2021年安徽省合肥市嚴(yán)橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2021年安徽省合肥市嚴(yán)橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有（）A．＞ B．＜ C．＞ D．＜參考答案：B【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式．【分析】利用特例法，判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，則，∴C、D不正確；=﹣3，=﹣∴A不正確，B正確．解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故選：B．2.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是(

) A．f（x）=﹣x3 B．f（x）= C．f（x）=﹣tanx D．f（x）=參考答案：A考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義，單調(diào)性的定義判斷：①f（x）=﹣x3是奇函數(shù)又是減函數(shù)；②f（x）=，定義域（﹣∞，0]不是奇函數(shù)；③f（x）=﹣tanx在定義域上不是減函數(shù)；④f（x）=在定義域上不是減函數(shù)；即可判斷f（x）=﹣x3是奇函數(shù)又是減函數(shù)，從而可得答案．解答： 解：①∵f（x）=﹣x3，定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞），∴f（﹣x）=﹣f（x），x1＜x2，則﹣x13，∴f（x）=﹣x3是奇函數(shù)又是減函數(shù)，②∵f（x）=，定義域（﹣∞，0]∴f（x）=不是奇函數(shù)，③f（x）=﹣tanx在定義域上不是減函數(shù)，④f（x）=在定義域上不是減函數(shù)，故選；A點(diǎn)評(píng)：本題考查了常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，注意定義域，單調(diào)區(qū)間的定義，屬于中檔題．3.已知集合，則（

）A．(－3,3)

B．[－3,3]

C．(0,3]

D．[0,3)參考答案：C4.已知x＞0，y＞0，z＞0，且，則x+y+z的最小值為（

）A.8

B.9

C.12

D.16參考答案：B由，，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。選B。5.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)乘除和乘方【試題解析】

所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（3,1），位于第一象限。6.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的外接圓方程是（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和是,若三點(diǎn)共線,為坐標(biāo)原點(diǎn)，且(直線不過(guò)點(diǎn))，則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B8.已知α是第二象限角，且sin（π﹣α）=，則sin2α的值為（）A．﹣ B． C．﹣ D．﹣參考答案：A【考點(diǎn)】二倍角的正弦．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的求值．【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα，根據(jù)二倍角公式即可求得sin2α的值．【解答】解：∵α是第二象限角，且sin（π﹣α）=sinα=，∴cosα=﹣=﹣．∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）=﹣．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的N=10，則輸出的x=（）A．0.5 B．0.8 C．0.9 D．1參考答案：C【考點(diǎn)】程序框圖．【專題】計(jì)算題；圖表型；試驗(yàn)法；算法和程序框圖．【分析】執(zhí)行程序框圖，寫出每一次循環(huán)x，n的值，當(dāng)有n=10，n＜N不成立，從而輸出S的值，用裂項(xiàng)法求和即可得解．【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有N=10，n=1，x=0滿足條件n＜10，x=，n=2滿足條件n＜10，x=+，n=3…滿足條件n＜10，x=++…+，n=10不滿足條件n＜10，退出循環(huán)，輸出x═++…+=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=0.9．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察程序框圖和算法，考查了用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，屬于基礎(chǔ)題．10.若某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值是

A．4

B．5

C．6

D．7

參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)P的直線與拋物線y2=4x交于兩點(diǎn)A、B，O是原點(diǎn)，A、B的橫坐標(biāo)分別為3和，則下列：①點(diǎn)P是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)；②?=﹣2；③過(guò)A、B、O三點(diǎn)的圓的半徑為；④若三角形OAB的面積為S，則＜S＜；⑤若=λ，則λ=3．在這五個(gè)命題中，正確的是．參考答案：①③④⑤略12.設(shè)函數(shù)，若，則a=_______．參考答案：【分析】當(dāng)時(shí)，解方程，求出的值，判斷是否存在；當(dāng)時(shí)，解方程，求出的值，判斷是否存在，最后確定的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，而，故舍去；當(dāng)時(shí)，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)求值問(wèn)題，考查了分類運(yùn)算能力.13.在等比數(shù)列中，若，，則____________________.參考答案：略14.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且，b＝2則△ABC面積的最大值為_______。參考答案：3【分析】利用余弦定理得出ac的最大值從而得出面積的最大值．【詳解】由余弦定理可得cosB===，∴a2+c2=+4≥2ac，解得ac≤10，∴S△ABC=acsinB=≤3．∴△ABC面積的最大值是3．故答案為：3

