復變函數習題課件

一、重點與難點重點：1.

解析函數的概念；2.

函數解析性的判別難點：1.

解析函數的概念；2.

初等函數中的多值函數及主值的概念第二章內容復變函數導數微分解析函數初等解析函數指

數

函

數三

角

函

數對

數

函

數冪

函

數性質解析函數的判定方法可

導

與

微

分

的

關

系可導與解析的判定定理雙

曲

函

數1）導數的定義設函數w

=f

(z)定義于區(qū)域D,z0為D中的一點,點z0

+Dz不出D的范圍,如果極限lim

f

(z0

+

Dz)

-

f

(z0

)=

lim

f

(z0

+

Dz)

-

f

(z0

)

.Dzfi

00dzf

￠(z

)

=

dwz=z0DzDzDzfi

0存在,那么就稱f

(z)在z0可導.這個極限值稱為f

(z)在z0的導數,記作1.

復變函數的導數與微分定義

如果函數f

(z)在區(qū)域D內處處可導,我們就稱在區(qū)域內D可導.2)可導與連續(xù)函數f(z)在z0

處可導則在z0處一定連續(xù),但函數f(z)在z0

處連續(xù)不一定在z0

處可導.3)求導公式與法則(c)

=0,

其中c為復常數.(zn

)

=nzn-1

,

其中n為正整數.[

f

(z)

–

g(z)]

=

f

￠(z)

–

g￠(z).(4)

[f

(z)g(z)]

=

f

￠(z)g(z)

+

f

(z)g￠(z).(

g(z)

?

0)

f

(z)

=

f

￠(z)g(z)

-

f

(z)g￠(z)

.

g(z)

g2

(z)(5)(6)

{f

[g(z)]}

=f

￠(w)g￠(z).

其中w

=g(z)且j

￠(w)?0兩個互為反函數的單值函數,,

其中w

=f

(z)與z

=j

(w)是j

￠(w)1(7)

f

￠(z)

=設函數w

=

f

(z)在

z0

可導,

則Dw

=

f

(z0

+

Dz)

-

f

(z0

)

=

f

￠(z0

)

Dz

+

r(Dz)Dz,式中l(wèi)im

r(Dz)

=

0,

r(Dz)Dz

是

Dz

的高階無窮Dzfi

0小,

f

￠(

z0

)

Dz

是函數

w

=

f

(

z)的改變量

Dw

的線性部分.則f

(z0

)

Dz

稱為函數w

=f

(z)在點z0

的微分,dw

=

f

￠(z0

)

Dz.=

f

(z)dz.記作4)復變函數的微分在z0

可微.如果函數f

(z)在區(qū)域D內處處可微,則稱f

(z)在區(qū)域D內可微.可導與微分的關系函數w

=f

(z)在z0

可導與在z0

可微是等價的.如果函數在z0

的微分存在,則稱函數f

(z)2.

解析函數1)定義如果函數f

(z)在z0

及z0

的鄰域內處處可導,那末稱f

(z)在z0

解析.如果函數

f

(z)在區(qū)域D內每一點解析,

則稱f

(

z)在區(qū)域D內解析.

或稱

f

(

z)是區(qū)域

D

內的一個解析函數(全純函數或正則函數).如果函數f

(z)在z0

不解析,那末稱z0

為f

(z)的奇點.2)性質在區(qū)域D內解析的兩個函數f

(z)與g(z)的和、差、積、商(除去分母為零的點)在D內解析.設函數h

=g(z)在z

平面上的區(qū)域D內解析,函數w

=f

(h)在h

平面上的區(qū)域G

內解析.如果對D內的每一個點z

,函數g(z)的對應值h

都屬于G

,那末復合函數w

=f

[g(z)]在D內解析.所有多項式在復平面內處處解析.(d

)

任何一個有理分式函數

P(

z)

Q(z)

在不含分母為零的點的區(qū)域內解析,使分母為零的點是它的奇點.定理1

設函數f

(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D

內,則f

(z)在D內一點z

=x

+yi

可導的充要條件是:u(x,y)與v(x,y)在點(x,y)可微,并且在該點滿足柯西－黎曼方程?u

=

?v

,

?u

=

-

?v

.?x

?y

?y

?x柯西－黎曼條件(C

-R條件)3)可導與解析的判定若函數f

(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點z

=x

+yi

處可導,則其導數公式:f

￠(z)

=

?u

+

i

?v

=

?u

-

i

?u?x

?x

?x

?y=

?v

-

i

?u

=

?v

+

i

?v

.?y

?y

?y

?x定理2

函數f

(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D

內解析的充要條件是:u(x,y)與v(x,y)在D

內可微,并且滿足柯西－黎曼方程.4)解析函數的判定方法如果能用求導公式與求

導法則證實復變函數

f

(

z)

