2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城二中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城二中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓：的左焦點為，橢圓上的點與關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則的值是（）A.3 B.4C.6 D.82．某學(xué)校的校車在早上6：30，6：45，7：00到達(dá)某站點，小明在早上6：40至7：10之間到達(dá)站點，且到達(dá)的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過5分鐘的概率是（）A. B.C. D.3．平面上動點到點的距離與它到直線的距離之比為，則動點的軌跡是（）A.雙曲線 B.拋物線C.橢圓 D.圓4．已知雙曲線的兩個焦點，，是雙曲線上一點，且，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，則（）A.1 B.2C.3 D.56．已知兩個向量，若，則的值為（）A. B.C.2 D.87．設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項積為，且，則（）A. B.C. D.8．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：X123P則數(shù)學(xué)期望（）A. B.C.1 D.29．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，是函數(shù)的兩個不同零點，則（）A.16 B.C.14 D.10．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的．”從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（）種A.54 B.72C.96 D.12011．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)．若數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則的最大值為（）A.9 B.12C.20 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項和為，且，若點在直線上，則______；______.14．半徑為R的圓外接于，且，若，則面積的最大值為________.15．在單位正方體中，點E為AD的中點，過點B，E，的平面截該正方體所得的截面面積為______.16．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓.人們將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點，，動點滿足，記動點的軌跡為曲線，給出下列四個結(jié)論：①曲線方程為；②曲線上存在點，使得到點的距離為；③曲線上存在點，使得到點的距離大于到直線的距離；④曲線上存在點，使得到點與點的距離之和為.其中所有正確結(jié)論的序號是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，已知（1）求數(shù)列通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為．定義為不超過x的最大整數(shù)，例如．當(dāng)時，求n的值18．（12分）若函數(shù)與的圖象有一條與直線平行的公共切線，求實數(shù)a的值19．（12分）在公差為的等差數(shù)列中,已知，且成等比數(shù)列.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.20．（12分）已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線相交于兩個不同的點，為坐標(biāo)原點，若，求實數(shù)的值；21．（12分）已知點，圓C：，l：.（1）若直線過點M，且被圓C截得的弦長為，求該直線的方程；（2）設(shè)P為已知直線l上的動點，過點P向圓C作一條切線，切點為Q，求的最小值.22．（10分）男子10米氣步槍比賽規(guī)則如下：在資格賽中，射手在距離靶子10米處，采用立姿，在105分鐘內(nèi)射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8名的射手進(jìn)入決賽；在決賽中，每位射手僅射擊10發(fā)子彈．已知甲乙兩名運動員均進(jìn)入了決賽，資格賽中的環(huán)數(shù)情況整理得下表：環(huán)數(shù)頻數(shù)678910甲2352327乙5502525以各人這60發(fā)子彈環(huán)數(shù)的頻率作為決賽中各發(fā)子彈環(huán)數(shù)發(fā)生的概率，甲乙兩人射擊互不影響（1）求甲運動員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；（2）決賽打完第9發(fā)子彈后，甲比乙落后2環(huán)，求最終甲能戰(zhàn)勝乙（甲環(huán)數(shù)大于乙環(huán)數(shù)）的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】令橢圓C的右焦點，由已知條件可得四邊形為平行四邊形，再利用橢圓定義計算作答.【題目詳解】令橢圓C的右焦點，依題意，線段與互相平分，于是得四邊形為平行四邊形，因此，而橢圓：的長半軸長，所以.故選：D2、B【解題分析】求出小明等車時間不超過5分鐘能乘上車的時長，即可計算出概率.【題目詳解】6:40至7：10共30分鐘，小明同學(xué)等車時間不超過5分鐘能乘上車只能是6：40至6:45和6:55至7:00到站，共10分鐘，所以所求概率為.故選：B3、A【解題分析】設(shè)點，利用距離公式化簡可得出點的軌跡方程，即可得出動點的軌跡圖形.【題目詳解】設(shè)點，由題意可得，化簡可得，即，曲線為反比例函數(shù)圖象，故動點的軌跡是雙曲線.故選：A.4、D【解題分析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【題目詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D5、C【解題分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義，以及運算法則，即可求解.【題目詳解】，，所以，所以故選：C6、B【解題分析】直接利用空間向量垂直的坐標(biāo)運算計算即可.【題目詳解】因為，所以，即，解得.故選：B7、B【解題分析】當(dāng)可求得；當(dāng)時，可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式可推導(dǎo)得到，由求得后，利用可求得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，由得：，即，，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，解得：，，經(jīng)檢驗：滿足，，故選：B.8、D【解題分析】利用已知條件，結(jié)合期望公式求解即可【題目詳解】解：由題意可知：故選：D9、B【解題分析】由題意得到，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，化簡，即可求解.【題目詳解】由，是函數(shù)的兩個不同零點，可得，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得則.