專題15從全等到相似

專題15從全等到相似例題與求解【例1】如圖，口ABCD中，直線PS分別交AB,CD的延長線于P,S，交BC,AC,AD于Q,E,H，圖中相似三角形的對數(shù)（不含全等三角形）共有對.解題思路：從尋找最基本的相似三角形入手,注意相似三角形的傳遞性.S【例2】如圖，在直角梯形ABCD中，AB=7,AD=2,BC=3.如果邊AB上的點P使得以P,A,D為頂點的三角形和以P,B,C為頂點的三角形相似，那么這樣的點P有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解題思路：通過代數(shù)化，將P點的個數(shù)的討論轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)的討論.要使兩個三角形相似,并沒有具體的對應關(guān)系,所以結(jié)論具有不確定性,應注意分類討論.Al DP\B !CB C【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC,AD是中線，P是AD上一點，過C作CF//AB，延長BP交AC于E，交CF于F.求證：BP2=PE?PF.解題思路：由于BP,PE,PF在一條直線上，所以必須通過等線段的代換促使問題的轉(zhuǎn)化.證明比例式或等積式是幾何問題中的常見題型，解決它的常用方法是：①找相似：三點定形法；②作平行：根據(jù)要證明的式子,找到一個分點,過此點作平行線,能寫出要證式子中的一個比或與其相關(guān)的比；③變原式：包括等量代換、等積代換和等比代換.AC2AH【例4】已知^ABC中，BC〉A(chǔ)C,CH是AB邊上的高，且滿足——=——.試探討∠A與∠B的BC2BH關(guān)系，并加以證明.解題思路：由題設易想到直角三角形中的基本圖形、基本結(jié)論，可猜想出∠A與∠B的關(guān)系.解題的關(guān)鍵是綜合運用勾股定理、比例線段的性質(zhì)，推導判定兩個三角形相似的條件.如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，由此得出的等積式在計算與證明中應用極為廣泛，其特點是：①一線段是兩個三角形的公共邊；②另兩條線段在同一直線上.構(gòu)造逆命題是提出問題的一個常用方法，例4是在直角三角形被斜邊上的高分成的相似三角形得出結(jié)論基礎(chǔ)上提出的一個逆命題.你能提出新的問題嗎？并加以證明.【例5】如圖1，P為^ABC內(nèi)一點，連接PA，PB，PC.在^PAB，△PBC和^PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為^ABC的自相似點.(1)如圖2，已知Rt^ABC中，NACB=90°，ZABC>ZA，CD是AB上的中線，過點B作BE⊥CD，垂足為E,試說明E是^ABC的自相似點；(2)在^ABC中，ZA<ZB<ZC.①如圖3,利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點P(寫出作法并保留作圖痕跡)；②若^ABC的內(nèi)心(/A，∠B，∠C角平分線的交點)P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內(nèi)角的度數(shù).解題思路：本例設問形式多樣，從概念的判斷說理到作圖求解，由淺入深，而認識并深刻理解“自相似點”的概念，是解題的關(guān)鍵.圖2 圖3【例6】如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm.點P沿AB邊從點A開始向B以2cm∕s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm∕s的速度移動.如果P,Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動時間（0≤t≤6），那么：（1）當t為何值時，△QAP為等腰三角形？（2）求四邊形QAPC的面積，提出一個與計算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；（3）當t為何值時，以點Q，A，P為頂點的三角形與△ABC相似？解題思路：對于（3）,借助三角形相似的判定方法,由于未指明對應關(guān)系,探求質(zhì)點運動的時間應注意分類討論.能力訓練A級.如圖，已知/1=/2，/B=ZD，AB=DE=5，BC=4，那么AD=（第1題） （第2題） （第3題）.如圖，在△ABC中，AB=9，AC=6，點M在AB上且AM=3,點N在AC上.如果連接MN，使得△AMN與原三角形相似，則AN=.14.如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB⊥BC,AD=-BC,CD=-BC,E,F為兩腰上的33AEDF中點.下面的四個結(jié)論：①CE=2BE,,②△ADEs△EDCgS =S ；?——=——.其中結(jié)論△ADE△CEF ABDC正確的有.（填序號即可）.在四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA上的一點，且AE=BF=DG=AH=k（k>0）.閱讀下段材料，然后回答后面問題.BEFCGCHD如圖，連接BD,?.?AE=AH,BF=DG,???EH/BD,.?.FG/BD,FG/EH.

