統(tǒng)計(jì)學(xué)第七章虛擬變量

統(tǒng)計(jì)學(xué)第七章虛擬變量第一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三一、虛擬變量的基本含義許多經(jīng)濟(jì)變量是可以定量度量的，如：商品需求量、價(jià)格、收入、產(chǎn)量等。但也有一些影響經(jīng)濟(jì)變量的因素?zé)o法定量度量，如：職業(yè)、性別對(duì)收入的影響，戰(zhàn)爭(zhēng)、自然災(zāi)害對(duì)GDP的影響，季節(jié)對(duì)某些產(chǎn)品（如冷飲）銷(xiāo)售的影響等等。為了在模型中能夠反映這些因素的影響，并提高模型的精度，需要將它們“量化”。第二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三這種“量化”通常是通過(guò)引入“虛擬變量”來(lái)完成的。根據(jù)這些因素的屬性類(lèi)型，構(gòu)造只取“0”或“1”的人工變量，通常稱(chēng)為虛擬變量（dummyvariables），記為D。例如，反映文化程度的虛擬變量可取為：

1，本科學(xué)歷

D=0，非本科學(xué)歷第三頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

一般地，在虛擬變量的設(shè)置中：基礎(chǔ)類(lèi)型、肯定類(lèi)型取值為1；比較類(lèi)型，否定類(lèi)型取值為0。第四頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三概念：同時(shí)含有一般解釋變量與虛擬變量的模型稱(chēng)為虛擬變量模型或者方差分析（analysis-ofvariance:ANOVA）模型。一個(gè)以性別為虛擬變量考察企業(yè)職工薪金的模型：其中：Yi為企業(yè)職工的薪金，Xi為工齡，Di=1，若是男性，Di=0，若是女性。第五頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、虛擬變量的引入虛擬變量做為解釋變量引入模型有兩種基本方式：加法方式和乘法方式。上述企業(yè)職工薪金模型中性別虛擬變量的引入采取了加法方式。在該模型中，如果仍假定E(i)=0，則

企業(yè)女職工的平均薪金為：1.加法方式第六頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

企業(yè)男職工的平均薪金為：幾何意義：假定2>0，則兩個(gè)函數(shù)有相同的斜率，但有不同的截距。意即，男女職工平均薪金對(duì)工齡的變化率是一樣的，但兩者的平均薪金水平相差2。第七頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三可以通過(guò)傳統(tǒng)的回歸檢驗(yàn)，對(duì)2的統(tǒng)計(jì)顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，以判斷企業(yè)男女職工的平均薪金水平是否有顯著差異。02第八頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

又例：在橫截面數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，考慮個(gè)人保健支出對(duì)個(gè)人收入和教育水平的回歸。教育水平考慮三個(gè)層次：高中以下，高中，大學(xué)及其以上。這時(shí)需要引入兩個(gè)虛擬變量：第九頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三模型可設(shè)定如下：

在E(i)=0的初始假定下，高中以下、高中、大學(xué)及其以上教育水平下個(gè)人保健支出的函數(shù)：高中以下：第十頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三高中：大學(xué)及其以上：假定3>2，其幾何意義：第十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三還可將多個(gè)虛擬變量引入模型中以考察多種“定性”因素的影響。

如在上述職工薪金的例中，再引入代表學(xué)歷的虛擬變量D2：本科及以上學(xué)歷本科以下學(xué)歷職工薪金的回歸模型可設(shè)計(jì)為：第十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三女職工本科以下學(xué)歷的平均薪金：女職工本科以上學(xué)歷的平均薪金：于是，不同性別、不同學(xué)歷職工的平均薪金分別為：男職工本科以下學(xué)歷的平均薪金：男職工本科以上學(xué)歷的平均薪金：第十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.乘法方式加法方式引入虛擬變量，考察：截距的不同。許多情況下：往往是斜率就有變化，或斜率、截距同時(shí)發(fā)生變化。斜率的變化可通過(guò)以乘法的方式引入虛擬變量來(lái)測(cè)度。第十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三例：根據(jù)消費(fèi)理論，消費(fèi)水平C主要取決于收入水平Y(jié)，但在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)期，人們的消費(fèi)傾向會(huì)發(fā)生變化，尤其是在自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭(zhēng)等反常年份，消費(fèi)傾向往往出現(xiàn)變化。這種消費(fèi)傾向的變化可通過(guò)在收入的系數(shù)中引入虛擬變量來(lái)考察。如，設(shè)消費(fèi)模型可建立如下：第十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三這里，虛擬變量D以與X相乘的方式引入了模型中，從而可用來(lái)考察消費(fèi)傾向的變化。假定E(i)=0，上述模型所表示的函數(shù)可化為：

正常年份：

反常年份：第十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

當(dāng)截距與斜率發(fā)生變化時(shí)，則需要同時(shí)引入加法與乘法形式的虛擬變量。例，考察1990年前后的中國(guó)居民的總儲(chǔ)蓄-收入關(guān)系是否已發(fā)生變化。表中給出了中國(guó)1979~2001年以城鄉(xiāng)儲(chǔ)蓄存款余額代表的居民儲(chǔ)蓄以及以GNP代表的居民收入的數(shù)據(jù)。第十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三第十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三以Y為儲(chǔ)蓄，X為收入，可令：1990年前：Yi=1+2Xi+1ii=1,2…,n1

