2023年高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性考核冊答案附題目

【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形成性考核冊答案

【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè)1答案：

第1章函數(shù)

第2章極限與連續(xù)

(-)單項(xiàng)選擇題

1.下列各函數(shù)對中,(C)中的兩個(gè)函數(shù)相等.

A.f(x)=(Vx)2,g(x)=xB./(x)=7?,g(x)=x

C./(x)=lnx3,g(x)=31nxD./*)=x+l,g(x)=——-

x-\

分析:判斷函數(shù)相等的兩個(gè)條件(1)相應(yīng)法則相同(2)定義域相同

A、/(x)=(4)2=x,定義域{x|xNO}；g(x)=x，定義域?yàn)镽

定義域不同，所以函數(shù)不相等；

B、/(x)=正=兇超")=》相應(yīng)法則不同，所以函數(shù)不相等；

C、/(x)=lnx3=31nx,定義域?yàn)閤>0},g(x)=31nx,定義域?yàn)閧x|x>0}

所以兩個(gè)函數(shù)相等

y--1

D、/(x)=x+1,定義域?yàn)镽；g(x)=-——|-=x+l,定義域?yàn)閧x|xwR,xwl}

定義域不同，所以兩函數(shù)不等。

故選C

2.設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?—8,+00)，則函數(shù)/(x)+/(-%)的圖形關(guān)于(C)對稱.

A.坐標(biāo)原點(diǎn)B.x軸

C.y軸D.y=x

分析:奇函數(shù),/(一幻=一/(幻，關(guān)于原點(diǎn)對稱

偶函數(shù)，/(—x)=/(x),關(guān)于y軸對稱

y=/(x)與它的反函數(shù)y=/■'(x)關(guān)于y=x對稱，

奇函數(shù)與偶函數(shù)的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱

設(shè)g(x)=/(%)+/(-%),則g(f)=/(-)%+“X)=g(x)

所認(rèn)為g(x)=/(x)+/(—x)偶函數(shù)，即圖形關(guān)于y軸對稱

故選C

3.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(B).

A.y=ln(l+x2)B.y-xcosx

ax+a~x.八.

C.y=---D.y=ln(l+x)

分析:A、丁(一力=111(1+(-力2)=缶(1+》2)=丁(力,為偶函數(shù)

B、y(—x)=-xcos(-x)=—xcosx=—y(x),為奇函數(shù)

或者x為奇函數(shù),cosx為偶函數(shù)，奇偶函數(shù)乘積仍為奇函數(shù)

C、y(-x)=-~~/-=y(x),所認(rèn)為偶函數(shù)

D、y(-x)=ln(l-x),非奇非偶函數(shù)

故選B

4.下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是(C).

A.y=x+lB.y——X

6—1,x<(

C.y=￡~D.y=<

1,x>(

分析:六種基本初等函數(shù)

(1)y=c(常值)------常值函數(shù)

(2)y=為常數(shù)一一幕函數(shù)

(3)y=a*(a>0,a*l)----指數(shù)函數(shù)

(4)y=log“x(a>0,aHl)----對數(shù)函數(shù)

(5)y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx--三角函數(shù)

y=arcsinx,[-l,l],

(6)y=arccosx,[-1,1],---反三角函數(shù)

y=arctanx,y=arccotx

分段函數(shù)不是基本初等函數(shù)，故D選項(xiàng)不對

對照比較選C

5.下列極限存計(jì)算不對的的是(D).

AVX1

A.lim-....=1B.limln(l+x)=0

2

-oox+2x-?0

「sinx

C.lim----=0D.limxsin—=0

x—>00Xi0°x

分析：A、已知lim=0(Z2>0)

2—

x士二1

lim----=lim———=lim---—

x，0廠+2x2XT82

rd—1+—

廠

B、limln(l4-x)=ln(l+0)=0

.￥^0

初等函數(shù)在期定義域內(nèi)是連續(xù)的

_..sinx1.八

C、lim----=lvim—sinx=0

jr-*ooxx

x->oo時(shí),一是無窮小量,sinx是有界函數(shù)，

x

無窮小量X有界函數(shù)仍是無窮小量

.1

1sin一]..

