二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)課件

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)課件第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六知識回顧，問題引入1.什么是二次函數(shù)？

一般地，若兩個變量x，y之間的對應關系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的形式，則稱y是x的二次函數(shù).2.在二次函數(shù)y=x2中，y隨x的變化而變化的規(guī)律是什么？你想直觀地了解它的性質(zhì)嗎？第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六…………-24-11010124合作學習，探究一畫二次函數(shù)y=x2的圖象（1）觀察y=x2的表達式，選擇適當?shù)膞值，并計算相應的y值，完成下表：xy第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六·····(2)在直角坐標系中描點（3）用光滑的曲線連接各點，便得到函數(shù)y=x2的圖象y=x2第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六（1）這個函數(shù)的圖象形狀是怎樣的？（2）圖象與x軸的交點坐標是什么？（3）y隨x的變化而怎樣變化？（1）圖象是一條拋物線；（2）有交點，坐標為（0,0）；（3）當x＜0時，y隨x的增大而減小，當x＞0時，y隨x的增大而增大；第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六（4）當x=0時，y的值最大，y最大值=0；（5）是軸對稱圖形，對稱軸是y軸（直線x=0），如（1，1）和（-1，1）等.（4）x取何值時，y的值最??？是多少？（5）圖象是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？請你找出幾對對稱點.第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

二次函數(shù)y=x2的圖象是一條拋物線，開口方向：向上對稱軸：y軸

頂點：對稱軸與拋物線的交點，它是圖象的最低點.坐標為（0,0）第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

二次函數(shù)y=-x2

的圖象也是一條拋物線，它與二次函數(shù)y=x2的圖象關于x軸對稱

二次函數(shù)y=-x2的圖象是什么形狀？它與二次函數(shù)y=x2的圖象有什么關系？第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六圖象開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標y=x2y=-x2

向上

向下y軸（0，0）拋物線第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六增減性：

y=x2

:

x＞0時，y隨x的增大而減小

x＜0時，y隨x的增大而增大

y=-x2:x＞0時，y隨x的增大而增大

x＜0時，y隨x的增大而減小最值：

y=x2:x=0時，y最小值=0y=-x2:x=

0時，y最大值=0第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

在圖2-4中畫出二次函數(shù)y=3x2的圖象，并思考下列問題：（1）圖象：___________開口方向：____對稱軸：___頂點坐標：_________（2）它與y=x2的圖象的相同點：_____________________________；不同點：______________________.拋物線向上y軸（0，0）形狀、開口方向、對稱軸、頂點坐標開口大小第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六相同：形狀開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標不同：開口大小︱a︱越大，開口越小

在圖2-4中畫出y=

x2的圖象，它與y=x2，y=3x2的圖象有什么相同和不同？想一想第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六函數(shù)y=ax2（a＞0）的圖象性質(zhì)圖象：開口方向：______,對稱軸：______頂點坐標：_______.向上y軸（0，0）第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六增減性：

x＜0時，y隨x的增大而減小

x＞0時，y隨x的增大而增大最值：當x=0時，y取得最小值

y最小值=0第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六函數(shù)y=ax2（a＜0）的圖象性質(zhì)圖象：開口方向：______，對稱軸：_____頂點坐標：________.向下y軸（0,0）第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六增減性：

x＜0時，y隨x的增大而增大

x＞0時，y隨x的增大而減小最值：當x=0時，y取得最大值

y最大值=0第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六1.二次函數(shù)y=-x2中，當y=-16時，

x=_________.2.已知函數(shù)y=ax2的圖象過點（3，9），和（2，t）（1）求a和t的值；（2）試判斷這個函數(shù)的圖象是否過點（-3，9）.過點（-3,9）a=1,t=4能力小測試：第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六畫出二次函數(shù)y=2x2+1的圖象y=2x2+1y=2x2合作學習，探究二第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六y=2x2+1的圖象：由y=2x2的圖象向上平移1個單位得到開口方向：向上對稱軸：y軸頂點坐標：（0，1）

