廣東省深圳市龍城高級中學(xué)2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

廣東省深圳市龍城高級中學(xué)2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（）種A.9 B.36C.54 D.1082．橢圓的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實數(shù)m的值為（）A.2 B.4C. D.3．曲線在處的切線的斜率為（）A.-1 B.1C.2 D.34．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn).我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為，為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.5．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.6．正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為，AB，的中點(diǎn)，則直線ED與FG所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，，點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹底钚r，=（）A.1 B.2C. D.48．已知向量，且，則（）A. B.C. D.9．下列語句中是命題的是A.周期函數(shù)的和是周期函數(shù)嗎？ B.C. D.梯形是不是平面圖形呢？10．若定義在R上的函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.11．某公司要建造一個長方體狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價為15元，箱壁每1m2造價為12元，則箱子的最低總造價為（）A.72元 B.300元C.512元 D.816元12．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足a1=1，－=1，則an=（）A.2n－1 B.nC.2n－1 D.2n-1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為____________.14．設(shè)數(shù)列滿足，則an＝________15．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)軍營所在平面區(qū)域為{(x,y)|x2+y2≤},河岸線所在直線方程為x+2y-4=0.假定將軍從點(diǎn)P(,)處出發(fā),只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營,當(dāng)將軍選擇最短路程時,飲馬點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為______.最短總路程為______16．已知數(shù)列滿足，將數(shù)列按如下方式排列成新數(shù)列：，，，，，，，，，…，，…．則新數(shù)列的前70項和為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，內(nèi)角的對邊分別是，且（1）求角的大?。?）若，且，求的面積18．（12分）設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列a1=2，a3=a2+4（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè){bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn19．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，，為中點(diǎn)，且平面.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？如果不存在，請說明理由；如果存在，求的值.20．（12分）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）判斷是否存在直線，使得直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，且滿足，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.21．（12分）已知函數(shù)，當(dāng)時，有極大值3（1）求的值；（2）求函數(shù)的極小值22．（10分）已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動，的垂直平分線交于點(diǎn)P.（1）求動點(diǎn)P的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的動直線l交曲線C于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)T，使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據(jù)給定條件利用排列并結(jié)合排除法列式計算作答.【題目詳解】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有種故選：C2、C【解題分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)得到，求解即可.【題目詳解】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，所以有，解得故選：C.3、D【解題分析】先求解出導(dǎo)函數(shù)，然后代入到導(dǎo)函數(shù)中，所求導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率.【題目詳解】因為，所以，所以切線的斜率為.故選：D.4、C【解題分析】連接，已知條件為，，設(shè)，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率【題目詳解】易知共線，共線，如圖，設(shè)，，則，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因為，故解得，則，在中，，即，所以故選：C5、C【解題分析】點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是坐標(biāo)不變，坐標(biāo)為0的點(diǎn).【題目詳解】點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為，故點(diǎn)M的坐標(biāo)是故選：C6、B【解題分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【題目詳解】如圖所示建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，故選：B7、B【解題分析】根據(jù)拋物線定義，轉(zhuǎn)化，要使有最小值，只需最大，即直線與拋物線相切，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求出斜率，然后求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.【題目詳解】由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，，過P作垂直于準(zhǔn)線于，連接，由拋物線定義知.由正弦函數(shù)知，要使最小值，即最小，即最大，即直線斜率最大，即直線與拋物線相切.設(shè)所在的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，整理得：則，解得即，解得，代入得或，再利用焦半徑公式得故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要將取最小值轉(zhuǎn)化為直線斜率最大，再轉(zhuǎn)化為拋物線的切線，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.8、A【解題分析】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【題目詳解】由題意可得，解得，所以.