2023年經濟數(shù)學基礎線性代數(shù)部分疑難解析

《經濟數(shù)學基礎》線性代數(shù)部分疑難解析

第2章矩陣

本章重點：

1.了解或理解一些基本概念

具體規(guī)定如下：

(1)了解矩陣和矩陣相等的概念；

(2)了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角形矩陣和對稱矩陣的定義

和性質.

(3)理解矩陣可逆與逆矩陣概念，知道矩陣可逆的條件；

(4)了解矩陣秩的概念；

(5)理解矩陣初等行變換的概念.

2.純熟掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法和轉置等運算，掌握這幾種運算的

有關性質；

3.純熟掌握用矩陣的初等行變換將矩陣化為階梯形矩陣、行簡化階梯

形矩陣，純熟掌握用矩陣的初等行變換求矩陣的秩、逆矩陣.

矩陣乘法是本章的重點之一，在復習矩陣乘法時，要注意：

矩陣乘法不滿足互換律，即/3=物一般不成立(若矩陣46滿足

AB=BA,則稱48為可互換的).

矩陣乘法不滿足消去律，即由矩陣AC=3C及矩陣CVO,不能推出

A=B.但當?？赡鏁r，AC=BC=>A=B.

矩陣A。0,3工0,也許有A5=0.

例1若48是兩個〃階方陣，則下列說法對的是(。).

A.若AB=0,貝1必=0或8:=:00

B.(A+BV=A2+2AB+B2

C.若秩(A)#0,。秩(B)/0,則秩(AB)HO

D.若秩(A)=〃,。秩(8)=〃,則秩(AB)=〃

。解選項A:A=0或8=0只是AB=O的充足條件，而不是必要條件，故A錯

誤；

選項B:(A+B)2=A2+A-B+B-A+B2,矩陣乘法一般不滿足互換

律，即A-BWaA,故B錯誤；

選項C：由秩(A)70,秩(8)/0,說明4,8兩個矩陣都不是0矩陣，

011100

但它們的乘積有也許0矩陣，如A=,則48=.故秩

010000

(AB)NO不一定成立，即C錯誤;

選項D：兩個滿秩矩陣的乘積還是滿秩的，故D對的.

21

例2設矩陣A=[l-20],B=—10,則46

01

21

解由于AB=\\-20]-10[41]

01

所以，應當填寫：[41]

13-210-

例3矩陣";的秩是()

01000_

A.1B.2C.3D.4

解由于

I3-210

01100

00100

01000

相應的階梯形矩陣有3個非。行，故該矩陣的秩為3.

對的選項是：C

例4設矩陣

3602-6

4=01-2,B=91

3-1908

則矩陣1與8的乘積的第3行第1列的元素的值

是.

解根據(jù)乘法法則可知,矩陣/與8的乘積力8的第3行第1列

的元素的值是A的第3行元素與6的第1列元素的乘積之和，即

3X2+(-1)X9+9X0=-3。

應當填寫：-3

例5設力是刎A矩陣，6是5X/7矩陣，則運算故意義的是

().

A.ABrB.ABC.ATB

D.ATBT

解根據(jù)乘法法則可知,兩矩陣相乘,只有當左矩陣的行數(shù)等于右矩

陣的列數(shù)時，它們的乘積才故意義，故矩陣故意義.

對的選項是A.

例6設方程M-慶％假如/—/可逆，則

片.

解由XA-B=X,得XA-X=B,X{A-I)=B

故X=B(A—I

所以，應當填寫:8（4一/）7

注意：矩陣乘法中要區(qū)分“左乘”與“右乘”，若答案寫成{A—I)'氏它是

錯誤的.

1-32

例7.設矩陣A-1-30求矩陣4

11-1

1-32100

解由于[A-1/]-301010

11-1001

1-32100

0-97310

04-3-101

1-32100

T0-11112

04-3-101

-10-1-2-3—6100113

0-11112一010237

001349001349

1I3

所以A237

349

1b167

例8己知矩陣,求常數(shù)a,b.

a00b263

解由于

1b1aba+b267

a00b2aba63

所以a=3,ab=6,得b2.