二次函數(shù)y=2x2+1的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標分別是什么？它與二次函數(shù)y=2x2的圖象有什么關系？y=2x2y=2x2+1第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六y=2x2-1的圖象：由y=2x2的圖象向下平移1個單位得到開口方向：向上對稱軸：y軸頂點坐標：（0,-1）

二次函數(shù)y=2x2-1的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標分別是什么？它與二次函數(shù)y=2x2的圖象有什么關系？y=2x2y=2x2-1第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六函數(shù)y=ax2+c（a＞0）的圖象性質(zhì)平移：由y=ax2向上或向下平移︱c︱個單位得到開口方向：對稱軸：頂點坐標：向上y軸（0，c）第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六增減性：

x＜0時，y隨x的增大而減小

x＞0時，y隨x的增大而增大最值：當x=0時，y取得最小值

y最小值=c第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六函數(shù)y=ax2+c（a＜0）的性質(zhì)平移：由y=ax2向上或向下平移︱c︱個單位得到開口方向：對稱軸：頂點坐標：向下y軸（0，c）第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六增減性：

x＜0時，y隨x的增大而增大

x＞0時，y隨x的增大而減小最值：當x=0時，y取得最大值

y最大值=c第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六1.二次函數(shù)y=3x2-

的圖象與二次函數(shù)

y=3x2的圖象有什么關系？它是軸對稱圖形嗎？它的開口方向、對稱軸、頂點坐標分別是什么？畫圖看一看.2.二次函數(shù)y=-2x2-

的圖象與二次函數(shù)y=-2x2+

的圖象有什么關系?隨堂練習第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六y=3x2

y=3x2-1.y=3x2-

的圖象：由y=3x2的圖象向下平移個單位得到開口方向：向上對稱軸：y軸頂點坐標：（0，-

）第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六2.y=-2x2-

的圖象：由y=-2x2+

的圖象向下平移1個單位得到y(tǒng)=-2x2+

y=-2x2-

第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六32032501818882021882281832

對于同一個y值，這兩個函數(shù)對應的x值相差1（在對稱軸同側(cè)）合作學習，探究三畫出二次函數(shù)y=2(x-1)2的圖象（1）完成下表：

觀察上表，你能發(fā)現(xiàn)2(x-1)2與2x2的值有什么關系？x-4-3-2-1012342x22(x-1)2第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六（2）畫函數(shù)出y=2(x-1)2的圖象y=2x2y=2(x-1)2第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六y=2(x-1)2的圖象：由y=2x2的圖象向右平移1個單位得到；開口方向：向上；對稱軸：直線x=1；頂點坐標：（1,0）；

x＜1時，y隨x的增大而減小，

x

＞1時，y隨x的增大而增大.

二次函數(shù)y=2(x-1)2的圖象與二次函數(shù)y=2x2的圖象有什么關系？它的開口方向、對稱軸、頂點坐標分別是什么？當x取哪些值時，y的值隨x值的增大而增大？當x取哪些值時，y的值隨x值的增大而減??？第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六y=2(x+1)2的圖象：由y=2x2的圖象向左平移1個單位得到.

類似地，你能發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)y=2(x+1)2的圖象與二次函數(shù)y=2x2的圖象有什么關系嗎？y=2(x+1)2y=2x2第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六對于二次函數(shù)y=-3(x+2)2：（1）它的圖象與二次函數(shù)y=-3x2的圖象有什么關系？它是軸對稱圖形嗎？它的開口方向、對稱軸、頂點坐標分別是什么？（2）當x取哪些值時，y的隨x值的增大而增大？當x取哪些值時，y的值隨x值的增大而減??？隨堂練習：第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六（1）y=-3(x+2)2的圖象：由y=-3x2的圖象向左平移2個單位得到；它是軸對稱圖形；開口方向：向下；對稱軸：直線x=-2；頂點坐標：（0,-2）.(2)x＜-2時，y隨x的增大而增大，

x

＞-2時，y隨x的增大而減小.第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

由二次函數(shù)y=2x2的圖象，你能得到二次函數(shù)y=2x2-

，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2-

的圖象嗎？你是怎樣得到的？與同伴進行交流.y=2x2y=2x2-y=2(x+3)2-y=2(x+3)2第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六y=2x2-