故選：B.10、A【解題分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，由加法原理計算可得答案【題目詳解】根據(jù)題意，甲乙都沒有得到冠軍，而乙不是最后一名，分2種情況討論：①甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；則一共有種不同的名次情況，故選：A11、A【解題分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，利用雙曲線，結(jié)合建立方程求出，，即可求出雙曲線的漸近線方程【題目詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓中的，雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，雙曲線中，雙曲線滿足，即又在雙曲線中，即，解得：，所以雙曲線的方程為，故選：A【題目點撥】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)橢圓和雙曲線的關(guān)系建立方程求出，，是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題12、C【解題分析】先得到及遞推公式，要想最大，則分兩種情況，負(fù)數(shù)且最小或為正數(shù)且最大，進(jìn)而求出最大值.【題目詳解】①，當(dāng)時，，當(dāng)時，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，當(dāng)是公差為2的等差數(shù)列，且時，最小，最大，此時，所以，此時；當(dāng)且是公差為2的等差數(shù)列時，最大，最大，此時，所以，此時綜上：的最大值為20故選：C【題目點撥】方法點睛：數(shù)列相關(guān)的最值求解，要結(jié)合題干條件，使用不等式放縮，函數(shù)單調(diào)性或?qū)Ш瘮?shù)等進(jìn)行求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.；②.【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式、裂項相消法進(jìn)行求解即可.【題目詳解】因為點在直線上，所以，所以數(shù)列是以，公差為的等差數(shù)列，所以；因為，所以，于是，故答案為：；14、【解題分析】利用正弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，然后用余弦定理求得C；利用三角形面積公式，結(jié)合兩角差的正弦函數(shù)公式和二倍角公式得，再利用輔助角公式得，最后利用函數(shù)的值域計算得結(jié)論.【題目詳解】因為所以由正弦定理得：，即，所以由余弦定理可得：，又，故.由正弦定理得：，，所以，所以當(dāng)時，S最大，.若，則面積的最大值為.故答案為：.【題目點撥】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，二倍角公式及應(yīng)用，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.15、【解題分析】根據(jù)題意，取的中點，連接、、、，分析可得四邊形為平行四邊形，則要求的截面就是四邊形，進(jìn)而可得為菱形，連接、，求出、的長，計算可得答案【題目詳解】根據(jù)題意，取的中點，連接、、、，易得，，則四邊形為平行四邊形，過點，，的截面就是，又由正方體為單位正方體，則，則為菱形，連接、，易得，，則，即要求截面的面積為，故答案為：16、①④【解題分析】設(shè),根據(jù)滿足,利用兩點間距離公式化簡整理，即可判斷①是否正確；由①可知，圓上的點到的距離的范圍為,進(jìn)而可判斷②是否正確；設(shè)，根據(jù)題意可知，再根據(jù)在曲線上，可得，由此即可判斷③是否正確；由橢圓的的定義，可知在橢圓上，再根據(jù)橢圓與曲線的位置關(guān)系，即可判斷④是否正確.【題目詳解】設(shè),因為滿足,所以,整理可得：,即,所以①正確；對于②中,由①可知，點在圓的外部,因為到圓心的距離,半徑為,所以圓上的點到的距離的范圍為,而,所以②不正確；對于③中,假設(shè)存在，使得到點的距離大于到直線的距離,又，到直線的距離，所以，化簡可得，又，所以，即，故假設(shè)不成立，故③不正確；對于④中,假設(shè)存在這樣的點，使得到點與點的距離之和為，則在以點與點為焦點，實軸長為的橢圓上，即在橢圓上，易知橢圓與曲線有交點，故曲線上存在點，使得到點與點的距離之和為；所以④正確.故答案為：①④.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）10【解題分析】（1）由等差數(shù)列的前項和公式求得公差，可得通項公式；（2）用裂項相消法求和求得，根據(jù)新定義求得，然后分組，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式計算后解方程可得【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，則.因為，則，得.所以數(shù)列的通項公式是【小問2詳解】因為，則所以.當(dāng)時，因為，則.當(dāng)時，因為，則.因為，則，即，即，即．因為，所以18、或3【解題分析】設(shè)出切點，先求和平行且和函數(shù)相切的切線，再將切線和聯(lián)立，求出的值.【題目詳解】設(shè)公共切線曲線上的切點坐標(biāo)為，根據(jù)題意，得公共切線的斜率，所以，所以與函數(shù)的圖像相切的切點坐標(biāo)為，故可求出公共切線方程為由直線和函數(shù)的圖像也相切，得方程，即關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，所以，解得或319、(Ⅰ)或(Ⅱ)【解題分析】(Ⅰ)由題意求得數(shù)列的公差后可得通項公式．(Ⅱ)結(jié)合條件可得，分和兩種情況去掉中的絕對值后，利用數(shù)列的前n項和公式求解試題解析：（Ⅰ）∵成等比數(shù)列，∴，整理得，解得或，當(dāng)時，;當(dāng)時，所以或（Ⅱ）設(shè)數(shù)列前項和為，∵，∴，當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，綜上20、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)拋物線過點，且，利用拋物線的定義求解；（2）設(shè)，聯(lián)立，根據(jù)，由，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【小問1詳解】解：由拋物線過點，且，得所以拋物線方程為；【小問2詳解】設(shè)，聯(lián)立得，，，，則，，即，解得或，又當(dāng)時，直線與拋物線的交點中有一點與原點重合，不符合題意，故舍去；所以實數(shù)的值為.21、（1）或（2）【解題分析】（1）求出圓的圓心到直線的距離，再利用垂徑定理計算列方程計算；（2）由題意可知當(dāng)最小時，連線與已知直線垂直，求出，再利用計算即可.【小問1詳解】由題意可知圓的圓心到直線的距離為①當(dāng)直線斜率不存在時，圓的圓心到直線距離為1，滿足題意；②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)過的直線方程為：，即由點到直線距離公式列方程得：解得綜上，過的直線方程為或.【小問2詳解】由題意可知當(dāng)最小時，連線與已知直線垂直，由勾股定理知：，所以的最小值為.22、（1）（2）【解題分析】（1）先求出甲運動員打中10環(huán)的概率，從