D^limxsin—=lim—令￡=--->0,xr8,則原式=lim^-=l

X->8XX->001Xz->0f

X

故選D

6.當(dāng)x.0時(shí)，變量(C)是無窮小量.

sinx1

A.----B.-

xx

C.xsin—D.ln(x+2)

x

分析;lim/(x)=0,則稱/(%)為xfa時(shí)的無窮小量

A、lim——=1,重要極限

zOx

B、lim-=co,無窮大量

*->ox

C>limxsin-=O,無窮小量xX有界函數(shù)sin，仍為無窮小量

Xf°XX

D、limln(x4-2)=ln(0+2)=In2

故選c

7.若函數(shù)/(X)在點(diǎn)X。滿足(A),則/(幻在點(diǎn)須)連續(xù)。

A.lim=f(x0)B./(x)在點(diǎn)X。的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義

XT%

c.lim/(x)=f(x0)D.lim/(x)=lim/(x)

X—X—.V—>X0

分析:連續(xù)的定義:極限存在且等于此點(diǎn)的函數(shù)值，則在此點(diǎn)連續(xù)即lim〃x)=〃xo)

XT%)

連續(xù)的充足必要條件1叫/(x)=/(Xo)olim/(x)=lim/(x)=/(%)

故選A

(二)填空題

J尤2

1.函數(shù)/(x)=―—-+ln(l+x)的定義域是一{x|x>3}__________.

x-3

分析：求定義域一般遵循的原則

(1)偶次根號下的量20

(2)分母的值不等于0

(3)對數(shù)符號下量(真值)為正

(4)反三角中反正弦、反余弦符號內(nèi)的量，絕對值小于等于1

jr

(5)正切符號內(nèi)的量不能取Qr±q(Z=0,L2…)

然后求滿足上述條件的集合的交集，即為定義域

2

Jx-9

/(x)=-------+ln(l+x)規(guī)定

x-3

x2-9>0fx>3^x<-3_____________

■x-3^0得分3求交集—1一，一113.

1+x>0x>—1

定義域?yàn)閧x|x>3}

2

2.已知函數(shù)f(x+l)=/+九則f(x)=x-x.

分析:法一，令，=工+1得X=￡-l

則/Q)=Q_I)2+(/_])=/T則/(x)=x2_x

法二，/(x+D=x(x+l)=(x+l_l)(x+l)所以

3.1im(l+—)v

182X

(iY

分析:重要極限lim1+-e，等價(jià)式lim(l+x尸=e

X—>00xjx-?u

推廣limX)=e

x—>a

lim/(x)=0則lim(l+/(x))，3=e

112xx-1

+—)x=lim(l+—)2e5

i2xX—22xx

4.若函數(shù)/(x)=<&+")*5x<°,在x=0處連續(xù)，則左=」

x+k.x>0

分析:分段函數(shù)在分段點(diǎn)/處連續(xù)=Um/(x)=/(x0)

limf(x}=lim(x+左)=0+左=左

x-^0+\7A->0+\/

2所以攵=e

limf(x)=lim(1+x)、=e

x+1,x>0^

5.函數(shù)y=?,的間斷點(diǎn)是_x=0

sinx,x<0

分析：間斷點(diǎn)即定義域不存在的點(diǎn)或不連續(xù)的點(diǎn)

初等函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的

分段函數(shù)重要考慮分段點(diǎn)的連續(xù)性(運(yùn)用連續(xù)的充足必要條件)

lim/(x)=lim(x+1)=0+1=1

/、s°+不等,所認(rèn)為x=0其間斷點(diǎn)

lim/(x)=limsinx=0

x->0-'7x-^0-

6.若lim/(x)=A,則當(dāng)xf與時(shí)，f(x)-A稱為xf招時(shí)的無窮小量

XT*。-------

分析：lim(/(x)-A)=limf(x)-limA=A-A=0

XT與?f0

所認(rèn)為f(x)-AXT尤0時(shí)的無窮小量

(三)計(jì)算題

1.設(shè)函數(shù)

ex>0

/*)="

x<Q

求/(—2),/(0),/(l).