BEHDFCGC1）連接AC,則EF與GH是否一定平行，答：.2）當k值為時，四邊形EFGH為平行四邊形.3）在（2）的情形下，對角線AC與BD只須滿足 條件時，EFGH為矩形；4）在（2）的情形下，對角線AC與BD只須滿足條件時，EFGH為矩形..如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，下列條件：①/B+ZDAC=90。；②/B=ZDAC;③CDAC_ ——=——；?AB2=BD?BC,其中一定能判定^ABC是直角三角形的共有（ ）ADABA.HDLBF CA.2:5 B.3:5 C.2:3 D.5:7.將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，即為點B，，折痕為EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以點B',F,C為頂點的三角形與△ABC相似，那么BF的長度為（ ）12 12A.2 B.- C.2或一 D.不確定77.如圖，在△ABC中，AB=8,BC=7,CA=6，延長BC至P，使得△PAB-△PCA，則PC等于（ ）A.7B.8C.9D.10.已知：正方形的邊長為1.(1)如圖1,可以算出一個正方形的對角線長v：2，求兩個正方形并排拼成的矩形的對角線長，進而猜想出n個正方形并排拼成的矩形的對角線長；(2)根據(jù)圖2,求證：△BCEs^BED；(3)由圖3,在下列所給的三個結(jié)論中，通過合情推理選出一個正確的結(jié)論加以證明：①/BEC+ZBDE=45。；?/BEC+ZBED=45。；@/BEC+ZDFE=45。.EACDABCDEF圖2圖3.如圖，在△ABC中，ZACB=2ZABC.求證：AB2=AC2+AC?BC..(1)如圖1,等邊△ABC中，D為AB邊上的動點，以CD為一邊向上作等邊△EDC,連接AE,求證：AE//BC；(2)如圖2,將(1)中的等邊4ABC的形狀改為以BC為底邊的等腰三角形，所作△EDC改成相似于△ABC,請問：是否仍有AE/BC?證明你的結(jié)論. (蘇州市中考試題)DCAAEDC圖1AE圖212.如圖，分別以銳角△ABC的邊AB,BC,腰Rt△FAC.求證：(1)AE=DF；(2)AE⊥DF.為斜邊向外作等腰Rt△DAB，等腰Rt△EBC,等ABBCDFEBC1.如圖在梯形ABCD中，AB//CD,AB<CD，一直線交BA延長線于E，交DC延長線于J,交AD于F,BD于G,AC于H,DCBC于I.已知EF=FG=GH=HI=IJ，貝U——ABEr__A B（第1題）（第2題）（第3題）2.如圖，直角梯形ABCD中，AD/BC,/B=90。AD=2,BC=4，點P在高AB上滑動.若B級,ADADDCJPBCBEFCG,△DAPMPBC,AP=3時，PB=3.如圖，四邊形ABCD為正方形，A,E,F,G在同一條直線上，且AE=5cm,EF=3cm,那么FG=4.如圖,Rt'ABC中，ZC=90。AC=CD=BDaDE⊥AB于E.設AE=a,BE=b,則—=( )bA.3:2B.4:3C.5:4D.6:5（第4題）（第5題）,,5.如圖,在^ABC中，D是邊AC上一點，下面四種情況中，△ABDs'ACB不一定成立的情況是（ ）AD?BC=AB?BDAB2=AD?ACZABD=ZACBD.AB?BC=AC?BD6已知一個梯形被一條對角線分成兩個相似三角形，如果兩腰的比為?,那么兩底的比為（）1A.-21B.-41C.-81

D.—167.如圖，0是四邊形ABCD對角線的交點已知ZBAD+ZBCA=180。,AB=5,AC=4,AD=3,B07=—,求BC.0D6,（第7題）（第8題）8.如圖，△ABC中，角A:B:C=4:2:1,AD,BE分別平分∠BAC,∠ABC.求證：AB2=AD?BE.（沈陽市競賽試題）9.在^ABC中，∠A,∠B,∠C所對的邊分別用a,b,C表示.（1）如圖1,在4ABC中，/A=2/B，且/A=60。，求證：a2=b（b+C）；（2）如果一個三角形的一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍,我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”.本題第1問中的三角形是一個特殊的倍角三角形，那么對于任意的倍角^ABC,如圖2,其中/A=2/B,關(guān)系式a2=b（b+c）是否仍然成立？并證明你的結(jié)論.10.在^ABC中，/A=90。，點D在線段BC上，/EDB=-/C,BE⊥DE于E,DE與AB相交2于點F.（1）當AB=AC時（如圖1）,①/EB