1990年后：Yi=1+2Xi+2ii=1,2…,n2

則有可能出現(xiàn)下述四種情況中的一種：(1)1=1

，且2=2

，即兩個(gè)回歸相同，稱(chēng)為重合回歸（CoincidentRegressions）；第十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三(2)11,但2=2

，即兩個(gè)回歸的差異僅在其截距，稱(chēng)為平行回歸（ParallelRegressions）;(3)1=1

，但22

，即兩個(gè)回歸的差異僅在其斜率，稱(chēng)為匯合回歸(ConcurrentRegressions)；(4)11，且22

，即兩個(gè)回歸完全不同，稱(chēng)為相異回歸（DissimilarRegressions）。第二十頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三平行回歸第二十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三匯合回歸第二十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三相異回歸第二十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三可以運(yùn)用鄒氏結(jié)構(gòu)變化的檢驗(yàn)。這一問(wèn)題也可通過(guò)引入乘法形式的虛擬變量來(lái)解決。將n1與n2次觀(guān)察值合并，并用以估計(jì)以下回歸：Di為引入的虛擬變量：第二十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三于是有：可分別表示1990年后期與前期的儲(chǔ)蓄函數(shù)。

在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中，如果3=0的假設(shè)被拒絕，則說(shuō)明兩個(gè)時(shí)期中儲(chǔ)蓄函數(shù)的截距不同，如果4=0的假設(shè)被拒絕，則說(shuō)明兩個(gè)時(shí)期中儲(chǔ)蓄函數(shù)的斜率不同。第二十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三具體的回歸結(jié)果為：(-6.11)(22.89)(4.33)(-2.55)由3與4的t檢驗(yàn)可知：參數(shù)顯著地不等于0，強(qiáng)烈示出兩個(gè)時(shí)期的回歸是相異的，儲(chǔ)蓄函數(shù)分別為：1990年前：1990年后：=0.9836第二十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三第二十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三第二十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三第二十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三第三十頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三鄒氏結(jié)構(gòu)變化的檢驗(yàn)和虛擬變量法的比較鄒檢驗(yàn)只是告訴我們結(jié)構(gòu)是否已經(jīng)變化，而不能告訴我們當(dāng)有變化時(shí)候是因?yàn)橹皇切甭氏喈惢蛑皇墙鼐嘞喈悾騼烧呔喈?。但是虛擬變量法不僅告訴我們兩個(gè)回歸是否有差異，而且落實(shí)到差異的起因——由于截距或由于斜率或由于兩者。我們只要做一個(gè)回歸，因?yàn)槠渌幕貧w可以方便地由它導(dǎo)出。這個(gè)單一的回歸可以用來(lái)做各種假設(shè)檢驗(yàn)。由于合并而增加了自由度，參數(shù)估計(jì)的相對(duì)精度也有所改進(jìn)。第三十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三3.臨界指標(biāo)的虛擬變量的引入（分段回歸）

在經(jīng)濟(jì)發(fā)生轉(zhuǎn)折時(shí)期，可通過(guò)建立臨界指標(biāo)的虛擬變量模型來(lái)反映。例如，進(jìn)口消費(fèi)品數(shù)量Y主要取決于國(guó)民收入X的多少，中國(guó)在改革開(kāi)放前后，Y對(duì)X的回歸關(guān)系明顯不同。

第三十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三則進(jìn)口消費(fèi)品的回歸模型可建立如下：這時(shí)，可以t*=1979年為轉(zhuǎn)折期，以1979年的國(guó)民收入Xt*為臨界值，設(shè)如下虛擬變量：第三十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三

OLS法得到該模型的回歸方程為：則兩時(shí)期進(jìn)口消費(fèi)品函數(shù)分別為：當(dāng)t<t*=1979年，當(dāng)tt*=1979年，第三十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三第三十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三第三十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三第三十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三第三十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三三、虛擬變量的設(shè)置原則虛擬變量的個(gè)數(shù)須按以下原則確定：

每一定性變量所需的虛擬變量個(gè)數(shù)要比該定性變量的類(lèi)別數(shù)少1，即如果有m個(gè)定性變量，只在模型中引入m-1個(gè)虛擬變量。

例已知冷飲的銷(xiāo)售量Y除受k種定量變量Xk的影響外，還受春、夏、秋、冬四季變化的影響，要考察該四季的影響，只需引入三個(gè)虛擬變量即可：第三十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三則冷飲銷(xiāo)售量的模型為：在上述模型中，若再引入第四個(gè)虛擬變量：第四十頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三則冷飲銷(xiāo)售模型變量為：其矩陣形式為：

如果只取六個(gè)觀(guān)測(cè)值，其中春季與夏季取了兩次，秋、冬各取到一次觀(guān)測(cè)值，則式中的：第四十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期三