2021年湖南省長沙市宗一學校高三數(shù)學理下學期期末試題含解析

2021年湖南省長沙市宗一學校高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某地區(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長10.4%，經(jīng)過x年，綠化面積與原綠化面積之比為y，則y=f（x）的圖象大致為（）A．B．C．D．參考答案：D考點：函數(shù)的圖象與圖象變化．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：依題意，可得到綠化面積與原綠化面積之比的解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．解答：解：設某地區(qū)起始年的綠化面積為a，∵該地區(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長10.4%，∴經(jīng)過x年，綠化面積g（x）=a（1+10.4%）x，∵綠化面積與原綠化面積之比為y，則y=f（x）==（1+10.4%）x=1.104x，∵y=1.104x為底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)，故可排除A，當x=0時，y=1，可排除B、C；故選D．點評：本題考查函數(shù)的圖象，著重考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查理解與識圖能力，屬于中檔題．2.已知{an}為等差數(shù)列，且a1+a3+a5+a7=6，則a2+a4+a6等于

(

)A．

B．3 C．

D．6參考答案：答案：C3.當函數(shù)y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值時，x=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義；三角函數(shù)的化簡求值．【分析】利用輔助角公式（和差角公式），可得y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），進而可得函數(shù)取最大值時，x的值．【解答】解：函數(shù)y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∵0≤x＜2π，∴當x﹣=，即x=時，函數(shù)取最大值，故選：B4.已知函數(shù)，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.若

的夾角為，則(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù),則

（

）

A.

B.C.

D.參考答案：A略7.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x與相應的生產(chǎn)能耗y的幾組對應數(shù)據(jù)：

x4235y49m3954

根據(jù)上表可得回歸方程，那么表中m的值為A．27．9 B．25．5 C．26．9 D．26參考答案：D8.設集合，則

(

)A．｛1，3｝

B．｛2，4｝

C．｛1，2，3，5｝

D．｛2，5｝參考答案：A略9.已知集合，集合，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：【知識點】集合及其運算A1B由=,則【思路點撥】先求出集合B再求出交集。10.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是(

) A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：D考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題；空間位置關系與距離．分析：根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是底面為直角梯形，高為2的四棱錐，求出它的體積即可．解答： 解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是如圖所示的四棱錐P﹣ABCD，且底面為直角梯形ABCD，高為2；∴該四棱錐的體積為V四棱錐=××（2+4）×2×2=4．故選：D．點評：本題考查了利用空間幾何體的三視圖求體積的應用問題，是基礎題目．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的b的值為31，則圖中判斷框內(nèi)①處應填的整數(shù)為

．參考答案：4【考點】程序框圖．【分析】根據(jù)框圖的流程依次計算程序運行的結果，直到輸出的b的值為31，確定跳出循環(huán)的a值，從而確定判斷框的條件．【解答】解：由程序框圖知：第一次循環(huán)b=2+1=3，a=2；第二次循環(huán)b=2×3+1=7，a=3；第三次循環(huán)b=2×7+1=15，a=4；第四次循環(huán)b=2×15+1=31，a=5．∵輸出的b的值為31，∴跳出循環(huán)的a值為5，∴判斷框內(nèi)的條件是a≤4，故答案為：4．12.在中，是邊中點，角，，的對邊分別是，，，若，則的形狀為

。參考答案：等邊三角形13.我國南北朝時代的數(shù)學家祖暅提出體積的計算原理(祖暅原理):“冪勢既同，則積不容異”.“勢”即是高，“冪”是面積.意思是:如果兩等高的幾何體在同高處截得的截面積相等，那么這兩個幾何體的體積相等.類比祖暅原理，如圖所示，在平面直角坐標系中，圖1是一個不規(guī)則的封閉圖形，圖2是一個上底為1的梯形，且當實數(shù)取上的任意值時，直線被圖1和圖2所截得的兩線段長始終相等，則圖1的面積為

．參考答案：

14.如圖，三棱錐的頂點，，，都在同一球面上，過球心且，是邊長為等邊三角形，點、分別為線段，上的動點（不含端點），且，則三棱錐體積的最大值為__________．參考答案：解：設，∵為中點，，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，∴是三棱錐的高，，∴，，在中，，，∴，，∴．，當且僅當時取等號，∴三棱錐體積的最大值為．故答案為．15.設x，y滿足約束條件，向量，且a∥b，則m的最小值為_______________．參考答案：-6略16.函數(shù)的定義域為，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域為，則稱區(qū)間為的“倍值區(qū)間”，下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的函數(shù)有________（填序號）.①；