15.若函數(shù)f(x)在(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，要使零點(diǎn)的近似值滿足精確度為0.01，則對(duì)區(qū)間(1,2)至少二等分

次

參考答案：7略16.已知函數(shù)，設(shè)，若，則的取值范圍是____________.參考答案：略17.已知向量,若,則_____________.參考答案：2由,得,解得,所以.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在極坐標(biāo)系中，圓是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.（Ⅰ）求圓的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）求圓被直線：所截得的弦長(zhǎng).參考答案：（1）圓C是將圓ρ=4cosθ繞極點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得到的圓，所以圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cos（θ+）…….5分（2）將θ=﹣代入圓C的極坐標(biāo)方程ρ=4cos（θ+），得ρ=2，所以，圓C被直線l：θ=所截得的弦長(zhǎng)，可將θ=﹣代入極坐標(biāo)方程求得為ρ=2．即弦長(zhǎng)為2……………………10分19.（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問(wèn)6分，（Ⅱ）小問(wèn)7分）如圖所示，四棱錐中，底面是個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱底面，且，是的中點(diǎn).（I）證明：平面；（II）求三棱錐的體積.參考答案：（I）證明：連結(jié),交于因?yàn)榈酌鏋檎叫?所以為的中點(diǎn).又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所,因?yàn)槠矫?平面,所以平面（II）．20.（本小題滿分10）已知一個(gè)口袋有m個(gè)白球，n個(gè)黑球（m，n∈N*，n≥2），這些球除顏色外全部相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1，2，3，…，m+n的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜（k=1，2，3，……，m+n）.123…m+n（1）試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p;（2）隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明：.

參考答案：解:(1)

編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為:.

(2)

隨機(jī)變量

X

的概率分布為:X……P……隨機(jī)變量

X

的期望為：.所以. 21.（13分）甲、乙兩超市同時(shí)開業(yè)，第一年的年銷售額都為a萬(wàn)元，甲超市前n（n∈N+）年的總銷售額為（n2﹣n+2）萬(wàn)元；從第二年開始，乙超市第n年的銷售額比前一年的銷售額多（）n﹣1a萬(wàn)元．（Ⅰ）設(shè)甲、乙兩超市第n年的銷售額分別為an，bn萬(wàn)元，求an，bn的表達(dá)式；（Ⅱ）若在同一年中，某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購(gòu)．若今年為第一年，問(wèn)：在今后若干年內(nèi)，乙超市能否被甲超市收購(gòu)？若能，請(qǐng)推算出在哪一年底被收購(gòu)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：考點(diǎn)： 數(shù)列與函數(shù)的綜合．專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： （Ⅰ）假設(shè)甲超市前n年總銷售額為Sn，則Sn=（n2﹣n+2）（n≥2），從而an=，由此能求出bn=[3﹣2（）n﹣1]a．（n∈N*）．（2）當(dāng)n=2時(shí)，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3時(shí)，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；當(dāng)n≥4時(shí)，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被甲超市收購(gòu)．由此能求出2020年年底乙超市將被甲超市收購(gòu)．解答： 解：（Ⅰ）假設(shè)甲超市前n年總銷售額為Sn，則Sn=（n2﹣n+2）（n≥2），因?yàn)閚=1時(shí)，a1=a，則n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣n+2）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）+2]=a（n﹣1），故an=，又b1=a，n≥2時(shí)，bn﹣bn﹣1=（）n﹣1a，故bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）=a+a+（）2a+…+（）n﹣1a=[1++（）2+…+（）n﹣1]a=a=[3﹣2（）n﹣1]a，顯然n=1也適合，故bn=[3﹣2（）n﹣1]a．（n∈N*）．（2）當(dāng)n=2時(shí)，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3時(shí)，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；當(dāng)n≥4時(shí)，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被甲超市收購(gòu)．當(dāng)n≥4時(shí)，令an＞bn，則（n﹣1）a＞[3﹣2（）n﹣1]an﹣1＞6﹣4?（）n﹣1．即n＞7﹣4?（）n﹣1．又當(dāng)n≥7時(shí)，0＜4?（）n﹣1＜1，故當(dāng)n∈N*且n≥7時(shí)，必有n＞7﹣4?（）n﹣1．即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，即2020年年底乙超市將被甲超市收購(gòu)．點(diǎn)評(píng)： 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查在今后若干年內(nèi)，乙超市能否被甲超市收購(gòu)的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．22.（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列的公差，它的前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列.（1）

求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）

（2）