數(shù)列知識點總結(jié)

數(shù)列知識點總結(jié)數(shù)列是高考試題中的重頭戲，每年的全國及各地的考題中必有涉及.

從內(nèi)容上看主要考查等差（比）數(shù)列的定義、通項、前n

項和公式、等差(比)數(shù)列的中項及數(shù)列的性質(zhì)，占分值約

17

分.

因此學(xué)好數(shù)列這塊知識顯得尤為重要.

為了讓學(xué)生更好地掌握數(shù)列，現(xiàn)將等差(比)數(shù)列的有關(guān)知識歸納總結(jié)如下.1.

等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：

an1

an

d

（

d

為常數(shù)），

an

a1

n

1d等差中項：

x，A，y

成等差數(shù)列

2

A

x

y12 2n前n

項和S

a1

an

n

na

n

n

1

d性質(zhì)：an

是等差數(shù)列若m

n

p

q

，則am

an

ap

aq數(shù)列a2n1

,a2n

,a2n1

仍為等差數(shù)列，Sn，S2n

Sn，S3n

S2n

……

仍為等差數(shù)列，公差為n

2

d

；若三個成等差數(shù)列，可設(shè)為a

d，a，a

dn n n nb Tm 2m

1（4）若a

，b

是等差數(shù)列，且前n

項和分別為S

，T

，則

am

S2m

1（5）an

為等差數(shù)列

Sn

an

bn

（

a，b

為常數(shù)，是關(guān)于n

的常數(shù)項為

0的二2次函數(shù)）Sn

的最值可求二次函數(shù)

Sn

an

bn

的最值；或者求出a

中的正、負分界2n項，1a

0

n1n即：當(dāng)a

0，d

0

，解不等式組an

0

可得S

達到最大值時的n

值.1a

0

n1n當(dāng)a

0，d

0

，由an

0

可得S

達到最小值時的n

值.(6)項數(shù)為偶數(shù)2n

的等差數(shù)列an

，有S2n

n(a1

a2n

)

n(a2

a2n1

)

n(an

an1

)(an

,

an1為中間兩項)偶 奇anS a偶 n1S

S

nd，

S奇.（7）項數(shù)為奇數(shù)2n

1的等差數(shù)列an

，有S2n1

(2n

1)an

(an為中間項)

，n奇 偶S

S

a

，nS n

1S偶奇.2.

等比數(shù)列的定義與性質(zhì)nan 1定義：

an1

q

（

q

為常數(shù)，

q

0

），

a

a

qn1.1n等比中項：

x、G、y

成等比數(shù)列

G2

xy

，或G

xy

.na1(q

1)前n

項和：

S

a1

qn

(q

1)1

q（要注意?。┬再|(zhì)：an

是等比數(shù)列（1）若m

n

p

q

，則am·an

ap·aqn 2n

n

3n

2n（2）

S

，S

S

，S

S

……

仍為等比數(shù)列,公比為qn

.注意：由Sn

求an

時應(yīng)注意什么？n

1

時，

a1

S1

；n

2

時，

an

Sn

Sn

1

.3．求數(shù)列通項公式的常用方法（1）求差（商）法n 1222 2

n如：數(shù)列a

，

1

a2 n n

1

a

……

1

a

2n

5

，求a21 1解

n

1

時，

1

a

21

5

，∴

a

14①121222n12

n1n

2時，

1a

1a

……

a

2n1

5②n2nnn①—②得：

1

a

2

，∴

a

2n1

，∴

an1

14

(n

1)2 (n

2)n3［練習(xí)］數(shù)列a

滿足Sn n

1n

1

1

n

S

5

a ，a

4

，求an1

n1

nnS注意到a

S

S

，代入得

Sn1

4；1 nn又S

4

，∴S

是等比數(shù)列，

S

4nn1n

2

時，

an

Sn

Sn

1

……

3·4（2）疊乘法

n 1a nn1如：數(shù)列

a 中，

a

3an n

1， n，求aa2

a3an1an

1

2解 · ……a1

a2

·

……2

3 n a1 nn1

，∴

an 1

又a1

3，∴

an3n

.（3）等差型遞推公式由an

an

1

f

(n)，a1

a0

，求an

，用迭加法n

2

時，a2

a1

f

(2)a

a

f

(3)3 2……

……n 1

兩邊相加得a

a

f

(2)

f

(3)

……

f

(n)an

an1

f(n)∴an

a0

f(2)

f(3)

……

f

(n)n1

an

1

n

2

，求an

（2na

1

3n

1）［練習(xí)］數(shù)列an

中，

a1

1，an

3（4）等比型遞推公式an

can

1

d

（

c、d

為常數(shù)，

c

0，c

1，d

0

）可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an

x

c

an

1

x

an

can

1

c

1x令(c

1)x

d

，∴

x

c

1d d

nc

1

1dc

1，∴

a

是首項為a

，c

為公比的等比數(shù)列ndd∴

a

a

1c

1c

1

dd·cn1，∴a

a

cn1n

1c

1c

1（5）倒數(shù)法1n2ann1a

2如：

a

1，a

n，求a1由已知得：

an

2

1

1，∴2an 2 an an 2an1 an11

1

1

a

n

1a12 2n

1

1∴ 為等差數(shù)列，

1

，公差為 ，∴2 a1

1

n1

1

1

n1

，·2n∴a

n

1求數(shù)列前

n

項和的常用方法裂項法把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項.

n如：

a 是公差為d

的等差數(shù)列，求1na

ak

k

1k

1k k

1

k

k解：由

1 1

1

1

1

d

0d

a aaa

d

k k1

a·a∴1nna

ak

k

11

1 1

1

1

1

1

1 1

k1d

akak1

a2

a2 a3

d

a1

an an1

k

1

1

……

1

1

1d

a1an1

1 11［練習(xí)］求和：11

2 1

2

3

……1

2

3

……

n1n

1an

……

……，Sn

2

（2）錯位相減法若an

為等差數(shù)列，bn

為等比數(shù)列，求數(shù)列

anbn

（差比數(shù)列）前n

項和，可由Sn

qSn

，求Sn

，其中q

為bn

的公比.①②2 3 n1如：

Sn

1

2x

3x

4x

……

nxx·Sn

x

2x3x

4x

……

n

1x

nx2 3 4 n1 n①—②1

x

Sn

1

x

x

……

x

nx2 n1 nnxn1

xn

2n

n

1x

1時，

Sn

1

x2

1

x

，

x

1

時，

Sn

1

2

3

……

n

（3）倒序相加法把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加.n n n

1 2 1

S

a

a

……

a

a

2n 1 n1 nSn

a1

a2

……

an

1

an

相加2Sn

1

a

a

a