浙江省嘉興市茅盾中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

浙江省嘉興市茅盾中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，設(shè)為正四面體表面（含棱）上與頂點(diǎn)不重合的一點(diǎn)，由點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離組成的集合記為，如果集合中有且只有個(gè)元素，那么符合條件的點(diǎn)有（

）

A.個(gè)

B.個(gè)

C.個(gè)

D.個(gè)參考答案：C略2.已知函數(shù)，則其在點(diǎn)處的切線方程（

）A

B

C

D參考答案：A3.函數(shù)的部分圖象如右圖所示，設(shè)是圖象的最高點(diǎn),是圖象與軸的交點(diǎn),記,則的值是（）A、

B、

C、

D、參考答案：C略4.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么是這個(gè)數(shù)列的(

)

A．第3項(xiàng)

B．第4項(xiàng)

C．第5項(xiàng)

D．第6項(xiàng)參考答案：A5.已知，則的最小值是（

）A．2

B． C．4

D．5參考答案：C解析:因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，取“=”號(hào)。6.已知復(fù)數(shù)z滿足z?（i﹣1）=2i，則z的共軛復(fù)數(shù)為（） A．1﹣i B． 1+i C． ﹣1+i D． ﹣1﹣i參考答案：B略7.拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A、B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB=，設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在l上的投影為N，則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．【解答】解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值為1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題在拋物線中，利用定義和余弦定理求的最大值，著重考查拋物線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、基本不等式求最值和余弦定理的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．8.點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)是A．

B．

C．

D．參考答案：A9.若點(diǎn)P是曲線lnx上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=x+3的最小距離為(

)A.1

B.

C.

D.

參考答案：B10.已知，若直線xcosθ+2y+1=0與直線x﹣ysin2θ﹣3=0垂直，則sinθ等于（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【分析】利用直線與直線垂直的性質(zhì)求解．【解答】解：由題意可得﹣?=﹣1，即sinθ=，故選：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知an=，n∈N*，則an=

．參考答案：1【考點(diǎn)】數(shù)列的極限．【分析】利用數(shù)列的極限求解即可．【解答】解：an=，n∈N*，則an===1．故答案為：1．12.如圖，E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一點(diǎn)，且BD1∥平面B1CE，則異面直線BD1與CE所成角的余弦值為_(kāi)_____．參考答案：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，如圖，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面，則為直線與所成的角，在中，，故答案為.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查異面直線所成的角，屬于難題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.

13.已知復(fù)數(shù)，且，則的最大值為

.參考答案：略14.函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最小值是

。參考答案：-15

15.在ΔABC中，若SΔABC=

(a2+b2－c2),那么角∠C=______參考答案：16.某企業(yè)共有職工627人，總裁為了了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，決定抽取10%的職工進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，如果采用系統(tǒng)抽樣方法抽取這一樣本，則應(yīng)分成

段抽?。畢⒖即鸢福?2【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法．【專題】集合思想；做商法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：由于抽取10%，即抽取比例為10：1，則每10人一組，∵627÷10=62+7，∴應(yīng)該分成62段，故答案為：62；【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．17.如圖，當(dāng)拋物線形拱橋的拱頂距水面2米時(shí)，測(cè)得水面寬4米．若水面下降0.5米，則水面寬米．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；應(yīng)用題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】可建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x2=2py，從而由題意知點(diǎn)（2，﹣2）在拋物線上，帶入拋物線方程便可求出p=﹣1，這便得出拋物線方程為x2=﹣2y．而根據(jù)題意知點(diǎn)（x0，﹣2.5）在拋物線上，從而可以求出x0，從而水面寬度便為2|x0|，即得出水面寬度．【解答】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為x2=2py；根據(jù)題意知，A（2，﹣2）在拋物線上；∴4=2p?（﹣2）；∴p=﹣1；∴x2=﹣2y；設(shè)B（x0，﹣2.5）在拋物線上，則：；∴；∴水面下降0.5米，則水面寬為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】考查通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)求出曲線方程，利用曲線方程解決幾何問(wèn)題的方法，以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，數(shù)形結(jié)合解題的方法．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)，（其中a為常數(shù)）．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若，令，證明：．參考答案：（1）函數(shù)的定義域是，，?當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；…（2分）?當(dāng)時(shí)，，可得，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；…（4分）(2)，分參可得，，可得，即在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，…（6分）通過(guò)數(shù)形結(jié)合可知…（8分）(3)已知，可得，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上有唯一的實(shí)數(shù)根，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，取極小值，也是最小值，由，得，則，…（10分）故，，所以科．（12分）19.（本題滿分13分）已知n條直線：：，

=，，

，…，.（其中）這ｎ條平行線中，每相鄰兩條之間的距離順次為2，3，4，…，n.（1）求；（2）求與x軸、y軸圍成的圖形的面積；（3）求與及x軸、y軸圍成的圖形的面積.參考答案：解析：（1）由題意可知:到的距離為:=2+3+4+…+n,

∵>∴=…………（4分）

（2）設(shè)直線:x－y＋cn=0交x軸于Ｍ點(diǎn)，交ｙ軸于Ｎ點(diǎn)，則△ＯＭＮ的面積為：

Ｓ△ＯＭＮ＝│ＯＭ││ＯＮ│==…………（9分）

（3）圍成的圖形是等腰梯形,由（2）知Ｓｎ＝．則有

Sｎ－１＝,

Sｎ－Sｎ－１＝－＝ｎ３

所以所求面積為n3………（14分）20.已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的極值.參考答案：（Ⅰ），，.故切線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程可得，化簡(jiǎn)得；（Ⅱ）由（Ⅰ），得.令，得或.當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：1+0-0+極大值極小值綜上，的極大值為，的極小值為.21.已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值.參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）分析：(1)先構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式，(2)研究零點(diǎn)，等價(jià)研究的零點(diǎn)，先求導(dǎo)數(shù)：，這里產(chǎn)生兩個(gè)討論點(diǎn)，一個(gè)是a與零，一個(gè)是x與2，當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，先減后增，從而確定只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件，再利用零點(diǎn)存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時(shí)，，即．（2）設(shè)函數(shù)．在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)．（i）當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒(méi)有零點(diǎn)；②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以．故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.22.解不等式：≤x﹣1．參考答案：【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法