抽樣調(diào)查簡單隨機(jī)抽樣演示文稿

抽樣調(diào)查簡單隨機(jī)抽樣演示文稿當(dāng)前第1頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)抽樣調(diào)查第章簡單隨機(jī)抽樣當(dāng)前第2頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)1.簡單隨機(jī)抽樣是等概抽樣,即每個總體單元都有相同的入樣概率;2.隨機(jī)抽取是有嚴(yán)格要求的,不是隨便抽取，必須按照某一隨機(jī)原則進(jìn)行。注意當(dāng)前第3頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)【例2.1】設(shè)總體有5個單元（1,2,3,4,5)，按放回簡單隨機(jī)抽樣的方式抽2個單元，則所有可能的樣本為個（考慮樣本單元的順序）1,11,21,31,41,52,12,22,32,42,53,13,23,33,43,54,14,24,34,44,55,15,25,35,45,5(放回簡單隨機(jī)抽樣所有可能的樣本)當(dāng)前第4頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)【例2.2】設(shè)總體有5個單元（1,2,3,4,5)，按不放回簡單隨機(jī)抽樣的方式抽2個單元，則所有可1,21,31,41,52,32,42,53,43,54,5(不放回簡單隨機(jī)抽樣所有可能的樣本)能的樣本為個。在實際工作中，更多地采用不放回簡單隨機(jī)抽樣，所以以下討論的簡單隨機(jī)抽樣一般都指不放回簡單隨機(jī)抽樣.當(dāng)前第5頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)二、符號大寫字母表示總體單元的標(biāo)志值：如小寫字母表示樣本單元的標(biāo)志值：如調(diào)查的總體目標(biāo)量主要有：總體總量Y；總體均值

；總體某一指標(biāo)的比例P；兩個總體總量的比率R。對估計精度進(jìn)行計算時，要涉及到總體方差和樣本方差等。下面分別列出：當(dāng)前第6頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)總體方差樣本方差還有一些其他符號,分別說明如下:當(dāng)前第7頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)總體（），樣本將左邊式子中的大寫字母改為小寫字母。當(dāng)前第8頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)總體指標(biāo)值上面帶符號“”的表示由樣本得到的總體指標(biāo)的估計。如稱為的估計。估計量的方差用V表示，如標(biāo)準(zhǔn)差用S表示，如對的樣本估計不用而用稱為抽樣比，記為f.當(dāng)前第9頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)§2.2簡單估計量及其性質(zhì)

無論調(diào)查對象是何種總體參數(shù)，其實所有估計量通常都是樣本均值的某種線性組合，因此在抽樣中不管討論何種估計的基本性質(zhì)，都只圍繞樣本均值進(jìn)行。而對樣本均值這個核心估計量的研究則分為兩個方面：一方面是求樣本均值對所有可能樣本的數(shù)學(xué)期望

（檢驗估計量是否無偏）。另一方面是求樣本均值對所有可能樣本的方差

（檢驗估計量誤差的大小）。當(dāng)前第10頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)為了討論簡單估計的性質(zhì)，首先我們來看兩個引理：

引理一

從大小為N的總體中抽取一個樣本量為n的簡單隨機(jī)樣本，則總體中每個特定單元的入樣概率為：兩個特定單元都入樣的概率為：當(dāng)前第11頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)引理一的證明：在N個單元中取n個單元為樣本，共有個樣本。在個樣本中，包含某個特定單元的樣本數(shù)為：每個樣本被抽中的概率為：。同時包含兩個特定單元的樣本數(shù)為每個樣本被抽中的概率為:當(dāng)前第12頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)

引理二

從總體規(guī)模為N的總體中抽取一個樣本量為n的簡單隨機(jī)樣本。若對總體中的每個單元，引進(jìn)隨機(jī)變量如下：由二項分布可知：當(dāng)前第13頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)所以，不難推出：當(dāng)前第14頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)簡單估計量的性質(zhì)

是性質(zhì)1的無偏估計,即下面我們用兩種與數(shù)理統(tǒng)計中不同的方法來證明這一性質(zhì)。思考：為什么不能用數(shù)理統(tǒng)計中常用的方法？當(dāng)前第15頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)有了這些準(zhǔn)備，我們很容易證明根據(jù)前面提到的關(guān)于的定義，有下式當(dāng)前第16頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)第二種方法證明

證明：對于一個大小為N的總體，樣本量為n的簡單隨機(jī)樣本有個，因此當(dāng)前第17頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)當(dāng)前第18頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)其他幾個估計量的無偏性可容易推出：1、對于總體總量2、對于總體比例當(dāng)前第19頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)性質(zhì)2對于簡單隨機(jī)抽樣，的方差為：式中，n為樣本量；f=為抽樣比；1-f為有限總體校正系數(shù)。V（）=(2.5)當(dāng)前第20頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)證明方法一當(dāng)前第21頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)即當(dāng)前第22頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)

