè)，可得，所以.點(diǎn)B到DFE平面距離.21、（1）（2）或【解題分析】（1）由圓心到直線的距離求得半徑，可得圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，求得直線l被圓C1所截得的弦長為，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)出直線方程，由已知弦長可得圓心到直線的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式列式求k，則直線方程可求【小問1詳解】∵原點(diǎn)O到直線的距離為，∴圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線方程為x＝1，代入，得，即直線l被圓C1所截得的弦長為，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即∵直線l被圓C1所截得的弦長為，圓的半徑為2，則圓心到直線l的距離，解得∴直線l的方程為，即綜上，直線l的方程為或22、（1）；（2）3；（3）；【解題分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)滿足拋物線，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求其最值即可；（2）根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出的直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得點(diǎn)坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)坐標(biāo)，再利用斜率計(jì)算公式求得即可；（3）根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，求得關(guān)于的一元二次方程，利用其有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即可求得的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，故可得，又，