專題二 數(shù)列求和的方法

專題二數(shù)列求和的方法第一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六考綱要求掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式，能把某些不是等差和等比數(shù)列的求和問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列來解決；掌握裂項求和的思想方法，掌握錯位相減法求和的思想方法，并能靈活的運用這些方法解決相應問題.第二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六知識梳理第三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六一.公式法：①等差數(shù)列的前n項和公式：②等比數(shù)列的前n項和公式③④⑤第四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六⑥2+4+6+…+2n=

；⑦1+3+5+…+（2n+1）=

；n2+n(n+1)2

第五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六二、錯位相減法求和:例如是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求a1b1＋a2b2＋…＋anbn的和．三、分組求和:把數(shù)列的每一項分成若干項，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和．四、并項求和:例如求1002－992＋982－972＋…＋22－12的和．五、裂項相消法求和:把數(shù)列的通項拆成兩項之差、正負相消，剩下首尾若干項．第六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六六、倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和（都相等，為定值），可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法.七、歸納猜想法：先通過歸納猜想和的表達式，再使用數(shù)學歸納法等正面證明。八、奇偶法:通過分組，對n分奇偶討論求和第七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六十、周期轉(zhuǎn)化法

如果一個數(shù)列具有周期性，那么只要求出了數(shù)列在一個周期內(nèi)各項的和，就可以利用這個和與周期的性質(zhì)對數(shù)列的前n項和進行轉(zhuǎn)化合并．九、通項分析求和法：第八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六例1：求和：10看通項，是什么數(shù)列，用哪個公式；20注意項數(shù)第九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六例2：運用倒序相加法第十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六倒序相加法如果一個數(shù)列{an}，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和（都相等，為定值），可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法.

類型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……第十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六已知數(shù)列1,3a,5a2，…，(2n－1)an－1，(a≠0)，求其前n項和．例3.注意對a的討論第十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六例3.已知數(shù)列1,3a,5a2，…，(2n－1)an－1(a≠0)，求其前n項和．思路分析：已知數(shù)列各項是等差數(shù)列1,3,5，…，2n－1與等比數(shù)列a0，a，a2，…，an－1對應項的積，可用錯位相減法求和．解析：設Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－1)an－1①①×a得，aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an②①－②：(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an.第十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六當a＝1時，Sn＝n2.點評：若數(shù)列{an}，{bn}分別是等差、等比數(shù)列，則求數(shù)列{anbn}的前n項和的方法就是用錯位相減法．第十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項乘積組成，此時求和可采用錯位相減法.既{anbn}型等差等比第十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六變式探究1：第十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六1.設數(shù)列滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求數(shù)列的通項；(2)設bn＝，求數(shù)列的前n項和Sn.變式探究2：第十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六

1．設數(shù)列滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1＝，a∈N*.(1)求數(shù)列的通項；(2)設bn＝，求數(shù)列的前n項和Sn.解析：(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①第十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六(2)bn＝n·3n，Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1兩式相減，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，第十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六裂項求和法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項的和變成首尾若干少數(shù)項之和，這一求和方法稱為分裂通項法.（見到分式型的要往這種方法聯(lián)想）第二十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六1．特別是對于，其中是各項均不為0的等差數(shù)列，通常用裂項相消法，即利用(其中d＝an＋1－an)．第二十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六常見的拆項公式有：第二十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六例4：1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？局部重組轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列并項求和第二十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六練習：已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）=20=-21第二十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六（2）Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1)第二十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六練習：求和Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+

……+(1+2+22+……+2n-1)通項分析求和通項=2n-1第二十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六先求通項再處理通項第二十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六第二十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六第二十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六提示：運用周期性質(zhì)練習：第三十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六練習：第三十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六3．求數(shù)列1,3＋，32＋，…，3n＋的各項的和．練習：第三十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六4.在等差數(shù)列中，a1＝3，d＝2，Sn是其前n項的和，求：S＝.練習：第三十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期六1．要求數(shù)列的前n項和，關(guān)鍵是抽取出其通項來加以分析，根據(jù)數(shù)列的通項的結(jié)構(gòu)特點去選擇適當?shù)姆椒ǎ?．等價轉(zhuǎn)換思想是解決數(shù)列問題的基本思想方法，它可將復雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題來解決．3．數(shù)列求和是數(shù)列的一個重要內(nèi)容，其實質(zhì)是將多項式化簡，等差、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和問題應掌握，還應掌握一些特殊數(shù)列的求和．第三十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星