廣東省江門市開平第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省江門市開平第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.早上從起床到出門需要洗臉?biāo)⒀?5min)、刷水壺(2min)、燒水(8min)、泡面(3min)、吃飯(10min)、聽廣播(8min)幾個步驟、從下列選項(xiàng)中選最好的一種算法（）A．S1洗臉?biāo)⒀?、S2刷水壺、S3燒水、S4泡面、S5吃飯、S6聽廣播B．刷水壺、S2燒水同時洗臉?biāo)⒀?、S3泡面、S4吃飯、S5

聽廣播C．刷水壺、S2燒水同時洗臉?biāo)⒀?、S3泡面、S4吃飯同時聽廣播D．吃飯同時聽廣播、S2泡面、S3燒水同時洗臉?biāo)⒀?、S4刷水壺參考答案：C2.命題：“?x≥0，x2≥0”的否定是（）A．?x＜0，x2＜0 B．?x≥0，x2＜0 C．?x＜0，x2＜0 D．?x≥0，x2＜0參考答案：D【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】將全稱命題改為特稱命題，即可得到結(jié)論．【解答】解：由全稱命題的否定為特稱命題，命題：“?x≥0，x2≥0”的否定是“?x≥0，x2＜0”，故選：D．3.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是（

）A.

B.C.

D.參考答案：D4.如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，A、B是橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF1⊥x軸，PF2∥AB，則此橢圓的離心率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由PF1⊥x軸，先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由PF2∥AB，能得到b=2c，由此能求出橢圓的離心率．【解答】解：如圖，∵PF1⊥x軸，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣c，），kAB=﹣，=﹣，∵PF2∥AB，∴kAB=，即﹣=﹣，整理，得b=2c，∴a2=b2+c2=5c2，即a=c，∴e==．故選B．5.設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，則“l(fā)⊥a，l⊥b”是“l(fā)⊥α”的（）A．充要條件 B．充分而不必要的條件C．必要而不充分的條件 D．既不充分也不必要的條件參考答案：C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】常規(guī)題型．【分析】由題意a，b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，若a∥b，l與a垂直，且斜交，推不出l一定垂直平面α，利用此對命題進(jìn)行判斷；【解答】解：∵a、b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，“∵l⊥a，l⊥b”，若a∥b，l可以與平面α斜交，推不出l⊥α，若“l(fā)⊥α，∵a，b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，∴l(xiāng)⊥a，l⊥b，∴“l(fā)⊥a，l⊥b”是“l(fā)⊥α”的必要而不充分的條件，故選C．【點(diǎn)評】此題以平面立體幾何為載體，考查了線線垂直和線面垂直的判定定了，還考查了必要條件和充分條件的定義，是一道基礎(chǔ)題．6.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（

）A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4參考答案：C7.拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B點(diǎn)晴：本題考查的是求拋物線的準(zhǔn)線方程的問題.這是一道易錯題，求準(zhǔn)線方程有兩點(diǎn)：一是要確定拋物線的焦點(diǎn)位置在軸的正半軸上，二是要確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的，由這兩者得拋物線的準(zhǔn)線方程為.8.若為圓的弦的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A. B.

C. D.參考答案：A9.我們把底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是正三角形中心的三棱錐稱為正三棱錐?，F(xiàn)有一正三棱錐放置在平面上，已知它的底面邊長為2，高為，在平面上，現(xiàn)讓它繞轉(zhuǎn)動，并使它在某一時刻在平面上的射影是等腰直角三角形，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．.