證明方法二:由定義而

當(dāng)前第23頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)因此有當(dāng)前第24頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)

即當(dāng)前第25頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)性質(zhì)3V（）的無偏估計為：式中，為樣本方差。證明:將改寫成:當(dāng)前第26頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)由前面性質(zhì)1證明用過的對稱論證法有:由性質(zhì)2有:當(dāng)前第27頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)當(dāng)前第28頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)下面我們從關(guān)系式可以推出其他幾個估計量的方差當(dāng)前第29頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)

總體總量的估計量方差是總體均值方差的直接推導(dǎo)，下面我們來推導(dǎo)總體比例估計量的方差。當(dāng)前第30頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)

設(shè)N個樣本單元中有N1個具有某一特性,即有N1個單元取值為1,有N-N1個單元取值為0.當(dāng)前第31頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)同理對樣本方差有因此當(dāng)前第32頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)同樣下面我們從關(guān)系式可以推出當(dāng)前第33頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)估計量的方差是衡量估計量精度的度量。從式可以看出，影響估計量方差的因素有：①樣本量n;③總體未入樣比率1-f

②總體方差分析見教材P38,39當(dāng)前第34頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)

N通常很大，當(dāng)f<0.05時，可將1-f近似取為1，這時影響估計量方差的主要因素是樣本量n和總體方差。的大小是我們無法改變的，因此，要提高估計量的精度就只有加大樣本量。注意當(dāng)前第35頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)【例2.3】我們從某個N=100的總體中抽出一個大小為n=10的簡單隨機(jī)樣本，要估計總體平均水平并給出置信度95%的置信區(qū)間。序號i1234567891045204661508解：依題意，N=100,n=10,f=樣本均值為：當(dāng)前第36頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)樣本方差為：因此，總體平均值的估計為：的方差為：的方標(biāo)準(zhǔn)差為：s的置信度95%的置信區(qū)間為：即[2.4295，7.5705].當(dāng)前第37頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)，。其方差為：V（

放回簡單隨機(jī)抽樣簡單估計量當(dāng)前第38頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)

注意:不放回時的方差為放回時的約1-f倍，而1-f<1,因此不放回抽樣的估計精度比放回抽樣的估計精度高。當(dāng)前第39頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)【例2.4】我們從某個N=100的總體中抽出一個大小為n=10的簡單隨機(jī)樣本，要估計總體總量并給出在置信度95%的條件下，估計量的相對誤差。序號i1234567891045204661508解依題意，N=100，由例2.3可知：,因此，對總體總量的估計為：=100×5=500。當(dāng)前第40頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)對V（）的樣本估計為：0其標(biāo)準(zhǔn)差為：因此，在置信度95%的條件下（對應(yīng)的t=1.96),的相對誤差為：=51.41%當(dāng)前第41頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)【例2.5】解：已知n=200,a=130,1-f≈1某超市開張一段時間之后，為改進(jìn)銷售服務(wù)環(huán)境，欲調(diào)查附近幾個小區(qū)居民到該超市購物的滿意度。該超市與附近幾個小區(qū)居委會取得聯(lián)系，在整體中按簡單隨機(jī)機(jī)樣，抽取了一個大小為n=200人的樣本。調(diào)查發(fā)現(xiàn)對該超市購物環(huán)境表示滿意或基本滿意的居民有130位，要估計對該超市購物環(huán)境持肯定態(tài)度居民的比例，并在置信度95%條件下，給出估計的絕對誤差和置信區(qū)間。假定這時的抽樣比可以忽略。當(dāng)前第42頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)在置信度95%的條件下，估計的絕對誤差為：的95%置信區(qū)間為：0.65當(dāng)前第43頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)§2.3比率估計量及其性質(zhì)

