2023年北京市高考數(shù)學(xué)文科試卷

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)〔文〕〔北京卷〕

本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。

考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一局部(選擇題共40分)

-、選擇題共8小題，每題5分，共40分，在每題給出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1.集合A={xeH|3x+2>0},8={xeR|(x+l)(x-3)>0},那么AB=

22

(A)(-oo,-l)⑻(-1,--)?(--,3)⑻(3,+oo)

【解析】和往年一樣，依然是集合(交集)運(yùn)算，本次考察的是一次和二次不等式的解法。利用一次、

2

二次不等式的解法A={x|x>-§},8="|x<—1或x>3}并畫出數(shù)軸圖易得答案：D

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)業(yè)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為

3+i

(A)(1,3)⑻(3,1)?(-1,3)(D)(3,-1)

【解析】考查的是復(fù)數(shù)除法的化簡運(yùn)算以及復(fù)平面，實(shí)部虛部的概念。

因?yàn)椤?=1+3"實(shí)部為1,虛部為3,對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)為(1,3)答案：A

3.設(shè)不等式組J。4''?，表示的平面區(qū)域?yàn)?。，在區(qū)域。內(nèi)隨機(jī)取一個點(diǎn)，那么此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的

[0<y<2

距離大于2的概率是yA

71—2

2

714一萬

(C)-(D)

6

【解析】一道微綜合題，它涉及到的知識包括：線性規(guī)劃，圓的概念和面積1公式，幾何概型。

題目中表示的區(qū)域如右圖正方形所示，而動點(diǎn)D可以存在的位置為正方型面積減去四分之一圓

4—7T

的面積局部，因此所求概率是——，答案：D

4.執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出的S值為

(A)2⑻4(C)8(D)16

【解析】考查程序框圖，涉及到判斷循環(huán)結(jié)束的時刻，以及簡單整

數(shù)指數(shù)幕的計(jì)算。當(dāng)k=3時，循環(huán)結(jié)束，此時輸出的S為8,答案:

C

5.函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為

(A)0(B)1(C)2(D)3

【解析】外表上考查的是零點(diǎn)問題，實(shí)質(zhì)上是函數(shù)圖象問題(單調(diào)

性)的變種，該題所涉及到的圖像為基函數(shù)和指數(shù)函數(shù)混合運(yùn)算后的零點(diǎn)，即令/(x)=0。根據(jù)此

題可得%=(；)，'在平面直角坐標(biāo)系中分別畫出幕函數(shù)=)和指數(shù)函數(shù)/(幻=弓),的圖

像，可得交點(diǎn)只有一個，所以零點(diǎn)只有一個，答案：Bo

6.{%}為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是

a+a2a

(A)a,+a3>2a2(B)\l-i

(C)假設(shè)。|=〃3，那么4=0(D)假設(shè)4>q，那么。4>。2

【解析】考查的是等比數(shù)列的根本概念，其中還涉及到了均值不等式的知識，如果對于等比數(shù)列根本

概念(公比的符號問題)理解不清，也容易錯選。當(dāng)然此題最好選擇排除法來做，當(dāng)q<0,q<0時,

比方-1,2,-4……，所以A選項(xiàng)錯誤；當(dāng)q=-l時，C選項(xiàng)錯誤；當(dāng)q<—l時，比方1,-2,4,

-8...,與D選項(xiàng)矛盾，而B選項(xiàng)a：+?3>=2a；因

此描述均值定理的B選項(xiàng)為正確答案，答案：Bo

7.某三棱錐的三視圖如下圖，該三棱錐的外表積是

(A)28+6后(B)30+6石

(C)56+12逐(D)60+12石

【解析】考查的是三棱錐的三視圖問題，只不過與往年不同的是

這題所求不是棱錐或棱柱的體積而是外表積，因此對于學(xué)生計(jì)算根本26

5

功以及空間想象的雙能力都存在著綜合性的考查。從所給的三視圖可4f

以得到該幾何體為三棱錐(也已說明)，如右圖所示。圖中藍(lán)色數(shù)字所表/

示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長度，黑色數(shù)字代表通過勾股定理Q

N

國4

的計(jì)算得到的邊長。此題所求外表積應(yīng)為三棱錐四個面的面積之和。利用垂直關(guān)系和三角形面積公式,

可得：10,10,10,675。因此該幾何體外表積3°+6后，答案：B

8.某棵果樹前〃年的總產(chǎn)量S“與〃之間的關(guān)系如下圖，從目前記錄的結(jié)果看，前加年的年平均產(chǎn)量

最高，加的值為

s.

(A)5-

⑻7*

(C)9

(D)11L..........

