習(xí)題課一元二次不等式及其解法

習(xí)題課一元二次不等式及其解法內(nèi)容要求

1.了解從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程.2.掌握求解一元二次不等式的程序框圖及隱含的算法思想，會設(shè)計求解的程序框圖.3.會解可化為一元二次不等式(組)的簡單分式不等式.解析當(dāng)x＝－2時，0≥0成立.當(dāng)x>－2時，原不等式變?yōu)閤－1≥0，即x≥1.∴不等式的解集為{x|x≥1或x＝－2}.答案C答案

D3.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集為R，則實數(shù)m的取值范圍是(

)A.[2，＋∞) B.(－∞，－2]C.(－∞，－2]∪[2，＋∞) D.[－2，2]解析由題意，得Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2.答案

D4.若產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝

3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時的最低產(chǎn)量是(

)A.100臺 B.120臺 C.150臺 D.180臺解析y－25x＝－0.1x2－5x＋3000≤0，∴x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).答案C5.某商場若將進貨單價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件.現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價，減少進貨量的方法來增加利潤.已知這種商品每件銷售價提高1元，銷售量就要減少10件.那么要保證每天所賺的利潤在320元以上，銷售價每件應(yīng)定為(

)A.12元 B.16元C.12元到16元之間 D.10元到14元之間解析設(shè)每件提高x(0≤x≤10)元，即每件獲利潤(2＋x)元，每天可銷售(100－10x)件.設(shè)每天獲得總利潤為y元，由題意有y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200，要使每天利潤在320元以上，則有－10x2＋80x＋200＞320，即x2－8x＋12＜0，解得2＜x＜6.故每件定價在12元到16元之間時，能確保每天賺320元以上.答案

C6.若不等式x2＋x＋k>0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為________.題型一一元二次不等式的實際應(yīng)用【例1】

某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10000輛.本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0＜x＜1)，則出廠價相應(yīng)地提高比例為0.75x，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤＝(出廠價－投入成本)×年銷售量.(1)寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？規(guī)律方法解關(guān)于一元二次不等式的應(yīng)用題的四個步驟(1)認(rèn)真審題.理解題意，把握題目中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系.(2)引入數(shù)學(xué)符號.根據(jù)題意建立相應(yīng)的不等關(guān)系(或函數(shù)關(guān)系)，把實際問題抽象成一元二次不等式問題.(3)解不等式(或求函數(shù)的最值).(4)回扣實際問題.【訓(xùn)練1】

在一個限速40km/h以內(nèi)的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超過10m.又知甲、乙兩種車型的剎車距離Sm與車速xkm/h之間分別有如下關(guān)系：S甲＝0.1x＋0.01x2，

S乙＝0.05x＋0.005x2.問超速行駛誰應(yīng)負(fù)主要責(zé)任.題型二不等式恒成立問題【例2】

設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.(1)若對于一切實數(shù)x，f(x)<0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.(2)對于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.規(guī)律方法

1.與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題的求解策略(1)與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題，可通過二次函數(shù)求最值，也可通過分離參數(shù)求最值.(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù).(3)對于一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立問題；恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.【訓(xùn)練2】

當(dāng)實數(shù)a為何值時，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集為R?2.解分式不等式的三個注意點(1)解分式不等式一定要等價變形為標(biāo)準(zhǔn)形式，就是右邊為零，左邊為分式，然后再等價轉(zhuǎn)化為不等式組或高次不等式來求解.(2)若分式不等式含等號，等價轉(zhuǎn)化為整式不等式時，其分母不為零最易丟掉，這一點一定要注意.(3)當(dāng)分式不等式分母正負(fù)不確定時不能通過不等式兩邊同乘以分母的方法轉(zhuǎn)化為整式不等式.題型四二次方程根的分布問題

互動探究【例4】

已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍.[思路探究]探究點一方程兩根一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，對應(yīng)的拋物線與x軸的位置關(guān)系怎樣？如何刻畫？探究點二兩根都在區(qū)間(0，1)內(nèi)，方程所對應(yīng)的拋物線與x軸的位置關(guān)系怎樣？如何刻畫？①②規(guī)律方法解二次方程根的分布問題，首先要分清對應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向，及根所在的區(qū)間范圍，列出有關(guān)的不等式或不等式組，進而求解.[課堂小結(jié)]1.求解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的程序框圖2.不等式的應(yīng)用問題常常以函數(shù)為背景，多是解決實際生活、生產(chǎn)中的最優(yōu)化問題等，解題時，要仔細(xì)審題，認(rèn)清題目的條件以及要解決的問題，理清題目中各量之間的關(guān)系，建立恰當(dāng)?shù)牟坏仁侥Ｐ瓦M行求解.3.若一元二次不等式的解集為R或?，則問題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，此時(1)可以根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況確定判別式的符號，進而求出參數(shù)的范圍.(2)分離參數(shù)，將參數(shù)予以分離后，問題往往會轉(zhuǎn)化為函數(shù)