Riemann 猜想漫談 (十七)

Riemann猜測漫談（十七）盧昌海三十.監(jiān)獄來信在前面各節(jié)中，我們介紹了數學家們在證明Riemann猜測的漫長征途上所做過的多方面的嘗試。這些嘗試有些是數值計算，它們雖然永遠也不可能證明Riemann猜測，卻有可能通過發(fā)現反例而否證Riemann猜測 當然，迄今為止并未有人發(fā)現反例；有些那么是解析研究，它們具有證明Riemann猜測的潛力，但迄今為止距離目標還很遙遠。如果小結一下的話，那么這兩類嘗試雖然很不相同，卻都可以被歸為直接手段，因為它們的目標都是Riemann猜測本身。既然這兩類直接手段都遇到了困難，那我們不妨來問這樣一個問題：除這些直接手段外，還有沒有別的手段可以幫我們研究Riemann猜測，或至少帶給我們一些啟示呢？答案是肯定的。事實上，Riemann猜測雖然是一個極為艱深的難題，但這種長時間無法解決的難題在科學上是并不鮮見的。科學家們對付這種難題的大思路其實很簡單，那就是直接手段行不通時，就采用間接手段。當然，大思路雖然簡單，具體采取什么樣的間接手段，可就大有講究了。一般來說，常用的間接手段有兩類：第一類是研究與原問題相等價的問題一一那樣的問題一旦被解決，原問題自然也就解決了［注一］;第二類那么是研究與原問題相類似、但卻更簡單的問題一一這類手段雖不能解決原問題，卻有可能帶給我們啟示。更重要的是，在原問題實在太艱深時，這類手段往往比其它手段更具可行性。就目前我們對Riemann猜測的了解而言，它看來是屬于那種“原問題實在太艱深〃的情形，因此我們要介紹的間接手段是“往往比其它手段更具可行性〃的第二類間接手段。這類手段在科學研究中有著廣泛的應用。比方物理學家們遇到很困難的三維空間中的問題時，往往轉而研究二維、一維，甚至零維空間中與原問題相類似的問題。又比方生物學家們從事一些不宜在人體上作嘗試的研究時，往往轉而用動物作為研究對象。最近比擬熱門的用凝聚態(tài)體系模擬根底問題的做法，也是第二類間接手段的例子［注二］。這類手段通俗地講，其實就是研究“山寨版〃的問題。只不過與經濟領域中的“山寨版〃產品被四處喊打不同，科學領域中的“山寨版〃問題不僅不違規(guī)，對它們的研究還廣受鼓勵。有時候，在“山寨版〃問題上的突破，甚至能成為重大的科學成就，并獲得重大的科學獎項。Riemann猜測就是一個很好的例子，它的艱深與重要，使得“山寨版〃的Riemann猜測也“雞犬升天〃，變成了非同小可的問題，研究或解決它的數學家甚至可以獲得數學界的最高獎，堪稱是史上最牛的“山寨版〃［注三］。為了介紹這種史上最牛的“山寨版〃，讓我們把時光暫時拉回到1940年。1940年4月，著名的法國幾何學家lieCartan(1869-1951)收到了一封奇怪的信件，它的寄信人地址是位于法國海濱城市Rouen的一座軍事監(jiān)獄。一位著名數學家居然收到一封來自監(jiān)獄的信件，那會是什么樣的信件呢？照常理來說，最大的可能性是某位民間“科學家〃(簡稱民科)的杰作，對于法國數學家來說，情況尤其如此。因為在這方面，法國科學院(FrenchAcademyofSciences)可謂是開了風氣之先 自從一個多世紀前它為Fermat大定理懸賞以來，民科信件便如雪片般地飛向了法國數學家的手里。那熱情，就連一百多年的時光也缺乏以使之熄滅。自那以后，知名法國數學家收到民科來信就不再是新鮮事了。不過Cartan收到的這封信件卻有些不同，它的寄信人地址雖然很“民間〃，筆跡卻頗為熟悉，因為那筆跡屬于一位真正的數學家。那數學家不僅Cartan認識，更是他那數學家兒子HenriCartan(1904-2019)的好朋友。那位數學家叫做AndreWeil(1906-2019)，他一生的許多重要工作雖然還有待于此刻拿在Cartan手里的這封監(jiān)獄來信來揭開序幕，但當時的他就已在代數、分析、數論等諸多領域中享有了一定的聲譽。五年前，他還與幾位志同道合的年輕數學家(其中包括HenriCartan)一同，創(chuàng)立了一個后來大名鼎鼎的數學學派 Bourbaki學派。