2021年湖南省衡陽市祁東縣鳴鹿中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2021年湖南省衡陽市祁東縣鳴鹿中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中A，B兩點(diǎn)之間的距離為5，則f(x)的遞增區(qū)間是A.

B.C.

D._參考答案：B略2.曲線在點(diǎn)處的切線方程是

A.

B.

C.

D.

參考答案：C3.在ΔABC中，若(tanB+tanC)=tanBtanC?1，則sin2A=（

）A、?

B、

C、?

D、參考答案：B試題分析：由得，又因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，，所以，故選B.考點(diǎn)：三角恒等變換.4.如圖所示，為一幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（A）（B）（C）（D）主視圖左視圖俯視圖11參考答案：D由三視圖可知該幾何體時一個正方體去掉以角，其直觀圖如圖，其中正方體的邊長為1.所以正方體的體積為1.去掉的三棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為，選C.5.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是A．在區(qū)間（－2,1）上是增函數(shù)

B．在（1,3）上是減函數(shù)C．在（4,5）上是增函數(shù)

D．當(dāng)時，取極大值參考答案：C略6.函數(shù)的圖象可能是（）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.關(guān)于x的方程ax=﹣x2+2x+a（a＞0，且a≠1）的解的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．0 D．視a的值而定參考答案：B【考點(diǎn)】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】分a＞1和0＜a＜1兩種情況畫出函數(shù)y=ax，y=﹣（x﹣1）2+1+a的圖象，再根據(jù)其單調(diào)性即可得出結(jié)論．【解答】解：①當(dāng)a＞1時，畫出f（x）=ax，g（x）=﹣（x﹣1）2+1+a圖象，當(dāng)x=1時，f（1）=a＜1+a=g（1），故其圖象有兩個交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程ax=﹣x2+2x+a（a＞1）的解的個數(shù)是2．②當(dāng)0＜a＜1時，畫出f（x）=ax，g（x）=﹣（x﹣1）2+1+a圖象，當(dāng)x=1時，f（1）=a＜1+a=g（1），故其圖象有兩個交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程ax=﹣x2+2x+a（1＞a＞0）的解的個數(shù)是2．故選B．8.已知非零向量滿足，且在方向上的投影與在方向上的投影相等，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，且，則A．

B．

C．

D．參考答案：B因?yàn)闉檫呏悬c(diǎn)，所以由得，即,所以，選B.10.已知某幾何體的三視圖如右上圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過曲線上一點(diǎn)P的切線平行于直線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為____________參考答案：【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】（1，0）或（-1，-4）由y=x3+x-2，求導(dǎo)數(shù)得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．

當(dāng)x=1時，y=0；當(dāng)x=-1時，y=-4．∴切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（1，0）或（-1，-4）．【思路點(diǎn)撥】先求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義令導(dǎo)函數(shù)等于4建立方程，求出方程的解，即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入原函數(shù)即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)．12.若，，，則的取值范圍是

．參考答案：(－∞,0]由題意，，則，由，則，即函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，則恒有，所以，又，所以，即，從而問題可得解.

13.如圖所示的數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，他們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如：…，則第n（n≥3）行第3個數(shù)字是．參考答案：【考點(diǎn)】歸納推理．【專題】規(guī)律型．【分析】根據(jù)“萊布尼茲調(diào)和三角形”的特征，每個數(shù)是它下一個行左右相鄰兩數(shù)的和，得出將楊暉三角形中的每一個數(shù)Cnr都換成分?jǐn)?shù)

，就得到一個如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，最后即可求出第n（n≥3）行第3個數(shù)字．【解答】解：將楊暉三角形中的每一個數(shù)Cnr都換成分?jǐn)?shù)

，就得到一個如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，即為萊布尼茲三角形．∵楊暉三角形中第n（n≥3）行第3個數(shù)字是Cn﹣12，則“萊布尼茲調(diào)和三角形”第n（n≥3）行第3個數(shù)字是=．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查歸納推理、通過觀察分析歸納各數(shù)的關(guān)系，據(jù)關(guān)系求出各值，旨在考查學(xué)生的觀察分析和歸納能力，屬中檔題．14.在△ABC中，sin2C=sinAsinB+sin2B，a=2b，則角C=

.

參考答案：由正弦定理知，所以，所以.15.（3分）設(shè)矩陣A=，B=，若BA=，則x=．參考答案：2考點(diǎn)：矩陣與向量乘法的意義．專題：計(jì)算題；矩陣和變換．分析：由題意，根據(jù)矩陣運(yùn)算求解．解答：∵A=，B=，BA=，∴4×2﹣2x=4；解得，x=2；故答案為：2．點(diǎn)評：本題考查了矩陣的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．16.一艘船以均勻的速度由A點(diǎn)向正北方向航行，如圖，開始航行時，從A點(diǎn)觀測燈塔C的方位角(從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角)為45°，行駛60海里后，船在B點(diǎn)觀測燈塔C的方位角為75°，則A到C的距離是________海里．

