湖南省郴州市資興第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

湖南省郴州市資興第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．命題“若p，則q”與命題“若”互為逆否命題B．命題“”的否定是“”C．命題“直棱柱每個(gè)側(cè)面都是矩形”為真D．“若”的逆命題為真參考答案：答案：D2.已知滿(mǎn)足：，，則BC的長(zhǎng)（

）A.2

B.1

C.1或2

D.無(wú)解參考答案：C略3.已知向量a、b，其中a=（-2，-6），b=

，a?b=-10，則a與b的夾角為A.1500

B.-300

C.-600

D.1200參考答案：D，所以向量與的夾角為．4.若是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且,則(

)A.12

B.18

C.22

D.44參考答案：C略5.有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為

（）A．

B． C．

D．參考答案：A6.函數(shù)的圖象大致是參考答案：B7.已知，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為A. B. C. D.參考答案：A，，答案選A.8.設(shè)雙曲線（）的焦距為12，則m=（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：B【分析】根據(jù)可得關(guān)于的方程，解方程即可得答案.【詳解】因?yàn)榭苫癁椋?，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查已知雙曲線的焦距求參數(shù)的值，考查函數(shù)與方程思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為F1F2,若雙曲線上存在點(diǎn)P,使,則該雙曲線的離心率e范圍為（

）A.（1,）

B.（1,）

C.（1,]

D.（1,]參考答案：A解:由題意，點(diǎn)不是雙曲線的頂點(diǎn)，否則無(wú)意義，在中，由正弦定理得，又，即，在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，得，即，由雙曲線的幾何性質(zhì)，知，即，，解得，又，所以雙曲線離心率的范圍是，故選A.10.函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：B因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，則有且，解得，選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足不等式組的最小值是___________.參考答案：

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃E5由題意作出其平面區(qū)域，=（x，y），=（，1），故令z=?=+y；可化為y=﹣+z，故過(guò)點(diǎn)E（1，1）時(shí)，z=?=+y有最小值+1=；故答案為：．【思路點(diǎn)撥】由題意作出其平面區(qū)域，由=（x，y），=（，1），從而令z=?=+y，再化為y=﹣+z，z相當(dāng)于直線y=﹣+z的縱截距，由幾何意義可得．12.已知是定義在上不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意的都有成立，數(shù)列滿(mǎn)足,且,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為

．參考答案：考點(diǎn)：1.函數(shù)的性質(zhì)；2.數(shù)列求通項(xiàng)公式.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了利用函數(shù)的特征求數(shù)列的通項(xiàng)公式,是函數(shù)與數(shù)列的綜合題.解題的關(guān)鍵是分別賦予得到,然后構(gòu)造出數(shù)列是以為首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列后求解.同時(shí)要對(duì)遞推關(guān)系式通過(guò)兩邊同除以構(gòu)造出為等差數(shù)列進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式.113.定義[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),則下列結(jié)論中①y＝f(x)是奇是函數(shù)

②.y＝f(x)是周期函數(shù),周期為2

③..y＝f(x)的最小值為0,無(wú)最大值④.y＝f(x)無(wú)最小值,最大值為sin1.正確的序號(hào)為

.參考答案：②③，，則，故①錯(cuò)。，∴，故②正確。，在是單調(diào)遞增的周期函數(shù)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，∴，故，無(wú)最大值，故③正確，易知④錯(cuò)。綜上正確序號(hào)為②③。14.已知函數(shù)，若方程至少有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍

．參考答案：15.定積分=

；參考答案：答案：216.已知圓的方程為．設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)(3，5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為