Cartan對筆跡的細心留意使那封監(jiān)獄來信免遭了被棄之垃圾桶的命運，也為我們的Riemann猜測之旅增添了一段新的故事。三十一.與死神賽跑的數學家身為數學家的Weil怎么會跑到監(jiān)獄里去的呢？這還得從他早年的一些經歷說起。Weil是一位早熟的數學家，自九歲開始就在一份中學數學刊物上展露頭角，對數學的喜愛可以說是到達了著迷的程度。據說有一次Weil不小心摔了一跤，他那后來成為哲學家的妹妹所想到的撫慰方法，居然是立刻去把他的數學書找來。十六歲時，Weil進了一所名為coleNormaleSuperieure的學校，這個校名翻譯成中文是一個很士的名字，叫做“高等師范學校〃。但莫看名字不起眼，它實際上卻是一所為法國先后培養(yǎng)過十二位Nobel獎得主及十位Fields獎得主的一流學府。在那里,Weil參加了曾經證明過素數定理（參閱第七節(jié)）的著名數學家Hadamard的討論班,并開始研讀包括Riemann在內的一些數學大師的著作。此外，他還結交了精研印度及東方文化的教授SylvainLevi（1863-1935）o受后者影響，Weil一生都對印度文化懷有濃厚興趣。自十九歲起，Weil開始在歐洲各地游歷，每到一處都結交了不少朋友。1930-1932年間，他到自己神往已久的印度生活了兩年多，親自接觸了這個古老國度的古老文化。1935年，他還訪問了蘇聯(lián)，結識了一些蘇聯(lián)數學家。但他萬萬不曾想到的是，對印度文化的鐘愛及與蘇聯(lián)數學家的友誼在不久之后將給他帶來巨大的麻煩，甚至險些讓他葬身在異國他鄉(xiāng)。受印度教中某些和平主義思想的影響，在二戰(zhàn)前夕的1939年夏天,Weil作出了逃避兵役的決定。為此，他和妻子來到了北歐國家芬蘭，打算以此為跳板前往美國。在芬蘭期間，他沿襲了自己喜好游歷的習慣，一邊在各處旅行，一邊與幾位蘇聯(lián)數學家展開通信聯(lián)絡，討論數學問題。幾個月后，二戰(zhàn)爆發(fā)，芬蘭與蘇聯(lián)的關系趨于緊張，Weil與蘇聯(lián)人的通信開始引起芬蘭方面的警惕：一個外國人，不遠千里，來到芬蘭，專門與蘇聯(lián)人聯(lián)系，這是什么行為？芬蘭方面的警惕很快就變成了Weil的厄運。1939年H月底，蘇芬戰(zhàn)爭爆發(fā)，Weil這位曾經訪問過蘇聯(lián)，當時仍與蘇聯(lián)人頻繁通信，甚至還很巧合地在戰(zhàn)爭爆發(fā)前夕游歷到蘇芬邊境過的法國人，幾乎立刻就被當成蘇聯(lián)間諜抓捕歸案。在Weil的物品中，芬蘭警察發(fā)現了俄文信件，其中還夾帶著疑似間諜符號的奇怪記號（其實是數學符號）［注四］。此外，芬蘭警察還發(fā)現了一個名叫NicolasBourbaki的可疑人物的卡片。這就讓事情更說不清了，因為NicolasBourbaki是Weil等人為Bourbaki學派所取的筆名(跟間諜的化名差不多)，而那卡片那么只不過是Weil等人發(fā)揮自己的幽默感制作出的道具?？上?zhàn)云籠罩下的芬蘭警察沒有心情玩幽默，數學符號也好，幽默道具也罷，通通被視為了間諜證據一一至于你信不信，芬蘭警察反正信了。Weil幫蘇聯(lián)人做間諜一事就這樣被定了罪一一而且是死罪。他的人生之旅走到了最危險的時刻。在這冰天雪地的異國他鄉(xiāng)，有什么人能將他從死神手里救回呢？臨刑前的黃昏，Weil在冰冷的死牢中等待最后一個黑夜的降臨，當地的警察局長卻正在參加一個熱鬧的晚宴。人生的際遇有時是很有戲劇性的。與蘇聯(lián)人討論數學看似無害，卻為Weil帶來了死罪；而警察局長的晚宴看似無益，卻成為了Weil的救命稻草。因為參加晚宴的賓客中有一位數學家名叫RolfNevanlinna(1895-1980)。此人恰好是Weil的朋友。Weil在被審訊時曾經提到過這位朋友，可惜沒管用，因為誰也不相信一位“蘇聯(lián)間諜〃的話，更懶得去核實。Nevanlinna是Helsinki大學的數學教授，在全世界數學家的行列里雖排不到前列，在芬蘭卻是很著名的數學家［注五］,名聲之大甚至連警察局長也認識。