解：2)=—2"(0)=0,〃l)=d=e

?r-1

2.求函數(shù)y=lg上-的定義域.

x

2x-lr

>0

X

2x-l工〉！或工<0

解:y=lgj」故意義,規(guī)定■解得?

x2

xw0

x=0

則定義域?yàn)樯蟶%<0或x>g

3.在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個(gè)端點(diǎn)在半圓上，試將梯

形的面積表達(dá)成其高的函數(shù).

E

B

設(shè)梯形ABCD即為題中規(guī)定的梯形，設(shè)高為h,即OE=h，下底CD=2R

直角三角形AOE中，運(yùn)用勾股定理得

AE=^OA^-OE1=y/R2-h2

則上底=2AE=2正一〃2

故S=g?(2R+2奴="R+在_〃2)

,sin3x

4?求hm-----

?20sin2x

sin3xsin3x

解：lim2必i.3尤i?3x31JJ

=-----=hm.；x—=-x—=—

X-osin2x△sin2x2122

zsin2x-----x2x-----

2x2x

5.求］im--------

*"sin(x+1)

立..X2—1「(x-l)(x+1)X-1

解：hm--------=hm----------=lim——-

r?isin(x+l)x"sin(x+l)?】sm(x+l)

x+1

tan3x

6.求lim

XTOx

tan3xsin3x1「sin3xx—i——x3=lx-x3=3

解:lim=lim------------=lim------

x->0xx->0xcos3xi3xcos3x1

7.求lim業(yè)上匚

a。sinx

22

Jl+%2-1(7i+x-i)(7i+x+1)x2

解：理=lim=lim

sinxx->0(Jl+%2+l)sinxxf0M+%2+l)sinx

x0

lim=0

x->0(g+1即O+l)xl

X

Y—I

8.求lim(二」)1

x+3

1--a--r[(1

解：lim(三)

lim(—藏lim.Vlim一.l

Xf8x+3f1+之XfooXT8i二33

(i+-r[(1+1)]

XX

3

9.求lim二―6A+8

Ix-5x+4

&x2-6x+8x一24-2_2

解：hm^--------=lim

^->4x-5x+473H即一4-13

10.設(shè)函數(shù)

(I-,X>1

/(x)=?X,-1<X<1

X+1,x<-\

討論/(x)的連續(xù)性，并寫出其連續(xù)區(qū)間.

解：分別對分段點(diǎn)X=—1,X=1處討論連續(xù)性

(1)

lim/(x)=limx=-\

XT-1+\7XT-1+

lim/(x)=lim(x+l)=-l+l=O

X—>—1-X—>-1-

所以lim/(x)lim/(x),即/(x)在x=-l處不連續(xù)

X—>-1+A'—>—1-

(2)

lim/(x)=lim(x-2)2=(l-2)2=l

lim/(x)=limx=l

力1)=1

所以1型/(x)=1蛆/(x)=/⑴即/(x)在X=1處連續(xù)

由(1)(2)得/(x)在除點(diǎn)x=—1外均連續(xù)

故/(力的連續(xù)區(qū)間為(fo,—l)U(T,”)

【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè)2答案:

第3章導(dǎo)數(shù)與微分

(-)單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)/(0)=0且極限癡上3存在，則癡效=(c).

.v->0xA—>0%

A./(0)B.廣(0)

C.fr(x)D.Ocvx

2.設(shè)f(x)在/可導(dǎo)，則lim八勺；2/?)—/(勺)=(口).