例9.設矩陣46滿足矩陣方程NX=6,其中

1230

A=,B求X.

-1002

解法一:先求矩陣/的逆矩陣.由于

12101210100-1

[A/]=—>

-1001021101%%

0-1

所以A-1%對

0-1300-2

且X^A'B

%%.021

1230

解法二:由于[4B]=

-1002

12301-2

023201

0-2

X

所以%

例10設矩陣

10

0A=-31

10

試計算4反

10-1100

解。由于[A/]=-314010

100001

10-1001

-01141-1

001-101

。。所以

00

且A“3=41

-10

例11設4B均為n階對稱矩陣,則AB+B/也是對稱矩陣.

證由于A,3是對稱矩陣，即

oAT=A,=B

且(A5+BA)T=(AB)T+(84)T

0000=JBTAT+ATBT°

=BA+AB

°o°°°=AB+BA

。根據(jù)對稱矩陣的性質可知，月3+為是對稱矩陣.

例12設A是77階矩陣，若4=0,則(/_&T=/+A+A2.

證由于(/—A)(/+A+A2)

=I+A+A2-A-A2-A3

=/-43=/

所以=/+A+A2

第3章線性方程組

本章重點：

1.了解萬元線性方程組、線性方程組的矩陣表達、系數(shù)矩陣、增廣矩陣、一般解的概

念.

2.理解并純熟掌握線性方程組的有解鑒定定理;純熟掌握用消元法求線性方程組的

一般解.

?線性方程組月乃=6的解的情況歸納如下：

力乃=6有唯一解的充足必要條件是秩（不）=秩（/）=n；

4才=。有無窮多解的充足必要條件是秩（H）=秩（⑷<〃；

AX=6無解的充足必要條件是秩（W）工秩（力）.

?相應的齊次線性方程組AT=0的解的情況為：

4r=0只有零解的充足必要條件是秩（4）=n；

=0有非零解的充足必要條件是秩（心<n.

例1線性方程組412的系數(shù)矩陣是（）.

x2-x3=0

。A.2X3矩陣。B.3X2矩陣。C.3階矩陣。D.2階矩陣

。解此線性方程組有兩個方程，有三個未知量，故它的系數(shù)矩陣是2X3矩陣.

對的的選項是A.

例2線性方程組/才=6有唯一解，那么/X=0（）.

A.也許有解B.有無窮多解。。C.無解。D.有唯一解

。解線性方程組4r=8有唯一解，說明秩（4）=",故人才=0只有唯一解（零

解）.

對的的選項是D.

例3若線性方程組的增廣矩陣為4=,則當2=（。。）時線

214

性方程組有無窮多解.

A.1。eoB.4o??C.2D.—

2

解將增廣矩陣化為階梯形矩陣，

?T幾2]/X2]

（214J（01-2X0J

此線性方程組未知量的個數(shù)是2,若它有無窮多解,則其增廣矩陣的秩應小于2,即

l-2X=0,從而2=1.

2

對的的選項是D.

例4若非齊次線性方程組4x“X=6有唯一解，那么有（）.

A.秩（4⑻—nB.秩（4=r

C.秩（/）=秩（46）。D.秩⑷=秩

解根據(jù)非齊次線性方程組解的判斷定理可知選項D是對的.

例5求解線性方程組

2-3龍2+2X3+無4=°

—X]+2%2—*3+2匕=-1

X]-2X2+3X3-2X4-1

解將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即

1-32101F1-3210

-12-12-1->0-113-1

1-23-21J|_011-31

1-321011100-83

-^01-1-31-?010-3I

0020000100

由于，秩（N）=秩（⑷=3,

所以,方程組有解.

。一般解為

玉=3+8X4

。,%2=1+314（/1是自由未知量）

.=°

例6