用樣本均值作為總體均值的簡單估計量，具有無偏等很多優(yōu)良性質(zhì)，且完全不依賴其它總體信息。但是，若我們有與調(diào)查變量相關(guān)的其它信息（通常稱為輔助變量信息）可以利用，則估計的精度可以大大提高。這就是我們下面要講的比率估計和回歸估計。一、估計的概念當(dāng)前第44頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)設(shè)主要變量為：Y輔助變量為：X兩變量的比率為：總體均值的比估計：其中當(dāng)前第45頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)二、比率估計的特點(diǎn)及注意事項1、使用比估計首先要知道輔助變量的總體均值（或總體總量），調(diào)查時，既要觀測主要變量的值還要觀測輔助變量的值；2、輔助變量必須與主要變量高度相關(guān)且整體上應(yīng)相當(dāng)穩(wěn)定；3、比估計雖然不是無偏的，但其精度要高于簡單估計量很多。下面我們看一個簡單估計與比估計對比的例題當(dāng)前第46頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)【例】對以下假設(shè)的總體（N=6），用簡單隨機(jī)抽樣抽取n=2的樣本，比較簡單隨機(jī)抽樣比率估計及簡單估計的性質(zhì)。i123456均值XiYi011331151882910464.518解：對這個總體，我們列出所有可能的個樣本，以比較簡單估計與比率估計的性質(zhì)。當(dāng)前第47頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)i樣本簡單估計()比率估計()1234567891011121314151,21,31,41,51,62,32,42,52,63,43,53,64,54,65,62.06.09.515.023.57.010.516.024.514.520.028.523.532.037.5181817.116.87521.1515.7515.751620.045516.312516.363619.730816.269219.218.75當(dāng)前第48頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)由此，可以算出：當(dāng)前第49頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)總結(jié)1、從計算表格中可以看出，均值的比估計很穩(wěn)定，而均值的簡單估計則波動劇烈。2、雖然比率估計是有偏估計，但偏倚不大，而估計量方差要比簡單估計的方差小得多。3、比估計是一種很好的估計量，是提高估計精度的最有效的途徑。4、思考：比估計為什么能大幅度地提高估計精度？當(dāng)前第50頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)對于簡單隨機(jī)抽樣,n較大時,比率估計具有以下性質(zhì)：當(dāng)前第51頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)關(guān)于比率估計我們要說明（或證明）以下幾個問題：1、均值的比率估計不是無偏的；2、偏倚是怎么產(chǎn)生的；3、均值比率估計的均方誤差；4、均方誤差的估計。當(dāng)前第52頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)第一個問題可從上面的例題給予說明：第二個問題我們可以從下面的表達(dá)式說明：這里是常量，是隨機(jī)變量。估計量不是隨機(jī)變量的線性函數(shù)。因此，估計量的偏倚是由R的有偏性造成的.當(dāng)前第53頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)第三個問題，我們來證明R估計的偏倚當(dāng)前第54頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)因此因而偏倚主要來自于等式右邊的第二項,由當(dāng)前第55頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)因此，偏倚的主要項為：同樣我們可以推出：當(dāng)前第56頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)當(dāng)前第57頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)對上述方差分別給出樣本估計式如下：當(dāng)前第58頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)【例2.2】某縣在對船舶調(diào)查月完成的貨運(yùn)量進(jìn)行調(diào)查時，對運(yùn)管部門登記的船舶臺帳進(jìn)行整理后獲得注冊船舶2860艘，載重噸位154626噸。從2860艘船舶中抽取一個n=10的簡單隨機(jī)樣本，調(diào)查得到樣本船舶調(diào)查月完成的貨運(yùn)量及其載重噸位如表（單位：噸），要推算該縣船舶調(diào)查月完成的貨運(yùn)量。當(dāng)前第59頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)ii1234578015001005376600100505010206789102170182314501581370120150802050解:已知:N=2860,n=10,X=154626由表可得當(dāng)前第60頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)因此,對該縣船舶在調(diào)查月完成貨運(yùn)量的比率估計為:方差的估計為:=2.10617×當(dāng)前第61頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)差的估計為:如果用簡單估計對貨運(yùn)量進(jìn)行估計,則由此,得到比率估計量設(shè)計效應(yīng)為:對于本問題,比率估計量比簡單估計量的效率高!當(dāng)前第62頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)【例2.3】在一項工資研究中，人們發(fā)現(xiàn)IT行業(yè)中，從業(yè)者的現(xiàn)薪與起薪之間相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.88，已知某IT企業(yè)474名員工的平均起薪為17016.00元/年，現(xiàn)根據(jù)對100個按簡單隨機(jī)抽樣方式選出的員工現(xiàn)薪的調(diào)查結(jié)果，估計該企業(yè)員工的現(xiàn)薪平均水平。已知：當(dāng)前第63頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)【解】1、在簡單估計條件下，的95%的近似置信區(qū)間為：此處教材有誤(P51)當(dāng)前第64頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)2、在比率估計條件下，的95%的近似置信區(qū)間為：當(dāng)前第65頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)下面我們從理論上來比較簡單估計與比率估計的誤差比率估計量精度高于簡單估計量的充要條件是：當(dāng)前第66頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)也就是說，比率估計比簡單估計更為精確。尤其是當(dāng)時，只要相關(guān)系數(shù)，比率估計就要優(yōu)于簡單估計。比率估計的其他問題看教材P53當(dāng)前第67頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)§2.4回歸估計量及其性質(zhì)一、回歸估計的定義對于簡單隨機(jī)抽樣，總體均值和總體總量的回歸估計量（regressionestimatior)的定義為：式中，是樣本均值；為事先設(shè)定的一個常數(shù)如果β=0，則回歸估計量就是簡單估計量；如果則回歸估計量就是比率估計量。當(dāng)前第68頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)二、為常數(shù)的情形當(dāng)回歸系數(shù)為事先給定的常數(shù)時，或以前為相同目的進(jìn)行的調(diào)查所得到的對的樣本回歸系數(shù)穩(wěn)定在某個數(shù)值上，取最近一次調(diào)查所得的作為設(shè)定值。性質(zhì)2對于簡單隨機(jī)抽樣回歸估計量，作為及Y的回歸估計，都是無偏的。即的方差分別為：當(dāng)前第69頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)式中，分別是Y，X的總體方差和總體協(xié)方差；分別是Y，X的樣本方差和樣本協(xié)方差。的樣本估計量為：當(dāng)前第70頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)我們對上式兩端關(guān)于求導(dǎo)數(shù)，得：當(dāng)前第71頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)因此當(dāng)取總體回歸系數(shù)達(dá)到最小，即時，式中，為總體相關(guān)系數(shù)。當(dāng)前第72頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)三、β為樣本回歸系數(shù)的情形如果β需要通過樣本來確定，很自然地，我們會想到用總體回歸系數(shù)的最小二乘估計，也就是樣本回歸系數(shù)：這時簡單隨機(jī)抽樣回歸估計量是有偏的。但當(dāng)樣本量n充分大時，估計量的偏倚趨于零。因此，類似比率估計量，回歸估計量也是漸近無偏的。當(dāng)前第73頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)且有的一個近似估計為：當(dāng)前第74頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)【例4.5】(續(xù)P72的例4.2)利用回歸估計量推算該縣船舶調(diào)查月完成的貨運(yùn)量.解:根據(jù)例4.2中的計算結(jié)果可得樣本回歸系數(shù):從而當(dāng)前第75頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)因此，該縣船舶調(diào)查月完成的貨運(yùn)量的回歸估計為：為了估計，先計算回歸殘差方差：所以當(dāng)前第76頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)對于同一個題，我們來比較三種估計量的誤差差異當(dāng)前第77頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)●與例4.2的結(jié)果比較，對于本問題回歸估計優(yōu)于比率估計，而比率估計又優(yōu)于簡單估計；