力5)2h

A.-2f'(x0)B.f'(xQ)

(

C.2/(x0)D.-f'(x0)

3.設(shè)/(x)=e\則lim/(l+&f⑴=(A).

ADA%

A.eB.2e

-11

C.-eD.一e

24

4.設(shè)/(x)=x(x-l)(x—2>—(x-99),則/'(0)=(D).

A.99B.-99

C.99!D.-99!

5.下列結(jié)論中對的的是(C).

A.若/(x)在點(diǎn)與有極限，則在點(diǎn)與可導(dǎo).

B.若/(x)在點(diǎn)X。連續(xù)，則在點(diǎn)而可導(dǎo).

C.若/(x)在點(diǎn)X。可導(dǎo)，則在點(diǎn)須)有極限.

D.若/(x)在點(diǎn)X。有極限，則在點(diǎn)4連續(xù).

(二)填空題

x~cjn--xW()

1.設(shè)函數(shù)〃x)=X,，則r(O)=_Q________.

0,x=0

2.設(shè)/(e')=e2jt+5e",則丈”限二=21nx+9

dxxx

3.曲線f(x)=?+1在(1,2)處的切線斜率是k=-

4.曲線/(x)=sinx在(-,1)處的切線方程是j=—x=—(1--)

4224

5.設(shè)y=則V=2X2V(1+In幻

6.設(shè)y=九Inx,則yn=—

x

(三)計(jì)算題

1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y'：

331

⑴y=(xVx+3)exV=(x2+3)/+#/

(2)y=cotx+%2Inxy'=—esc2x+x+2xlnx

2

x2xlnx+x

(3)y=--y,=

InxIn2x

C0SX4-2Vx(-sinx+2Aln2)-3(cosx+2”)

(4)y=

I2

Inx-x2sinx(——2x)-(lnx-x)cosx

(5)y=

sinxsin2x

,3srnx]

(6)y=x4-sinxlnxy=4r-------cosxlnx

x

.2

sinx+x3r(cosx+2x)-(sinx+x2)3vIn3

⑺y=

3、

V="tanx+上1

(8)y=ertanx+lnx

COSXX

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y'：

⑴丁=eQ

⑵y=Incosx3

.3

,-Sinx_o2.3

y=------3x2二-3xtanx

cosx

7-

y=xsy'=—x8

-8

(4)y=Vx+Vx

1LN1匚

y=-(x+x2)3(1+—x2)

(5)y=cos2e

y'=-exsin(2^v)

(6)y=cose

y'=-2xexsinex

(7)y=sinnxcosnx

yf=nsin,,_|xcosxcosztx-nsin/,xsin(nx)

(”=53

y'=2九In5cosx25sinr

…sin2x

⑼y=e

.2

V=sin2『x

Y2X9

⑩y=x+e

22

yr=(x+2xlnx)+2xex

xx

ee

(IDy=zx+e

yf=x”(----FexInx)+eeex

x

3.在下列方程中，y=y(x)是由方程擬定的函數(shù)，求y'：

(l)ycosx=

y'cosx-ysinx=2e2yyf

ysinx

cosx—2e”'

⑵丁=cosylnx

yf=siny.y'lnx+cosy.一

x

,cosy

y=--------------

x(l+siny]nx)

⑶2xsiny=——

y

2xcosy.yr+2siny=2A'工.y，(2xcosy+二)=-2siny

yVy

，二2孫一2ysiny

y一二-7~

2xy~cosy+x

(4)y=x+Iny

y+i

y

(5)lnx+ev=y2

—+eyyr=2yyr

x

,1

x(2y-ey)