~~O(234$""67""8910IIn

【解析】知識點(diǎn)考查很靈活，要根據(jù)圖像識別看出變化趨勢，利

用變化速度可以用導(dǎo)數(shù)來解，但圖像不連續(xù)，所以只能是廣義上的，因此對數(shù)學(xué)的理解很大程度上限

制了考生的分?jǐn)?shù)。當(dāng)然此題假設(shè)利用數(shù)學(xué)估計(jì)過于復(fù)雜，最好從感覺出發(fā)。由于目的是使平均產(chǎn)量最

高，就需要隨著n增大，變化超過平均值的參加，隨著n增大，變化缺乏平均值的舍去。由圖可知

6,7,8,9這幾年增長最快，超過平均值，所以應(yīng)該參加，因此，答案：C

第二局部(非選擇題共110分)

二、填空題共6小題，每題5分，共30分。

9.直線y=x被圓Y+(y—2)2=4截得的弦長為_________。JLA

【解析［涉及到的是直線和圓的知識，由于北京的考卷多年沒有涉及直線和圓，、

對于考生來說，可能有些陌生，直線和圓相交求弦長，利用直角三角形解題，/IV

也并非難題。將題目所給的直線和圓圖形化得到如右圖所示的情況，半弦長\

!，圓心到直線的距離d,以及圓半徑r構(gòu)成了一個直角三角形。但是因?yàn)閒

此題特殊，直線y=x與圓心所在y軸成夾角45,因此r=及/，所以弦長〔

2

1=242.答案：2起

10.{4}為等差數(shù)列，S,為其前〃項(xiàng)和，假設(shè),S2=a.,那么的=，

s“=-----------------°

【解析】考查的是等差數(shù)列的根本計(jì)算，技術(shù)難度并不高，通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的常規(guī)考法。因?yàn)?/p>

ax+ay+d=a}+2d,且4=]所以。=],所以答案：a2=l,S?=-^—

11.在AABC中，假設(shè)a=3,b=6ZA=-,那么NC的大小為。

3

【解析】考查的是解三角形，所用方法并不唯一，對?于正弦定理和余弦定理此二者會其-都可以得

到最后的答案。在AABC中，利用正弦定理一J=-2一,可得/8=工，所以。再利用三角

sinAsinB6

TV7T

形內(nèi)角和A+8+C=;r,可得/。=上。答案：-

22

12.函數(shù)y(x)=igx,假設(shè)y(")=i,那么/(/)+/(/)=o

【解析】對數(shù)函數(shù)題，要求學(xué)生會利用對數(shù)的運(yùn)算公式進(jìn)行化簡，同時也要求學(xué)生對于根底的對數(shù)運(yùn)

算敏感；答案：2

13.正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E是A8邊上的動點(diǎn)，那么OE-CB的值為；DE-OC的

最大值為。

【解析】平面向量問題，考查學(xué)生對于平面向量點(diǎn)乘知識的理解，其中包含動點(diǎn)問題，考查學(xué)生對

于最值時刻的圖形感官；答案：1；1

14.f(x)=m(x—2m)(x+m+3),g(x)=2*-2。假設(shè)VxeH,/(x)<0或g(x)<0,那么加的

取值范圍是。

【解析】考查學(xué)生函數(shù)的綜合能力，涉及到二次函數(shù)的圖像開口，根大小，涉及到指數(shù)型函數(shù)的平移

的單調(diào)性，還涉及到簡易邏輯中的“或"連接，形式上是小型題，考確實(shí)是大思路，分類討論是這個

題的重點(diǎn)。答案：1-4,0)

三、解答題共6小題，共80分，解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

15.(本小題共13分)

函數(shù)/3=(而“一3小m2°

sinx

(I)求/(幻的定義域及最小正周期；

(II)求/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間。

16.(本小題共14分)

如圖1,在汝AABC中，ZC=90,分別為

AC,AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將A4DE沿

OE折起到"DE的位置，使A/J_CO,如圖2。

(I)求證：OE〃平面4CB；

(II)求證：\FLBE

(III)線段Af上是否存在點(diǎn)。，使AC_L平面OEQ?說明理由。

17.(本小題共13分)

近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三

類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱

中總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：噸)：

“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾400100100

可回收物3024030

其他垃圾202060

(I)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率;

(II)試估計(jì)生活垃圾投放錯誤的概率;

(III)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、"可回收物”箱、"其他垃圾”箱的投放量分別為a,"c,其

中a>0,a+b+c=600。當(dāng)數(shù)據(jù)的方差/最大時，寫出的值(結(jié)論不要求證明)，并

求此時52的值。

2222

(注：S=—[(%]-X)+(x2-X)+---+(x?-X)],其中X為數(shù)據(jù)X],X5,…,X”的平均數(shù))

n

18.(本小題共13分)

函數(shù)/(x)=ax?+1(。>0),g(x)=%3+bx。

(I)假設(shè)曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在