第五章 §5.1 5.1.2 弧度制-高中數(shù)學(xué)人教A版必修一 課件（共48張PPT）

5.1.2弧度制第五章

§5.1任意角和弧度制1.了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的相互轉(zhuǎn)化.(重點(diǎn))2.掌握弧度制下的扇形的弧長(zhǎng)和面積公式.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)語(yǔ)同學(xué)們，大家看過(guò)《水滸傳》嗎？在古典小說(shuō)中，經(jīng)?？吹健澳橙松砀甙顺摺边@樣的說(shuō)法，若按照我們今天的標(biāo)準(zhǔn)(1米＝3尺)換算，這些人的身高都超過(guò)了姚明的身高，難道古人真的都有那么高嗎？其實(shí)不然，在我國(guó)歷史的不同時(shí)期，一尺的標(biāo)準(zhǔn)是不一樣的，比如在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，一尺約等于0.23米，這樣算來(lái)，八尺也就1.84米，“堂堂七尺男兒”也就1.6米左右.據(jù)說(shuō)在商代的時(shí)候，一尺約等于0.17米，人高約一丈(一丈等于十尺)，故有“丈夫”之稱，那么度量角的大小，除了角度以外，還有其他單位嗎？讓我們帶著這個(gè)疑問(wèn)開始今天的新課.一、弧度制的概念二、角度制與弧度制的相互轉(zhuǎn)化三、利用弧度表示角隨堂演練四、弧度制下的扇形的弧長(zhǎng)與面積公式內(nèi)容索引弧度制的概念

一問(wèn)題1

我們上節(jié)課所學(xué)習(xí)的角度制能否與實(shí)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系？提示不能，比如30°2′11′′，這種表示不能與實(shí)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.問(wèn)題2為了能把角和實(shí)數(shù)建立聯(lián)系，經(jīng)過(guò)幾千年的發(fā)展、探究和討論，人們?cè)诤饬拷嵌壬线_(dá)成共識(shí)，形成了今天的弧度制.提到弧度，你能想到什么？提示我們能夠想到足球射門的弧度、籃球投籃的弧度，我們認(rèn)知的弧度是非常簡(jiǎn)單的形狀，也正是因?yàn)橛辛嘶《炔磐昝?，比如：海浪因弧度而活躍；嘴角因?yàn)橛谢《榷利悾辉掠嘘幥鐖A缺，正是因?yàn)橛谢《榷挥猩耥?而在我們數(shù)學(xué)中，正是因?yàn)榛《鹊囊?，給數(shù)學(xué)學(xué)科帶來(lái)了巨大的改變.角度制定義用度作為單位來(lái)度量角的單位制1度的角1度的角等于周角的

，記作1°弧度制定義以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制1弧度的角長(zhǎng)度等于

的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.1弧度記作1rad(rad可省略不寫)1.度量角的兩種制度知識(shí)梳理半徑長(zhǎng)2.弧度數(shù)的計(jì)算正負(fù)0一定大小的圓心角α所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)和半徑的比值是唯一確定的，與半徑大小無(wú)關(guān).注意點(diǎn)：

下列命題中，假命題是A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B.1°的角是周角的

，1rad的角是周角的C.1rad的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)√例1根據(jù)1度的角、1弧度的角的定義可知D為假命題.(1)圓心角α所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)和半徑的比值是唯一確定的；(2)任意角的弧度數(shù)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.反思感悟

下列各命題中，真命題是A.1弧度就是1°的圓心角所對(duì)的弧B.1弧度是長(zhǎng)度等于半徑的弧C.1弧度是1°的弧與1°的角之和D.1弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角的大小√跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)弧度制和角度制的規(guī)定可知A，B，C均錯(cuò)誤，D正確.角度制與弧度制的相互轉(zhuǎn)化