故選：A9、B【解題分析】命題是能判斷真假的語句，疑問句不是命題，易知為命題，故選B10、A【解題分析】由函數(shù)單調(diào)性得出和的解，然后分類討論解不等式可得【題目詳解】由圖象可知：在為正，在為負(fù)，，可化為：或，解得或故選：A11、D【解題分析】設(shè)這個箱子的箱底的長為xm，則寬為m，設(shè)箱子總造價為f（x）元，則f(x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低總造價【題目詳解】設(shè)這個箱子的箱底的長為xm，則寬為m，設(shè)箱子總造價為f(x)元，∴f(x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x＝4時，f（x）取最小值816元故選：D12、A【解題分析】由題可得，利用與的關(guān)系即求.【題目詳解】∵a1=1，－=1，∴是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，∴，即，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，也適合上式，所以故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】設(shè)P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z?1)2=4+4+(z?2)2，解得z=3，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0,3).14、【解題分析】先由題意得時，，再作差得，驗證時也滿足【題目詳解】①當(dāng)時，；當(dāng)時，②①②得，當(dāng)也成立.即故答案為：15、①.②.【解題分析】求出P(,)關(guān)于直線x+2y4=0對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)，再求出線段OP'與直線x+2y-4=0的交點(diǎn)A,再利用圓的幾何性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)P(,)關(guān)于直線x+2y4=0的對稱點(diǎn)為P'(m,n),則解得因為從點(diǎn)P到軍營總路程最短,所以A為線段OP'與直線x+2y4=0的交點(diǎn),聯(lián)立得y=(42y),解得y=.所以“將軍飲馬”的最短總路程為=，故答案為，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查對稱問題以及圓的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.解析幾何中點(diǎn)對稱問題，主要有以下三種題型：（1）點(diǎn)關(guān)于直線對稱，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，利用，且點(diǎn)在對稱軸上，列方程組求解即可；（2）直線關(guān)于直線對稱，利用已知直線與對稱軸的交點(diǎn)以及直線上特殊點(diǎn)的對稱點(diǎn)（利用（1）求解），兩點(diǎn)式求對稱直線方程；（3）曲線關(guān)于直線對稱，結(jié)合方法（1）利用逆代法求解.16、##2.9375【解題分析】先根據(jù)題干條件得到，再利用錯位相減法求前64項和，最后求出前70項和.【題目詳解】①，當(dāng)時，；當(dāng)時，②，①-②得：，即又滿足，所以由，得令，則，兩式相減得，則所以新數(shù)列的前70項和為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】（1）根據(jù)，通過余弦定理求解.（2）根據(jù)，通過正弦定理，把角轉(zhuǎn)化為邊得，再根據(jù)，得．再代入的面積公式求解.【題目詳解】（1）∵，∴由余弦定理得，又，∴.（2）∵，∴由正弦定理得，∵，∴，又，∴∴面積【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18、（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣12n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2【解題分析】（Ⅰ）由{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通項公式（Ⅱ）由{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和公式即可求得數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn解：（Ⅰ）∵設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列∴設(shè)其公比為q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2="2×q+4"解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q="2"∴{an}的通項公式為an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式及數(shù)列的求和，注意題目條件的應(yīng)用．在用等比數(shù)列的前n項和公式時注意辨析q是否為1，只要簡單數(shù)字運(yùn)算時不出錯，問題可解，是個基礎(chǔ)題19、（1）（2）線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)時，平面.【解題分析】（1）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由，由體積法可得答案.（2）由（1）連接,可得則從而平面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可證明平面平面，從而可得出答案.【小問1詳解】由，，為中點(diǎn)，則由平面，平面,則又，且,則平面又，則平面,且都在平面內(nèi)所以所以,取的中點(diǎn)，連接，則,所以,所以所以所以則設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由即,即【小問2詳解】線段上是否存在一點(diǎn)，使平面.由（1）連接,則四邊形為平行四邊形，則過點(diǎn)作交于，則為中點(diǎn)，則為的中點(diǎn),即又平面，則平面過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則,即又平面,所以平面又，所以平面平面又平面,所以平面所以線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)時，平面.20、（1）；（2）存在，方程為和.【解題分析】（1）根據(jù)橢圓上的點(diǎn)、離心率和關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理形式，根據(jù)共線向量可得，代入韋達(dá)定理中可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程可求得，進(jìn)而得到直線方程.【小問1詳解】由題意得：，解得：，橢圓的方程為；【小問2詳解】由題意知：直線斜率存在且不為零，可設(shè)，，，由得：，則；，，，，，解得：，，滿足條件的直線存在，方程為和.21、（1）；（2）0【解題分析】（1）由題意得，則可得到關(guān)于實數(shù)的方程組，求解方程組，即可求得的值；（2）結(jié)合（1）中的值得出函數(shù)的解析式，即可利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極小值.【題目詳解】（1），當(dāng)時，有極大值3，所以，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意，所以；（2）由（1）得，則，令，得或，列表得極小值極大值易知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以當(dāng)時，函數(shù)有極小值0【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的極值的概念，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，考查了學(xué)生對極值概念的理解與運(yùn)算求解能力.2