．

參考答案：略17.設(shè)數(shù)集M=｛x|m≤x≤m+｝，N=｛x|n－≤x≤n｝，且M、N都是集合｛x|0≤x≤1｝的子集，如果把b－a叫作集合｛x|a≤x≤b｝的“長(zhǎng)度”，那么集合M∩N的“長(zhǎng)度”的最小值是__________參考答案：__略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作x軸垂直的直線交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，△F1AB的面積為12，拋物線E：y2=2px（p＞0）以雙曲線C的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線E的方程；（Ⅱ）如圖，點(diǎn)為拋物線E的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)PM作y軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)N，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）設(shè)F2（c，0），由令x=c代入C的方程有：，求出A的縱坐標(biāo)，代入三角形面積公式求得c，則拋物線方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得M坐標(biāo)，寫(xiě)出直線PO的方程，與拋物線方程聯(lián)立可得N的坐標(biāo)，當(dāng)t2≠4時(shí)，寫(xiě)出MN所在直線方程，化簡(jiǎn)后說(shuō)明直線MN過(guò)定點(diǎn)（1，0），當(dāng)t2=4時(shí)，直線MN的方稱(chēng)為：x=1，此時(shí)仍過(guò)點(diǎn)（1，0）．【解答】（Ⅰ）解：設(shè)F2（c，0）（c＞0），則令x=c代入C的方程有：∴∴a=1，故，即p=2∴拋物線E的方稱(chēng)為：y2=4x（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知：P（﹣1，t）（t≠0），則直線PO的方稱(chēng)為y=﹣tx，代入拋物線E的方程有：當(dāng)t2≠4時(shí)，∴直線MN的方程為：，即∴此時(shí)直線MN過(guò)定點(diǎn)（1，0）當(dāng)t2=4時(shí)，直線MN的方稱(chēng)為：x=1，此時(shí)仍過(guò)點(diǎn)（1，0）即證直線MN過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線與拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了雙曲線與拋物線關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．19.（本題滿(mǎn)分18分）如果函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于定義域內(nèi)的任意，存在實(shí)數(shù)使得，則稱(chēng)此函數(shù)具有“性質(zhì)”.（1）判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”，若具有“性質(zhì)”，求出所有的值；若不具有“性質(zhì)”，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）已知具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時(shí)，，求在上的最大值.（3）設(shè)函數(shù)具有“性質(zhì)”.且當(dāng)時(shí)，，若

與交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2013個(gè)，求實(shí)數(shù)的值.參考答案：解：（1）由得，根據(jù)誘導(dǎo)公式得．具有“性質(zhì)”，其中．………………4分（2）具有“性質(zhì)”，．設(shè)，則，……6分當(dāng)時(shí)，在遞增，時(shí)當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，且，時(shí)當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，且，時(shí)綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，………………11分（3）具有“性質(zhì)”，，，，從而得到是以2為周期的函數(shù)．又設(shè)，則，．再設(shè)（），當(dāng)（），則，；當(dāng)（），則，；對(duì)于，（），都有，而，，是周期為1的函數(shù)．①當(dāng)時(shí)，要使得與有2013個(gè)交點(diǎn)，只要與在有2012個(gè)交點(diǎn)，而在有一個(gè)交點(diǎn)．過(guò)，從而得②當(dāng)時(shí)，同理可得③當(dāng)時(shí)，不合題意．綜上所述…………18分20.已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，C=2A．（1）求cosA；（2）若a=2，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合；正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用等差數(shù)列以及正弦定理，結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)求解A即可．（2）利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及正弦定理，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積即可．【解答】解：（1）C=2A，B=180°﹣3A因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列所以a+c=2b得sinA+sinC=2sinB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣sinA+2sinA?cosA=2sin3A=2sin（A+2A）=2sinA?cos2A+2cosA?sin2A=2sinA（4cos2A﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣整理得：8cos2A﹣2cosA﹣3=0解之得：或（舍去）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵，所以，a=2，，c=3a+c=2b，，=21.(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)橢圓E:()的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若橢圓E的離心率為，的周長(zhǎng)為.(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設(shè)不經(jīng)過(guò)橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點(diǎn)C，D，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，證明：O，M，N三點(diǎn)共線.

參考答案：(Ⅰ)由題意知，.又∵，∴，，∴橢圓的方程為.

…………5分(Ⅱ)易知，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，中點(diǎn)在軸上，三點(diǎn)共線；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，且設(shè).聯(lián)立方程得相減得，∴，∴，，即，∴.同理可得，∴，所以三點(diǎn)共線.………12分

22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（1）求C的參數(shù)方程；（2）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l：y=x+2垂直，根據(jù)（1）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)方程求出C的普通方程，從而求出參數(shù)方程即可；（2）設(shè)D（1+cost，sint），結(jié)合題意得到直線GD與l的斜率相同，求出t的值，【解答】解：（1）由題意知：ρ=2cos