●回歸估計優(yōu)于比率估計的原因是回歸直線可以不通過原點(diǎn)。

●比較上述估計量的優(yōu)劣，一般是通過比較它們的均方誤差或方差大小來進(jìn)行。當(dāng)前第78頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)關(guān)于簡單估計、比率估計、回歸估計的估計量方差比較簡單估計量：比率估計量：回歸估計量：當(dāng)前第79頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)由此可以看出(在不考慮偏倚的情況下）有以下結(jié)論：2.比率估計量優(yōu)于簡單估計量的條件是:3.回歸估計量優(yōu)于比率估計量的條件是:在不考慮偏倚時，回歸估計總是優(yōu)于比率估計1.回歸估計量總是優(yōu)于簡單估計量，除非即一般而言有當(dāng)前第80頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)如果不忽略偏倚，全面考慮比率估計和回歸估計的均方誤差MSE，那情況會怎么樣呢？下面我們通過教材P61.表2—13的實際例題來分析比較。(略,看教材)當(dāng)前第81頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)§2.4簡單隨機(jī)抽樣的實施一、樣本量的確定原理

我們知道n的大小會影響抽樣誤差，因為如果n越接近N，則抽樣誤差就會越接近于零，這一點(diǎn)也清楚地體現(xiàn)在下面的式子里。三個因素決定n當(dāng)前第82頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)

在上式中，N是已知的，S是無法知道的，所以要考考慮影響n的重點(diǎn)應(yīng)該是抽樣誤差。習(xí)慣上，不以作為調(diào)查精度指標(biāo)，而是用置信度和絕對誤差限度替代抽樣誤差根據(jù)雙側(cè)分位點(diǎn)的定義有當(dāng)前第83頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)下面我們分別觀察等式右端各部分對n的影響。當(dāng)前第84頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)0.900.950.991.6451.962.58n1.191.73置信度對樣本量n的影響絕對誤差限度d對樣本量n的影響d0.140.100.040.03n4995566964這里當(dāng)前第85頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)總體方差對樣本量n的影響00.090.160.210.240.25n1136240313356370這里下面我們把置信度設(shè)為：絕對誤差設(shè)為：總體方差設(shè)為：來觀察總體規(guī)模N對樣本量n的影響當(dāng)前第86頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)總體規(guī)模N樣本容量n5044100795002171000278500035710000370100000383100000038410000000384總體規(guī)模N對樣本量n的影響當(dāng)前第87頁\共有94頁\編于星期五\0點(diǎn)二、樣本量的確定步驟第一步：確定委托單位認(rèn)可的估計精度水平，包括絕對誤差d和置信水平；第二步：按照