D．參考答案：【知識點(diǎn)】三垂線定理.【答案解析】C解析：解：圖(1)

圖(2)

圖(3)如圖（1）當(dāng)繞BC旋轉(zhuǎn)至P點(diǎn)在底面的射影正好在BC中點(diǎn)D時,假如正三棱錐在平面上的射影正好是等腰直角,連接DA.,設(shè)P點(diǎn)在底面ABC上的射影點(diǎn)為H,其在DA上，連接PH，PH=h為正三棱錐的高，其中=1，,,,，而當(dāng)時滿足題意，PH值再大就會使錐在底面的射影是四邊形了.當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖（2）時，假如正好是三棱錐在底面的射影是等腰直角三角形且面垂直于底面，設(shè)點(diǎn)P在面的射影點(diǎn)為,取BC的中點(diǎn)為E，連接AE..,設(shè)P點(diǎn)在底面中的射影為O,連接PO,設(shè)PO=h，在中，，=所以，如果PO值再大，三棱錐在面內(nèi)的射影就又是四邊形了，再小可繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直到側(cè)面PBC為等腰直角三角形時就成了圖（3）狀態(tài)，也合題意，此時如圖E為BC中點(diǎn)，O仍為P在底面三角形ABC射影，連接AE.PE.PO,,PE=1,則，所以綜上，的取值范圍是.

故選：C．【思路點(diǎn)撥】由題意可知變化過程中，圖形為三種情況，依次考慮即可.10.正方體的外接球與其內(nèi)切球的體積之比為

（

）

A.

B. C. D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命題，則x的取值范圍是．參考答案：[1，2）【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷；四種命題的真假關(guān)系．【分析】原命題是假命題可轉(zhuǎn)化成它的否命題是真命題進(jìn)行求解，求出滿足條件的x即可．【解答】解：若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命題則它的否命題為真命題即{x|x＜2或x＞5}且{x|1≤x≤4}是真命題所以的取值范圍是[1，2），故答案為[1，2）．12.觀察下列等式23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，…，若類似上面各式方法將m3分拆得到的等式右邊最后一個數(shù)是131，則正整數(shù)m等于_________．參考答案：11略13.設(shè)數(shù)列{an}滿足a2+a4=10，點(diǎn)Pn（n，an）對任意的n∈N+，都有向量=（1，2），則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=

．參考答案：n2

【考點(diǎn)】數(shù)列與向量的綜合．【分析】由已知得an}等差數(shù)列，公差d=2，將a2=a1+2，代入a2+a4=10，中，得a1=1，由此能求出{an}的前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：∵Pn（n，an），∴Pn+1（n+1，an+1），∴=（1，an+1﹣an）=（1，2），∴an+1﹣an=2，∴{an}等差數(shù)列，公差d=2，將a2=a1+2，a4=a1+6代入a2+a4=10中，解得a1=1，∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴Sn==n2．故答案為：n2．14.在四面體PABC中，PB＝PC＝AB＝AC，M是線段PA上一點(diǎn)，N是線段BC的中點(diǎn)，則∠MNB＝________.參考答案：15.已知，那么cos2θ的值為．參考答案：【考點(diǎn)】二倍角的余弦；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【分析】通過已知表達(dá)式的平方，求出sinθ，利用二倍角的余弦函數(shù)，求出結(jié)果即可．【解答】解：∵，∴，∴sinθ=，cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=．故答案為：．16.不等式的解集是