二問(wèn)題3根據(jù)公式|α|＝

，你能得出圓周角的弧度數(shù)嗎？提示因?yàn)榘霃綖閞的圓的周長(zhǎng)為l＝2πr，故圓周角的弧度數(shù)α＝2π，而圓周角的角度數(shù)是360°，于是我們有了弧度與角度的換算關(guān)系.1.弧度與角度的換算知識(shí)梳理2.一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系度0°30°45°_____90°120°弧度___度135°150°______270°360°弧度π2π60°180°0(1)弧度單位rad可以省略；(2)在同一個(gè)題目中，弧度與角度不能混用.注意點(diǎn)：

把下列角度化成弧度，弧度化成角度：(1)37°30′；例2(2)－216°；(3)2；角度與弧度換算技巧在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，抓住關(guān)系式πrad＝180°是關(guān)鍵，由它可以得到：度數(shù)×＝弧度數(shù)，弧度數(shù)×

＝度數(shù).一般情況下，省略弧度單位rad.反思感悟

將下列角度與弧度進(jìn)行互化：跟蹤訓(xùn)練2(3)10°；(4)－855°.利用弧度表示角

三

將－1125°角寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判斷它是第幾象限角？例3所以－1125°角是第四象限角.延伸探究若在本例的條件下，在[－4π，4π]范圍內(nèi)找出與α終邊相同的角的集合.得k＝－2，－1,0,1，反思感悟用弧度制表示終邊相同的角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)用弧度制表示終邊相同的角α＋2kπ(k∈Z)時(shí)，其中2kπ是π的偶數(shù)倍，而不是整數(shù)倍.(2)注意同一題目中角度制與弧度制不能混用.(1)用弧度制表示所有與75°角終邊相同的角的集合是

.跟蹤訓(xùn)練3√(2)將手表的分針撥快10分鐘，則分針在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的角的弧度數(shù)是弧度制下的扇形的弧長(zhǎng)與面積公式

四問(wèn)題4

我們初中所學(xué)扇形的弧長(zhǎng)和面積公式是什么？

公式度量制弧長(zhǎng)公式扇形面積公式角度制弧度制l＝

(0＜α＜2π)S＝

＝______(0＜α＜2π)扇形的弧長(zhǎng)與面積公式(R是扇形所在圓的半徑，n°為扇形的圓心角)知識(shí)梳理αR

已知扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積為4cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù).例4設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π)，弧長(zhǎng)為lcm，半徑為Rcm，①②整理得R2－5R＋4＝0，解得R＝1或R＝4.當(dāng)R＝1時(shí)，l＝8，此時(shí)，θ＝8rad>2πrad，舍去.延伸探究已知一扇形的周長(zhǎng)為4，當(dāng)它的半徑與圓心角取何值時(shí)，扇形的面積最大？最大值是多少？設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π)，弧長(zhǎng)為l，半徑為r，面積為S，所以當(dāng)r＝1時(shí)，S最大，且Smax＝1，所以當(dāng)圓心角為2時(shí)扇形面積最大，最大值為1.扇形的弧長(zhǎng)和面積的求解策略反思感悟(2)找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓心角、面積等的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、要求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)公式、扇形的面積公式直接求解或列方程(組)求解.

已知扇形的圓心角是α，半徑為r，弧長(zhǎng)為l.(1)若α＝135°，r＝10，求扇形的弧長(zhǎng)l；跟蹤訓(xùn)練4(2)若扇形AOB的周長(zhǎng)為22，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大，并求出此時(shí)扇形的面積S的最大值.課堂小結(jié)1.知識(shí)清單：(1)弧度制的概念.(2)弧度與角度的相互轉(zhuǎn)化.(3)掌握特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.(4)扇形的弧長(zhǎng)與面積的計(jì)算.2.方法歸納：由特殊到一般、數(shù)學(xué)運(yùn)算.3.常見誤區(qū)：弧度與角度易混用.隨堂演練

1.下列說(shuō)法正確的是A.1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑B.大圓中1弧度的圓心角比小圓中1弧度的圓心角大C.所有圓心角為1弧度的角所對(duì)的弧長(zhǎng)都相等D.用弧度表示的角都是正角√1234對(duì)于A，根據(jù)弧度的定義知，“1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑”，故A正確；對(duì)于B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，只有在同圓或等圓中，1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是相等的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，用弧度表示的角也可