參考答案：,中，由正弦定理，17.在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在直三棱柱中，，，，.（1）試在線段上找一個異于，的點(diǎn)，使得，并證明你的結(jié)論；（2）在（1）的條件下，求多面體的體積.參考答案：（1）【考查意圖】本小題以直三棱柱為載體，考查直線與平面垂直的性質(zhì)及判定等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.【解法綜述】只要根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)，結(jié)合已知條件確定點(diǎn)的位置，再利用直線與平面垂直的性質(zhì)及判定定理進(jìn)行證明，便可解決問題.思路一：先由直三棱柱的性質(zhì)及得到平面，從而有，所以要使，只需即可，然后以此為條件進(jìn)行證明即可.思路二：同思路一得到，要使，只需即可.然后以為條件求得，再證明當(dāng)時即可.【錯因分析】考生可能存在的錯誤有：不能根據(jù)已知條件正確找到點(diǎn)；證明過程邏輯混亂.【難度屬性】中.（2）【考查意圖】本小題以多面體為載體，考查多面體的體積、直線與平面垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等.【解法綜述】將所求多面體分割成兩個三棱錐進(jìn)行求解.思路：把多面體分割為三棱錐和三棱錐，分別計(jì)算體積并求和.【錯因分析】考生可能存在的錯誤有：不能將所求多面體正確割補(bǔ)成易于計(jì)算體積的幾何體；體積公式記憶錯誤或計(jì)算錯誤.【難度屬性】中.19.（本小題滿分14分）如圖，已知點(diǎn)F（1，0），直線l:x=-1,P為平面上的動點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且·（I）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程;（II）過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M.（1）已知的值;(2)求||·||的最小值.參考答案：本小題考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.滿分14分.解析：解法一：（I）設(shè)點(diǎn)P（x,y）,則Q（-1，y）,由得：(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化簡得C：y2=4x.(II)（1）設(shè)直線AB的方程為：

x=my+1(m≠0).設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）.聯(lián)立方程組,消去x得：y2-4my-4=0,△

=(-4m)2+12>0,由得：，整理得：,∴==-2-=0.解法二：（I）由∴·，∴=0,∴所以點(diǎn)P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為：y2=4x.(II)(1)由已知則：…………①過點(diǎn)A、B分別作準(zhǔn)l的垂線，垂足分別為A1、B1,則有：…………②由①②得：（II）（2）解：由解法一：·＝（）2|y1-yM||y2-yM|

=(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2|

=(1+m2)|-4+

×4m+|

=

=4(2+m2+)

4(2+2)=16.當(dāng)且僅當(dāng)，即m=1時等號成立，所以·最小值為16.20.班上有四位同學(xué)申請A，B，C三所大學(xué)的自主招生，若每位同學(xué)只能申請其中一所大學(xué)，且申請其中任何一所大學(xué)是等可能的．（1）求恰有2人申請A大學(xué)或B大學(xué)的概率；（2）求申請C大學(xué)的人數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）記“恰有2人申請A大學(xué)或B大學(xué)”為事件M，利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生中k次的概率計(jì)算公式能求出恰有2人申請A大學(xué)或B大學(xué)的概率．（2）由題意X的所有可能取值為0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）記“恰有2人申請A大學(xué)或B大學(xué)”為事件M，則P（M）==，∴恰有2人申請A大學(xué)或B大學(xué)的概率為．（2）由題意X的所有可能取值為0，1，2，3，4，且X～B（4，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，∴X的分布列為：X01234PE（X）=4×=．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．21.（本小題滿分13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

參考答案：（1）當(dāng)經(jīng)驗(yàn)證，（2）22.《環(huán)境空氣質(zhì)量指標(biāo)（AQI）技術(shù)規(guī)定（試行）》如表1：表1：空氣質(zhì)量指標(biāo)AQI分組表AQI0～5051～100101～150151～200201～300＞300級別Ⅰ級Ⅱ級Ⅲ級Ⅳ級Ⅴ級Ⅵ級類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染表2是長沙市某氣象觀測點(diǎn)在某連續(xù)4天里的記錄，AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度y（km）的情況．表2：AQI指數(shù)900700300100空氣可見度（千米）9.5表3是某氣象觀測點(diǎn)記錄的長沙市2016年1月1日至1月30日AQI指數(shù)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表．表3：AQI指數(shù)[0，200]（201，400]（401，600]（601，800]（801，1000]頻數(shù)361263（1）設(shè)x=，根據(jù)表2的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程；（2）小李在長沙市開了一家小洗車店，經(jīng)小李統(tǒng)計(jì)：AQI指數(shù)不高于200時，洗車店平均每天虧損約200元；AQI指數(shù)在200至400時，洗車店平均每天收入約400元；AQI指數(shù)大于400時，洗車店平均每天收入約700元．（?。┯?jì)算小李的洗車店在當(dāng)年1月份每天收入的數(shù)學(xué)期望．（ⅱ）若將頻率看成概率，求小李在連續(xù)三天里洗車店的總收入不低于1200元的概率．（用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式=，=﹣x）參考答案：【考點(diǎn)】線性回歸方程；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（1）利用公式計(jì)算線性回歸方程系數(shù)，即可得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程；（2）（?。┯杀?知AQI指數(shù)不高于200的頻率為0.1，AQI指數(shù)在200至400的頻率為0.2，AQI指數(shù)大于400的頻率為0.7，確定飯館每天的收入的取值及概率，從而可求分布列及數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）由（ⅰ），“連續(xù)三天洗車店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C五種情況”，即可求出小李在連續(xù)三天里洗車店的總收入不低于1200元的概率．【解答】解：（1），，，，所以，，所以y關(guān)于x的回歸方程是．（2）由表3知AQI不高于200的頻率為0.1，AQI指數(shù)在200至400的頻率為