遼寧省鞍山市第三十一高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

遼寧省鞍山市第三十一高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.將正方體ABCD—A1B1C1D1的各面涂色，任何相鄰兩個(gè)面不同色，現(xiàn)在有5個(gè)不同的顏色，并且涂好了過(guò)頂點(diǎn)A的3個(gè)面的顏色，那么其余3個(gè)面的涂色方案共有（

）A．15種

B．14種

C．13種

D．12種參考答案：C略2.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為()A．

B.C．

D.參考答案：B略3.“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A4.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且，若，則函數(shù)的取值范圍為（

）A．[－1,0]

B．[－2,0]

C．[0,1]

D．[0,2]參考答案：B由，

得，∴，設(shè)（為常數(shù)），∵，∴，∴，∴，∴

，∴當(dāng)x=0時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)．綜上可得，即函數(shù)的取值范圍為．故選B．

5.甲、乙兩工廠2002年元月份產(chǎn)值相同，甲廠的產(chǎn)值逐月增加，且每月增加的產(chǎn)值相等，乙廠的產(chǎn)值也逐月增加，且每月增長(zhǎng)的百分率相等，已知2003年元月份兩廠的產(chǎn)值相等，則2002年7月份產(chǎn)值高的工廠是

（

）A．甲廠

B．乙廠

C．產(chǎn)值一樣

D．無(wú)法確定參考答案：A6.在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，，，則S△AOB=（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：D【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】∠AOB==．利用直角三角形面積計(jì)算公式即可得出．【解答】解：∠AOB==．∴S△AOB==5．故選：D．7.拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上一點(diǎn)P(m，1)到焦點(diǎn)距離為5，則拋物線方程為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A9.若一球的半徑為r，則內(nèi)接于球的圓柱的最大側(cè)面積為

()A．2πr2

B．πr2C．4πr2

D.πr2參考答案：A略10.下列函數(shù)中，與函數(shù)有相同定義域的是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)復(fù)數(shù)z1=2+ai，z2=2﹣i（其中a＞0，i為虛數(shù)單位），若|z1|=|z2|，則a的值為

．參考答案：1【考點(diǎn)】A8：復(fù)數(shù)求模．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵z1=2+ai，z2=2﹣i，|z1|=|z2|，∴，即a2+4=5，則a2=1，解得a=1或a=﹣1（舍），故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式的應(yīng)用，解方程是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．12.若一組觀測(cè)值滿足，若恒為0，則

。參考答案：113.觀察下列等式：

，

，

，

，……猜想：

（）.參考答案：略14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）過(guò)點(diǎn)且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為．參考答案：【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】解：法一：先將極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)表示，過(guò)且平行于x軸的直線為，再化成極坐標(biāo)表示．法二：在極坐標(biāo)系中直接構(gòu)造直角三角形由其邊角關(guān)系得方程．【解答】解：法一：先將極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)表示，化為，過(guò)且平行于x軸的直線為，再化成極坐標(biāo)表示，即．法二：在極坐標(biāo)系中，直接構(gòu)造直角三角形由其邊角關(guān)系得方程．設(shè)A（ρ，θ）是直線上的任一點(diǎn)，A到極軸的距離AH==，直接構(gòu)造直角三角形由其邊角關(guān)系得方程．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程求解，屬于基礎(chǔ)題．15.已知函數(shù)在處有極大值，則

．參考答案：616.將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱錐中，給出下列三個(gè)命題：①面是等邊三角形；

②；

③三棱錐的體積是.其中正確命題的序號(hào)是_________.（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

參考答案：①②.17.定義運(yùn)算，則符合條件的復(fù)數(shù)__________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)＝x2＋lnx.(1)求函數(shù)f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求證：當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在g(x)＝x3＋x2的下方．參考答案：(1)∵f(x)＝x2＋lnx∵x＞1，∴F′(x)＜0，∴F(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)∴當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象總在g(x)的圖象的下方．19.已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是﹣1．（1）過(guò)點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）過(guò)原點(diǎn)作兩條互相垂直的直線l1、l2分別交曲線C于點(diǎn)A，C和B，D，求四邊形ABCD面積的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】（1）利用直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是﹣1，建立方程，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）先求出四邊形ABCD的面積，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）令M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），直線AM的斜率，直線BM的斜率，因?yàn)橹本€AM的斜率與直線BM的斜率的差是﹣1，所以有，化簡(jiǎn)得到點(diǎn)M的軌跡C方程為…（2）由題意知，直線l1，l2的斜率存在且不為零，設(shè)直線l1的斜率為k1，則直線l1的方程為y=k1x．由得，設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是x1+x2=k1，，則，又直線l2的斜率為，可得…所以，當(dāng)且僅當(dāng)即k1=±1，四邊形ABCD的面積有最小值為2…20.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知側(cè)面，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=.

(1)求證：C1B⊥平面ABC；

（2）設(shè)=l(0≤l≤1)，且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角

的大小為30°，試求l的值.參考答案：解：（1）因?yàn)閭?cè)面,側(cè)面，故,在中,由余弦定理得：，所以，

故,所以,而平面（2）由（1）可知，兩兩垂直.以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則，,.所以,所以,則.

設(shè)平面的法向量為，則由,得,即，令，則是平面的一個(gè)法向量.

側(cè)面,是平面的一個(gè)法向量，.兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以=1或（舍去）略21.（本小題滿分14分）已知圓錐曲線是參數(shù)）和定點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是圓錐曲線的左、右焦點(diǎn)。（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2且垂直于直線AF1的直線的參數(shù)方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AF2的極坐標(biāo)方程。參考答案：解：（1）圓錐曲線化為普通方程，所以F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），則直線AF1的斜率，……………3分于是經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2垂直于直線AF1的直線的斜率，直線的傾斜角是120°，所以直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），即（t為參數(shù)）．………7分

（2）直線AF2的斜率，傾斜角是150°，設(shè)是直線AF2上任一點(diǎn)，

則，，………………12分所以直線AF2的極坐標(biāo)方程：

………1