的導數在區(qū)域D

內處處存在,

則可根據解析函數的定義斷定

f

(

z)

在

D

內是解析的.如果復變函數f

(z)=u

+iv

中u,v

在D內的各一階偏導數都存在、連續(xù)(因而u,v可微)并滿足C

-R

方程,那末根據解析函數的充要條件可以斷定f

(z)在D內解析.3.初等解析函數1)指數函數定義

設z

=

x

+

iy.稱ez

=

ex

(cos

y

+

i

sin

y)為z的指數函數.性質

(a)對任意復數z,

ez

=

ex

>

0,

則

ez

?

0;(b)

ez在z平面上處處解析,而且(ez

)

=

ez

;=

ez1

+z2

;(c)

ez1

ez2(d

)ez是以2pi為周期的周期函數.2)三角函數定義

sin

z

=2,稱為正弦函數.2ieiz

+

e-izcos

z

=

,稱為余弦函數.eiz

-

e-iz性質

(1)

sin

z

是奇函數,cos

z

是偶函數.sin(-z)

=

-sin

z,

cos(-z)

=

cos

z.正弦函數和余弦函數都以2π

為周期.sin(

z

+

2p)

=

sin

z,

cos(z

+

2p)

=

cos

z.eiz

=

cos

z

+

i

sin

z.正弦函數和余弦函數在復平面內都是解析函數(sin

z)

=

cos

z, (cos

z)

=

-sin

z.sin2

z

+cos2

z

=1,但sin

z,cos

z不是有界函數.定義

tan

z

=

sin

z

稱為正切函數.cos

z性質

(1)

tan

z

是奇函數

:

tan(-z)

=

-tan(z).(2)tan

z

是以p為周期的周期函數:tan(z

+p)=tan

z.其它復變三角函數的定義余切函數cot

z

=cos

z

,sin

z1,cos

z1正割函數secz

=.sin

z余割函數csc

z

=.cos2

z1(3)tan

z

在解析區(qū)域有(tan

z)￠=3)雙曲函數ez

-e-z2,稱為雙曲正弦函數.2ez

+

e-zchz

=

,稱為雙曲余弦函數.定義

shz

=性質

(1)

sh

z

是奇函數

:

sh(-z)

=

-sh

z;ch

z

是偶函數

:

ch(-z)

=

ch

z;sh

z,ch

z都是以2pi為周期的周期函數;sh

z,ch

z在z平面上處處解析,且(ch

z)

=

sh

z;(sh

z)

=

ch

z,ch2

z

-

sh2

z

=

1;sin(iz)

=

-i

sh

z,cos(iz)

=

ch

z.4）對數函數滿足方程

ew

=

z

(

z

?

0)的函數

w

=

f

(

z)稱為對數函數,

記為

w

=

Ln

z.因此

w

=

Ln

z

=

ln

z

+

i

Arg

z=

ln

z

+

i

arg

z

+

2kpi

(k

=

0,–1,

–

2,).其中l(wèi)n

z

=ln

z

+i

arg

z(-p<arg

z

￡

p)稱為對數函數Ln

z的主值(支),所以Ln

z

=

ln

z

+

2kpi(k

=

0,–1,–2,).稱為Ln

z

的一個分支.性質

(1)

Ln

z是一個無窮多值的函數

;(2)

設z1

?

0,

z2

?

0,則對于每一個固定的

k

,

可確定一個單值函數

,=

Ln

z1

-

Ln

z2;Ln

z1z2

=

Ln

z1

+

Ln

z2

,

Ln21zz(3)在平面上除去原點和負實軸外,ln

z處處解析,且z(ln

z)￠=

1

.5)冪函數定義

設a是任意復數,

對于z

?

0,

用下列等式定義=

ea

Ln

zz

的冪函數:w

=

za

(z

?

0).當a

是正實數時,補充規(guī)定z

=0

時,za

=0.性質

(1)

一般說來,

za

是一個無窮多值函數.

當Ln

z取主值ln

z時,za

=ea

ln

z稱為冪函數za

的主值;(2)

(za

)

=

aza

-1

.三、典型例題例1

證明函數

f

(

z)

=

x

3

-

y3

i僅在原點有導數

.證limzfi

0z

x

+

iyf

(z)

-

f

(0)

x3

-

y3i=

lim(

x

,

y

)fi

0=

lim (

x2

-

xyi

-

y2

)

=

0(

x

,

y

)fi

0故f

(z

)在z

=0處的導數為0.再證其他處的導數不存在.