的圖象：由y=2x2的圖象向下平移個單位得到.y=2(x+3)2的圖象：由y=2x2的圖象向左平移3個單位得到.y=2(x+3)2-

的圖象：由y=2x2的圖象向左平移3個單位，再向下平移個單位得到（也可由y=2x2的圖象向下平移個單位，再向左平移3個單位得到）.第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六形狀、開口大小、開口方向相同，只是位置不同.拋物線y=a(x-h)2+k可由拋物線y=ax2沿x軸方向平移︱h︱個單位（h＞0時，向右平移，h＜0時，向左平移），再沿y軸方向平移︱k︱個單位（k＞0時，向上平移，k＜0時，向下平移）得到.

二次函數(shù)y=a(x-h)2+k與y=ax2的圖象有什么關系？第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象是一條拋物線.開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標y=a(x-h)2+k

向上（a＞0）

向下（a＜0）y軸（h，k）第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六增減性：

a＞0時，x＞h，y隨x的增大而減小

x＜h，y隨x的增大而增大

a＜0時，x＞h，y隨x的增大而增大

x＜h，y隨x的增大而減小最值：

a＞0時，x=h，y最小值=ka＜0時，x=h，y最大值=k第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六例題講解例1試討論二次函數(shù)的性質(zhì).解：由表達式可知，它有以下性質(zhì)：（1）圖象是拋物線，開口向下；（2）對稱軸為直線x=-3；（3）頂點是圖象的最高點，坐標為（-3，-2）；（4）當x<-3時，函數(shù)值隨x的增大而增大；當x>-3時，函數(shù)隨x的增大而減小.第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六隨堂練習：1.已知函數(shù)y=-3(x-2)2+4，當x=___時，函數(shù)取最大值為____.2.已知拋物線y=-(x+1)2-3，當x_______時，y隨x的增大而減小.3.怎樣平移拋物線y=3x2，便可得到拋物線y=3(x-2)2+2？24＞-1

由拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位或先向右平移3個單位，再向上平移2個單位得到.第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

學習了二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象和性質(zhì)之后，現(xiàn)在你能研究二次函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象和性質(zhì)嗎？化成y=a(x-h)2+k的形式！合作學習，探究四第四十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六求二次函數(shù)y=2x2-8x+7的圖象的對稱軸和頂點坐標.解y=2x2-8x+7

=2(x2-4x)+7

=2(x2-4x+4)-8+7

=2(x-2)2-1∴二次函數(shù)y=2x2-8x+7的圖象的對稱軸是直線x=2,頂點坐標為（2，-1）.第四十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六解（1）y=3x2-6x+7

=3(x-1)2+4

對稱軸：直線x=1

頂點坐標：（1，4）

（2）y=2x2-12x+8

=2(x-3)2-10

對稱軸：直線x=3

頂點坐標：（3，-10）求下列二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標：（1）y=3x2-6x+7；（2）y=2x2-12x+8.第四十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的對稱軸是直線x=-

,頂點坐標為（-

，）.解y=ax2+bx+c

=a(x2+

x)+c

=a[x2+2·

x+(

)2-(

)2]+c

=a(x+

)2+

求二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的對稱軸和頂點坐標第四十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象是一條拋物線.開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標y=ax2+bx+c

向上（a＞0）

向下（a＜0）直線x=-（-

，）第四十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期六增減性：

a＞0時，x＞-