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文檔簡(jiǎn)介

2.2

對(duì)數(shù)函數(shù)2.2.1

對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算第1課時(shí)

對(duì)

數(shù)理解對(duì)數(shù)的概念.掌握對(duì)數(shù)的基本性質(zhì).掌握對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化.(重點(diǎn))對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)的范圍.(易混點(diǎn))對(duì)數(shù)性質(zhì)及對(duì)數(shù)恒等式.(難點(diǎn))在指數(shù)ab=N中,a稱為底數(shù)

,b稱為指數(shù),N稱為冪,在引入了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與無理數(shù)指數(shù)冪之后,b的取值范圍由初中時(shí)的限定為整數(shù)擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)

.若a>0且a≠1,則a0=

1

;a1=

a

;對(duì)于任意1=16.x∈R,ax>0.3.填空:(1)3(

4

)=81;(2)(

4

)3=64;(3)5-

3(-4

)1=

125

;(4)21.對(duì)數(shù)的概念條件ax=N,且a>0,a≠1結(jié)論x

叫做以

a

為底

N的對(duì)數(shù),記作x=logaN常用對(duì)數(shù)以

10

為底

N

的對(duì)數(shù),記作lg

N自然對(duì)數(shù)以e為底N的對(duì)數(shù),記作ln

N2.對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系關(guān)系如下表:表達(dá)形式各名稱的意義aNx指數(shù)式ax=N底數(shù)冪值指數(shù)對(duì)數(shù)式x=logaN底數(shù)真數(shù)對(duì)數(shù)性質(zhì)1負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)性質(zhì)21的對(duì)數(shù)是

0

,即loga1=

0

(a>0且a≠1)性質(zhì)3底數(shù)的對(duì)數(shù)等于

1

,即logaa=13.對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)1.如果a3=N(a>1且a≠1),則有()B.log3a=ND.logaN=3A.log3N=aC.logNa=3答案:D32.方程2log

x1=4的解是(

)A.x=19B.x=x3C.x=

3D.x=93解析:

2log

x13=4得,2log

x—2=2

,3∴l(xiāng)og

x—219故選A.=-2,∴x=3

.答案:

A3.方程log5(2x-3)=1的解x=

.解析:

由log5(2x-3)=1得2x-3=5.∴x=4.答案:

44.將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化:(1)35=243;(2)2-8=

1

;256(3)log5125=3;(4)lg

a=-1.5.3解析:

(1)log

243=5;(2)log22561

=-8;(3)53=125;(4)10-1.5=a.由題目可獲取以下主要信息:(1)、(2)、(3)是對(duì)數(shù)式;(4)、(5)、(6)是指數(shù)式.,解答本題可以從指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.[解題過程]=x;

21-(1)33=27;(2)

3=8;(3)(2)52(4)log

16=4;(5)log39241

=-2;(6)log

1=-2.[題后感悟]

(1)對(duì)數(shù)由指數(shù)而來.對(duì)數(shù)式logaN=x是由指數(shù)式ax=N而來的,兩式底數(shù)相同,對(duì)數(shù)式中的真數(shù)N就是指數(shù)式中的冪的值N,而對(duì)數(shù)值x是指數(shù)式中的冪指數(shù).對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系如圖所示.在指數(shù)式ab=N中,若已知a,N,求冪指數(shù)b,便是對(duì)數(shù)運(yùn)算b=logaN.并非任何指數(shù)式都可以直接化為對(duì)數(shù)式,如

(-3)2=9就不能直接寫成log-39,只有符合a>0,a≠1且N>0時(shí),才有ax=N

x=logaN.