0

=

0

0

f

(z)

-

f

(z

)

x3

+

iy3

-

x3

-

iy3z

-

z0

(

x

+

iy)

-

(

x0

+

iy0

)若z沿路徑y(tǒng)

=y0

,則00z

-

z x

-

xf

(z)

-

f

(z

)

x3

-

x3

0

=

0

fi若z沿路徑x

=x0

,則00-3

y2

(當yfi

y

)0

0

0

=

0

fiz

-

z

i(

y

-

y

)f

(z)

-

f

(z

)

-

iy3

+

iy3故除非x0

=y0

=0,否則f

(z)的導數不存在.003

x2

(當x

fi

x

)例2函數f

(z)=(x2

-y2

-x)+i(2

xy

-y2

)在何處可導，何處解析.解u(

x,

y)

=

x2

-

y2

-

x,ux

=

2

x

-

1,

uy

=

-2

y;v(

x,

y)

=

2

xy

-

y2

,

v=

2

x

-

2

y;=

2

y

,vyxux

=

vy

,

uy

=

-vx

.2故

f

(z)

僅在直線

y

=

1

上可導.1由解析函數的定義知,

f

(z)

在直線

y

=

2

上處處不解析,

故

f

(z)

在復平面上處處不解析.2當且僅當y

=1時，例3設ay3

+bx2

y

+i(x3

+cxy2

)為解析函數，求a,b,c

的值.解故設f

(z)=(ay3

+bx2

y)+i(x3

+cxy2

)=u

+ivu

=

ay3

+

bx2

y,

v

=

x3

+

cxy2?x

?y

?x

?y?u

=

2bxy,

?v

=

2cxy,

?v

=

3

x2

+

cy2

,

?u

=

3ay2

+

bx2

,由于f

(z)

解析，所以?x

?y

?y

?x?u

=

-

?v?u

=

?v

,即2bxy

=

2cxy

b

=

c,3ay2

+

bx2

=

-3

x2

-

cy2

3a

=

-c,b

=

-3a

=

1,

b

=

-3,

c

=

-3.故例4在原點的可導性.-

10

,

z

=

0e討論函數f

(z)=z2

,

z

?

01=

limz

-

0f

(

z

)

-

f

(0

)f

￠(0

)

=

limz

fi

0x

fi

0

x-1x

2e

=

0limz

fi

01e

y

2z

-

0

yif

(

z

)

-

f

(

0

)

1=

lim

=

+￥y

fi

0f

(

z

)

-

f

(

0

)

=

￥

,z

-

0

limz

fi

0故f

(z)在原點不可導.函數沿z

=x

趨于0時,解當z

沿正虛軸z

=iy

趨于0時，有設z0

=x0

+iy0為z

平面上任意一定點,f

(

z

)

-

f

(

z

0

)

=

1

+

Re(

z

-

z

0

)z

-

z

0

z

-

z

0當點

z

沿直線

z

=

x

+

iy0

(-￥

<

x

<

￥

)趨于z0

時,有f

(

z

)

-

f

(

z

0

)

=

1

+

x

-

x

0z

-

z

0

x

-

x

0=

2解例5

研究

f

(z)

=

z

+

Re

z

的可導性.f

(

z)

-

f

(

z0)

=

1

+

0z

-

z0

i(

y

-

y0

)=

1,當點

z

沿直線

z

=

x0

+

iy

(-￥

<

y

<

￥

)趨于z0

時,有故f

(z)在z0處不可導且由z0的任意性知f

(z)處處不可導.例5

研究

f

(z)

=

z

+

Re

z

的可導性.例6

解方程sin

z

=

0解=

0sin

z

==2i

2ieizeiz

-

e-iz

e2iz

-

1=

1

e2iz

e2

iz

=

e2

kpi

z

=

kp.(k

=

0,

–

1,

–

2,)的值.2例7

求出(-2)解2

ln(-2)(-2)

2

=

e2[ln

2+i

(

p+2kp)]=

e=

e

2

ln

2{cos[

2(2k

+

1)p]

+

i

sin[

2(2k

+

1)p]}(k

=

0,

–

1,

–

2,)解例8

試求

(1

+

i)1-i

函數值及其主值:(1

+

=

pi)1-i

e(1-i

)

ln(1+i

)

=

e2+i

4

+2kp

(1-i

)ln

p

p

44

ln

2+

+2kp+i

+2kp-ln

2

p-

ln 2

42

+

i

sin

p

4=

e=

2e

4

cos

-

l