．參考答案：17.小明通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機(jī)地往單位圓中投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末看書；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則周末打籃球；否則就在家?guī)兔ψ黾覄?wù)．那么小明周末在家?guī)兔ψ黾覄?wù)的概率是．參考答案：【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】根據(jù)題意，計(jì)算可得圓的面積為π，點(diǎn)到圓心的距離大于的面積為π﹣π=，此點(diǎn)到圓心的距離小于的面積為，由幾何概型求概率即可．【解答】解：設(shè)圓半徑為1，圓的面積為π，點(diǎn)到圓心的距離大于的面積為π﹣π=，此點(diǎn)到圓心的距離小于的面積為，由幾何概型得小波周末在家看書的概率為P=1﹣=．故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=2，AD=4，PA⊥底面ABCD，PD與底面ABCD成30°角，E是PD的中點(diǎn)．（1）點(diǎn)H在AC上且EH⊥AC，求的坐標(biāo)；（2）求AE與平面PCD所成角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角．【分析】（1）以AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系．得到所用點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出H的坐標(biāo)，結(jié)合EH⊥AC即可求得的坐標(biāo)；（2）求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得平面PCD的一個法向量，由與平面法向量所成角的余弦值可得AE與平面PCD所成角的正弦值，進(jìn)一步得到余弦值．【解答】解：（1）以AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系．則由條件知，A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0）．由PA⊥底面ABCD，知PD與底面ABCD成30°角．∴PA=，則E（0，2，），∴．設(shè)H（m，m，0），則．由EH⊥AC得，2m+2（m﹣2）+0=0，解得m=1．∴所求；（2）由（1）得，，而P（0，0，），∴，．記平面PCD的一個法向量為，則2x+2y﹣且4y﹣．取z=，得x=y=1，∴．則cos＜＞=．設(shè)AE與平面PCD所成角為θ，則sinθ=，則所求的余弦值為．19.（本小題滿分12分）已知橢圓的方程為：，其中，直線與橢圓的交點(diǎn)在軸上的射影恰為橢圓的焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓在軸上方的一個交點(diǎn)為，是橢圓的右焦點(diǎn)，試探究以為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系.參考答案：(1)設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，直線與橢圓的一個交點(diǎn)坐標(biāo)是，

根據(jù)橢圓的定義得：，即，即，

又，，聯(lián)立三式解得

所以橢圓的方程為：

(2)由（1）可知，直線與橢圓的一個交點(diǎn)為，則以為直徑的圓方程是，圓心為，半徑為

以橢圓長軸為直徑的圓的方程是，圓心是，半徑是

兩圓心距為，所以兩圓內(nèi)切.

20.已知在的展開式中，第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng) （1）求f（x）的展開式中含x﹣3的項(xiàng)的系數(shù)； （2）求f（x）的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)． 參考答案：【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)． 【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理． 【分析】（1）利用通項(xiàng)公式根據(jù)第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求得n的值，可得f（x）的展開式中含x﹣3的項(xiàng)的系數(shù)． （2）根據(jù)通項(xiàng)公式可得f（x）的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)，即r=4，或r=5，從而得出結(jié)論． 【解答】解：（1）在的展開式中，第4項(xiàng)為T4=x9﹣n，為常數(shù)項(xiàng)， ∴n=9，故=，它的通項(xiàng)公式為Tr+1=x3r﹣9， 令3r﹣9=﹣3，求得r=2，可得f（x）的展開式中含x﹣3的項(xiàng)的系數(shù)為=36． （2）f（x）的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)，即r=4，或r=5， 故系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)或第六項(xiàng)，即T5=x3，T6=x9． 【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 21.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA=a?cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分別求a和c的值．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】解三角形．【分析】（1）由bsinA=a?cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，化簡整理即可得出．（2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入計(jì)算即可得出．【解答】解：（1）∵bsinA=a?cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否則矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化為：a2=3，解得a=，∴．【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理余弦定理、三角形內(nèi)角和定理與三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．22.（本題滿分14分）如圖，橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)為S□=2S□.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線過(1,1),且與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)是的中點(diǎn)時，求直線的方程．(Ⅲ)設(shè)為過原點(diǎn)的直線，是與n垂直相交于P點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn)的直線，,是否存在上述直線使以為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.參考答案：（Ⅰ）依題意有…………1分又由S□=2S□.有，…………2分解得，……3分，故橢圓C的方程為.………4分（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，則，，兩式相減得：．

∵是的中點(diǎn)，∴可得直線的斜率為，7分

當(dāng)直線的斜率不存在時，將x=1代入橢圓方程并解得，，這時的中點(diǎn)為，∴x=1不符合題設(shè)要求．…………8分

綜上，直線的方程為…