于是警察局長走到Nevanlinna身旁，與他聊起了近日的“打黑〃成果。他告訴Nevanlinna：“我們明天將處決一名間諜，他聲稱認識您。通常我是不會為這類瑣事打攪您的，但既然我們都在這里，我很快樂能有時機直接咨詢一下您?！∟evanlinna就問：“他叫什么名字?”警察局長答復說：“Andr存Weil〃。Nevanlinna大吃了一驚，自己的朋友居然變成間諜，這真是“眼睛一眨，老母雞變鴨〃了！當然，他對事情的原委是一無所知的，不過他還是建議警察局長不要處決Weil,而改為驅逐出境。這一建議救了Weil的命。他被芬蘭警方送往瑞典邊境驅逐出境，瑞典警方隨即逮捕了他，將他送往英國，如此幾經接力，Weil于1940年2月被送回到了法國警方手里。法國警方那么以“逃避兵役〃(desertion)為由將他收押在前面提到的海濱城市Rouen的軍事監(jiān)獄中，等候判決。我們在第二十五節(jié)中介紹“獨行俠〃Selberg時曾經提到過，戰(zhàn)爭造成的孤立在Selberg眼里有一種全然不同的感覺，他將之比喻為是處在一座監(jiān)獄里，雖然與世隔絕，卻有時機把注意力集中在自己的想法上，從而對研究來說有許多有利的方面。Selberg后來果真利用那樣的孤立時光，在Riemann猜測研究中取得了重要進展(即臨界線定理)?，F在，我們有了一個更好的例子來印證Selberg的感覺，那就是Weil。與Selberg的比喻不同，Weil可是貨真價實地蹲了監(jiān)獄，他所取得的成果也確實對得住那樣的經歷。而且很巧的是，他那成果也與Riemann猜測有關一一確切地說是跟“山寨版〃的Riemann猜測有關。他那成果原本是應該等到出獄之后才發(fā)布的，但死里逃生的經歷使他對命運感到了迷惘，為防不測，他決定將成果寫成信件先發(fā)出去，于是就有了Cartan所收到的那封監(jiān)獄來信。Weil的經歷和成果引起了一些數學家的"眼紅"。HenryCartan在讀了父親轉給他的Weil的監(jiān)獄來信后，毫不隱諱地向Weil表示了“羨慕〃之心：“我們都沒那么幸運，能像你那樣不受干擾地坐下來工作〃。Weil的印度朋友、Hardy的學生TirukkannapuramVijayaraghavan(1902T955)那么不止一次地感慨道：“如果能有六個月或一年時間蹲監(jiān)獄的話，我肯定能證明Riemann猜測。〃這種幽默感想必是從他老師Hardy那兒學來的，其可信度當然也只能與Hardy的明信片相提并論。事實上，如果蹲六個月或一年的監(jiān)獄就能證明Riemann猜測的話，數學家們肯定是會搶破腦袋去把牢底坐穿的，畢竟，與我們題記所引的Montgomery那句話相比，蹲幾個月監(jiān)獄這種代價實在算不上什么。Weil本人對自己在監(jiān)獄里取得的成果也深感自豪，在給妻子的信中表示：“我的數學工作進展得超乎我最大膽的期望，我甚至有點擔憂一一假設只有在監(jiān)獄里才工作得這么好的話，我是不是每年都該把自己關起來兩三個月？〃不過，這樣“不受干擾〃的“好日子〃并沒有持續(xù)太久。1940年5月初，對Weil的判決下來了，他因逃避兵役被判五年監(jiān)禁。但這一判決帶有一個寬限條件，那就是假設他愿意到戰(zhàn)斗部隊去服役的話，就可以免除監(jiān)禁。Weil接受了這一條件(幽默歸幽默，坐牢的滋味畢竟是不好受的)。他沒有想到的是，這一選擇使他在與死神的賽跑中又一次鬼使神差般地脫了身，因為隨著法國在二戰(zhàn)中的快速退敗，僅僅一個多月后，海濱城市Rouen就落入了德國人手中，尚被關押在軍事監(jiān)獄里的囚犯那么全部遭到了德軍的槍殺。戰(zhàn)爭仍在繼續(xù)，但不久之后，Weil利用一份偽造的肺炎證明騙過軍方，如愿以償地實施了當初前往芬蘭時就擬定的赴美方案。1941年初,Weil全家抵達紐約，開始了全新的生活。到達美國后，他在Lehigh大學、Chicago大學等地任過教，最終那么落戶于Princeton高等研究所，安然度過了自己的學術晚年。Weil的一生在數學上有著頗多建樹，“山寨版〃