(6)y2+1=evsiny

2yyf=excosy.yf+siny.ex

,exsiny

y=------------

2y-excosy

⑺e，=e'—y3

eW="_3y2y

V=，+3y2

(8)y=5,+V

V=5'ln5+y'2yIn2

,5In5

y=

l-2vln2

4.求下列函數(shù)的微分dy：

⑴y=cotx+cscx

-1cosx

dy=(—j----口一)公

cosxsin"x

Inx

(2)y=

sinx

—sinx-lnxcosx

dx

⑷y

兩邊對數(shù)得：Iny=；[ln(l-x)-ln(l+x)]

HE/，

3Vl+x1-x1+x

⑸〉usin%”

dy—2sine，'exdx—s\n(2ex}exdx

(6)y=tanev

dy—sec2ex3x2dx=3x2eAsec2xdx

5.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：

(1)y=xlnx

=1=Inx

〃1

y二一

X

(2)y=xsinx

y=xcosx+sinx

y"=-xsinx+2cosx

⑶y-arctanx

y=—L_

'i+x2

?_2x

y-_(i+x2)2

(4)y=3/

229

2%

y'=2x3『ln39'=4/3廠ln3+2h3-3

(四)證明題

設(shè)了(X)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證/'(X)是偶函數(shù).

證:由于f(x)是奇函數(shù)所以/(一幻=一/(幻

兩邊導(dǎo)數(shù)得：/'(—x)(—l)=-f'(x)nf\-x)=f(x)

所以/'(x)是偶函數(shù)。

【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè)3答案：

第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(一)單項(xiàng)選擇題

1.若函數(shù)/(%)滿足條件(D),則存在Je(。，份，使得/'?)=/⑸二〃".

b-a

A.在(凡切內(nèi)連續(xù)B.在(a,%)內(nèi)可導(dǎo)

C.在(a,。)內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)D.在［a,切內(nèi)連續(xù)，在(a,與內(nèi)可導(dǎo)

2.函數(shù)/*)=/+4x-l的單調(diào)增長區(qū)間是(D).

A.(一8,2)B.(-1,1)

C.(2,+8)D.(-2,+8)

3.函數(shù))=，+八一5在區(qū)間(—6,6)內(nèi)滿足(A).

A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升B.單調(diào)下降

C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降D.單調(diào)上升

4.函數(shù)/(x)滿足/(幻=0的點(diǎn)，一定是f(x)的(C).

A.間斷點(diǎn)B.極值點(diǎn)

C.駐點(diǎn)D.拐點(diǎn)

5.設(shè)/(x)在(a,勿內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，/e(a,b),若/(x)滿足(C),則/(x)在X。取到極小值.

A.r(%)>0,/(%)=0B./Vo)<O,/7xo)=O

C.尸(/)=0,/"(%)>0D./(%)=0,/"(/)<0

6.設(shè)/(x)在(a,。)內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且/口)<0,/〃*)<0,則/(x)在此區(qū)間內(nèi)是(A).

A.單調(diào)減少且是凸的B.單調(diào)減少且是凹的

C.單調(diào)增長且是凸的D.單調(diào)增長且是凹的

(-)填空題

1.設(shè)/(%)在(a,份內(nèi)可導(dǎo),/e(a,b)，且當(dāng)x</時(shí)/'(x)<0,當(dāng)x>/時(shí)f'M>0,則x0是/(x)的

極小值點(diǎn)，

2.若函數(shù)/(幻在點(diǎn)X?？蓪?dǎo)，且與是f(x)的極值點(diǎn)，則f\x0)=0.

3.函數(shù)y=ln(l+x2)的單調(diào)減少區(qū)間是(-oo,0).

4.函數(shù)/(尤)=e/的單調(diào)增長區(qū)間是(0,+oo)

5.若函數(shù)/(x)在出，/內(nèi)恒有f'(x)<0,則/(x)在⑶加上的最大值是/(a).

6.函數(shù)/(X)=2+5x—3/的拐點(diǎn)是x=0.

(三)計(jì)算題

1.求函數(shù)y=(x+l)(x—5)2的單調(diào)區(qū)間和極值.