②；③；

④參考答案：①③④考點：新定義，命題真假判斷．【名師點睛】本題考查新定義問題，對新概念“倍值區(qū)間”的理解與轉(zhuǎn)化是解題的關鍵．對新概念的兩個條件中單調(diào)性比較容易處理，因此在考慮問題時先研究單調(diào)性，然后在單調(diào)區(qū)間內(nèi)再考慮區(qū)間，“倍值區(qū)間”實質(zhì)就是方程在單調(diào)區(qū)間內(nèi)有兩個不等的實根，特別是④，還要通過研究函數(shù)的單調(diào)性來確定其零點的存在性，這是零點不能直接求出時需采用的方法：證明存在性．17.已知中，分別是角的對邊，，那么的面積________

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.十九大報告提出：堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，做到精準扶貧工作.某幫扶單位幫助貧困村種植蜜柚，并利用互聯(lián)網(wǎng)電商渠道進行銷售.為了更好地銷售，現(xiàn)從該村的蜜柚樹上隨機摘下了100個蜜柚進行測重，其質(zhì)量分布在區(qū)間[1500,3000]內(nèi)（單位：克），統(tǒng)計質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖所示：（1）按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在[1750,2000)，[2000,2250)的蜜柚中隨機抽取5個，再從這5個蜜柚中隨機抽2個，求這2個蜜柚質(zhì)量均小于2000克的概率；（2）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該貧困村的蜜柚樹上大約還有5000個蜜柚待出售，某電商提出兩種收購方案：A.所有蜜柚均以40元/千克收購；B.低于2250克的蜜柚以60元/個收購，高于或等于2250的以80元/個收購.請你通過計算為該村選擇收益最好的方案.參考答案：（1）由題得蜜柚質(zhì)量在和的比例為，∴分別抽取2個和3個.記抽取質(zhì)量在的蜜柚為，，質(zhì)量在的蜜柚為，，，則從這個蜜柚中隨機抽取個的情況共有以下10種：，，，，，，，，，，其中質(zhì)量小于2000克的僅有這1種情況，故所求概率為.（2）方案好，理由如下：由頻率分布直方圖可知，蜜柚質(zhì)量在的頻率為，同理，蜜柚質(zhì)量在，，，，的頻率依次為0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，若按方案收購：根據(jù)題意各段蜜柚個數(shù)依次為500，500，750，2000，1000，250，于是總收益為（元），若按方案收購：∵蜜柚質(zhì)量低于2250克的個數(shù)為，蜜柚質(zhì)量低于2250克的個數(shù)為，∴收益為元，∴方案的收益比方案的收益高，應該選擇方案.

19.（本小題滿分1４分）已知在R上單調(diào)遞增，記△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）求角B的取值范圍；（3）若不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.參考答案：（1）恒成立（2）（3）略20.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，AC為半圓D的直徑，D為的中點，E為BC的中點．(I)求證：DE∥AB;(Ⅱ)求證：AC·BC=2AD·CD.參考答案：21.在等差數(shù)列{an}中，a1=1，其前n項和為Sn=n2．（1）求數(shù)列{an}的通項公式an；（2）若bn=，求數(shù)列{bn}中的最小項及取得最小項時n的值．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）由Sn=n2，可得當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得出an．（2）bn===，可得當n≤12時，數(shù)列{bn}單調(diào)遞減；當n≥13時，數(shù)列{bn}單調(diào)遞增．即可得出．【解答】解：（1）∵Sn=n2，∴當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．當n=1時，上式也成立．∴an=2n﹣1．（2）bn===，當n≤12時，數(shù)列{bn}單調(diào)遞減；當n≥13時，數(shù)列{bn}單調(diào)遞增．而b12==b13．∴當n=12或13時，數(shù)列{bn}取得最小項．【點評】本題考查了遞推關系的應用、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．22.（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．（1）求{an}的通項公式；（2）設bn=，試求{bn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】：數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【專題】：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：（1）先由數(shù)列遞推式求得首項，再取n=n﹣1得另一遞推式，兩式作差可得{an}是首項和公比都為2的等比數(shù)列，則其通項公式可求；（2）把數(shù)列{an}的通項公式代入bn=，整理后利用錯位相