13解析:

(1)

-3=27.(2)(

3)6=x.(3)x-6=64.5(4)log

625=4;(5)log

139=-12;(6)log416=-2.注意到x既存在于底數(shù)中,又存在于真數(shù)中,解答本題結(jié)合對(duì)數(shù)的概念,應(yīng)考慮其各自的要求解出x滿足的條件.[解題過程](1)因?yàn)檎鏀?shù)大于0,底數(shù)大于0x+2>0且不等于1,所以2x-1>02x-1≠1,1解得x>2且x≠1.12即

x

的取值范圍是x|x>

且x≠1;(2)因?yàn)榈讛?shù)x2+1>1,所以x≠0;又因?yàn)椋?x+8>0,所以x<38,38綜上可知

x<

,且

x≠0.3即x

的取值范圍是{x|x<8且x≠0}.[題后感悟](1)求解此類式子中參數(shù)的范圍時(shí),應(yīng)根據(jù)對(duì)數(shù)中對(duì)底數(shù)和真數(shù)的要求列出不等式組解出即可.(2)在理解對(duì)數(shù)的概念時(shí),需注意掌握:①基本點(diǎn):底數(shù)大于0且不等于1;②簡(jiǎn)單應(yīng)用:指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化;③對(duì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.解析:

要使

log(5-a)(a-2)有意義,只須使5-a>05-a≠1a-2>0∴2<a<5

且a≠4.由題目可獲取以下主要信息:(1)、(2)題對(duì)數(shù)的值是特殊實(shí)數(shù)0和1;(3)題中底數(shù)和真數(shù)都含有根式.解答本題可利用對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)求解.[解題過程]=1,故x=51=5.(1)由log2(log5x)=0,得log5x=20由log2(lg

x)=1,得lg

x=2,故x=102=100.∵log(

2-1)(

2+1)=x12-1=(

2-1)-1∴( 2-1)x=

2+1=∴x=-1.[題后感悟]

有關(guān)“底數(shù)”和“1”的對(duì)數(shù),可利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)求出其值“1”和“0”,化成常數(shù),有利于化簡(jiǎn)和計(jì)算.解析:

(1)由

log5(log2x)=0,得

log2x=1,∴x=21=2.(2)由log3(ln

x)=1

得ln

x=3;∴x=e3.12

12(3)由

log

x=-2

x=

-2=4.由題目可獲取以下主要信息:①指數(shù)中含有對(duì)數(shù)值.②底數(shù)與指數(shù)式的底數(shù)相同.解答本題可使用對(duì)數(shù)恒等式alogaN=N來化簡(jiǎn)求值.[解題過程]

(1)原式=3·3log3

5=3·5=15.(2)原式=10lg

3·10lg

4=3·4=12.(3)原式=a·c[題后感悟]

要牢記對(duì)數(shù)恒等式,對(duì)于對(duì)數(shù)恒等式alogN=N

要注意格式:①它們是同底的;②a指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式;③其值為對(duì)數(shù)的真數(shù).3

32解析:

(1)原式=2

÷2log

=8÷383=

.(2)原式=eln

2·eln

5=2·5=10.3355(3)∵3log 5=

5,( 3)log

1=

1

=55,∴原式=

5+

5=6

5.5

51.準(zhǔn)確理解對(duì)數(shù)概念對(duì)數(shù)符號(hào)logaN只有在a>0,a≠1且N>0時(shí)才有意義,這是因?yàn)椋喝鬭<0,則N

取某些數(shù)值時(shí),x

不存在,為此規(guī)定a

不能小于0.若a=0,則N≠0時(shí),logaN不存在N=0時(shí),則logaN有無數(shù)個(gè)值,不能確定.因此,規(guī)定a≠0.(3)若a=1,則N≠1時(shí),則logaN不存在N=1時(shí),則logaN有無數(shù)個(gè)值,不能確定.因此,規(guī)定a≠1.(4)由于正數(shù)的任何次冪都是正數(shù),即ax>0,因此N>0.2.準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系在關(guān)系式ax=N中,已知a和x求N的運(yùn)算稱為求冪運(yùn)算;而如果已知a和N,求x,就是對(duì)數(shù)運(yùn)算.兩個(gè)式子實(shí)質(zhì)相同而形式不同,互為逆運(yùn)算.并非任何指數(shù)式都可以直接化為對(duì)數(shù)式,如(-3)2=9就不能直接寫成log-39,只有符合a>0,a≠1且N>0時(shí),才有ax=N

x=logaN.◎求log(1-2x)(3x+2)中的x的取值范圍.【錯(cuò)解】

∵對(duì)數(shù)的真數(shù)大于

0,∴3x+2>0,2∴x>-

.3【錯(cuò)因】

本題錯(cuò)解的原因是忽視對(duì)數(shù)底數(shù)的限制范圍.底數(shù)1-

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