令V=(x+1)2(%+5)2=2(x-5)(x-2)

=駐點(diǎn)x=2,x=5

X(-8,2)2(2,5)5(5,+oo)

f

y+極大-極小+

y上升27下降0上升

極大值：/(2)=27

極小值:/(5)=0

2.求函數(shù)y=/-2無+3在區(qū)間［0,3］內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值.

令:y'=2x-2=0=>x=l(駐點(diǎn))

/(0)=3〃3)=6/⑴=2

n最大值/(3)=6

=＞最小值/(I)=2

3.試擬定函數(shù)y="3+版2+以+1中的a,仇0,d,使函數(shù)圖形過點(diǎn)(―2,44)和點(diǎn)(1,—10),且x=—2

是駐點(diǎn)，x=l是拐點(diǎn).

44=一8。+4。一2x+da=1

-10=a+/?+c=dh=-3

fig.J

0=12a-4b+cc=16

0=6a+2bJ=-24

4.求曲線V=2x上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)A(2,0)的距離最短.

解:設(shè)p(x,y)是V=2x上的點(diǎn),d為p到A點(diǎn)的距離，則:

d=-J(x-2)2+y2=J(x-2)?+2x

令d'-2(*-2)+2_x_1_

2yl(x-2)2+2xJ(x-2>+2x

V=2x上點(diǎn)(1,2)到點(diǎn)A(2,0)的距離最短。

5.圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L,問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí),圓柱體的體積最大?

設(shè)園柱體半徑為R,高為h,則體積

V=TifCh=-h2)h

n

令；V=7i[h(-2h)+l}-h2]=7T\l}-3/I2]=0=L=h=—L

3

R=&.?.當(dāng)〃==—乙時(shí)其體積最大。

6.一體積為V的圓柱體，間底半徑與高各為多少時(shí)表面積最小？

設(shè)園柱體半徑為R,高為h，則體積

2

V=/rRhS表面積=2成7z+2成2=2上+2成2

八R

令:S'=-2VR-2+4砒=0=>上=R3nR=

2萬

答：當(dāng)R=:E/?=；絲時(shí)表面積最大。

N27rV7t

7.欲做一個(gè)底為正方形，容積為62.5立方米的長方體開口容器，如何做法用料最省？

解:設(shè)底連長為x,高為h。則：

62.5=x2h=>h=62j

x

250

側(cè)面積為：S=x2+4xh=x2+—

x

250

令S'=2%----=0=>x3=125=>x=5

廠

答：當(dāng)?shù)走B長為5米，高為2.5米時(shí)用料最省。

(四)證明題

1.當(dāng)x>0時(shí)，證明不等式x>ln(l+x).

證：由中值定理得：蛆1辿=螞11￡)二1111=<1(?.?§>())

X(1+X)—11+4

ln(l+x)]

=>--------<1=>x>ln(l+x)(當(dāng)x>OH寸)

x

2.當(dāng)x>0時(shí)，證明不等式e*>%+L

即(x)=e*-(元+1)

fr(x)=ex-l>0(當(dāng)x>0B寸)n當(dāng)％,00寸/(x)單調(diào)上升且/(0)=0

??./(1)>。，即e">(x+1)證畢

【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè)4答案：

第5章不定積分

第6章定積分及其應(yīng)用

(一)單項(xiàng)選擇題

1.若/(X)的一個(gè)原函數(shù)是,，則/(刈=(D).

X

一」112

A.1nxB.-----C.—D.——

XXX

2.下列等式成立的是(D).

AJf'(x)dx=f(x)B.Jd/'(x)=/(x)C.dj./(%)dx=/(x)D.J/(x)dx=/(x)

3.若/(x)=cosx,則J/'(x)dx=(B).

A.sinx+cB.cosx+cC.-sinx+cD.—cosx+c

4.A

x2/(x3)dx=(B).

dx

A./(x3)B.x2f(x3)C.1/(x)D.；/(—)

j-^/(Vx)dx=(B

5