高中函數(shù)基本性質知識點總結

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知識點概述

關于函數(shù)的基本性質的知識點是一個系統(tǒng)的知識體系,需要重點掌控.

知識點總結

1.函數(shù)的有關概念

函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，假如根據(jù)某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)*，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(*)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f(*)，*A.其中，*叫做自變量，*的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與*的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(*)*A}叫做函數(shù)的值域.

留意：假如只給出解析式y(tǒng)=f(*)，而沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合;函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

2.定義域補充

能使函數(shù)式有意義的實數(shù)*的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

(3)對數(shù)式的真數(shù)需要大于零;

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底需要大于零且不等于1.

(5)假如函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四那么運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的*的值組成的集合.

(6)指數(shù)為零底不能等于零

構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域

再留意：

(1)構成函數(shù)三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決斷的，所以，假如兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全全都，即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))

(2)兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全全都，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關。相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同;②定義域全都(兩點需要同時具備)

值域補充

(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法那么，不論采用什么方法求函數(shù)的值域都應先考慮其定義域.

(2).應熟識掌控一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解繁復函數(shù)值域的基礎.

(3).求函數(shù)值域的常用方法有：徑直法、反函數(shù)法、換元法、配方法、均值不等式法、判別式法、單調性法等.

3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(*),(*A)中的*為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(*，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(*),(*A)的圖象.

C上每一點的坐標(*，y)均滿意函數(shù)關系y=f(*)，反過來，以滿意y=f(*)的每一組有序實數(shù)對*、y為坐標的點(*，y)，均在C上.即記為C={P(*,y)y=f(*),*A}

圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的假設干條曲線或離散點組成.

(2)畫法

A、描點法：依據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出*,y的一些對應值并列表，以(*,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(*,y)，最末用平滑的曲線將這些點連接起來.

B、圖象變換法(請參考必修4三角函數(shù))

常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換

(3)作用：

1、直觀的看出函數(shù)的性質;

2、利用數(shù)形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)覺解題中的錯誤。

4.快去了解區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;

(2)無窮區(qū)間;

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

5.什么叫做映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，假如按某一個確定的'對應法那么f，使對于集合A中的任意一個元素*，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作f：AB

給定一個集合A到B的映射，假如aA,bB.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明：函數(shù)是一種非常的映射，映射是一種非常的對應，

①集合A、B及對應法那么f是確定的;

②對應法那么有方向性，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的;

③對于映射f：AB來說，那么應滿意：

(Ⅰ)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;

(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個;

Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：

函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，留意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù);

解析法：需要注明函數(shù)的定義域;

圖象法：描點法作圖要留意：確定函數(shù)的定義域;化簡函數(shù)的解析式;觀測函數(shù)的特征;

列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征.

留意?。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮?shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值

補充一：分段函數(shù)(參見課本P24-25)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時需要把自變量代入相應的表達式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值狀況.

(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù);

(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

補充二：復合函數(shù)

假如y=f(u),(uM),u=g(*),(*A),那么y=f[g(*)]=F(*)，(*A)稱為f、g的復合函數(shù)。

常見考點考法

關于值域定義域的考核是重點

拓展：

一、函數(shù)自身的對稱性探究

定理1.函數(shù)y=f(*)的圖像關于點A(a,b)對稱的充要條件是

f(*)+f(2a－*)=2b

證明：〔須要性〕設點P(*,y)是y=f(*)圖像上任一點，∵點P(*,y)關于點A(a,b)的對稱點P〔2a－*，2b－y〕也在y=f(*)圖像上，∴2b－y=f(2a－*)

即y+f(2a－*)=2b故f(*)+f(2a－*)=2b，須要性得證。

〔充分性〕設點P(*0,y0)是y=f(*)圖像上任一點，那么y0=f(*0)

∵f(*)+f(2a－*)=2b∴f(*0)+f(2a－*0)=2b，即2b－y0=f(2a－*0)。

故點P〔2a－*0，2b－y0〕也在y=f(*)圖像上，而點P與點P關于點A(a,b)對稱，充分性得征。

推論：函數(shù)y=f(*)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f(*)+f(－*)=0

定理2.函數(shù)y=f(*)的圖像關于直線*=a對稱的充要條件是

f(a+*)=f(a－*)即f(*)=f(2a－*)〔證明留給讀者〕

推論：函數(shù)y=f(*)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f(*)=f(－*)

定理3.①假設函數(shù)y=f(*)圖像同時關于點A(a,c)和點B(b,c)成中心對稱〔a≠b〕，那么y=f(*)是周期函數(shù)，且2a－b是其一個周期。

②假設函數(shù)y=f(*)圖像同時關于直線*=a和直線*=b成軸對稱〔a≠b〕，那么y=f(*)是周期函數(shù)，且2a－b是其一個周期。

③假設函數(shù)y=f(*)圖像既關于點A(a,c)成中心對稱又關于直線*=b成軸對稱〔a≠b〕，那么y=f(*)是周期函數(shù)，且4a－b是其一個周期。

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

∵函數(shù)y=f(*)圖像既關于點A(a,c)成中心對稱，

∴f(*)+f(2a－*)=2c，用2b－*代*得：

f(2b－*)+f[2a－(2b－*)]=2c………………〔*〕

又∵函數(shù)y=f(*)圖像直線*=b成軸對稱，

∴f(2b－*)=f(*)代入〔*〕得：

f(*)=2c－f[2(a－b)+*]…………〔**〕，用2〔a－b〕－*代*得

f[2(a－b)+*]=2c－f[4(a－b)+*]代入〔**〕得：

f(*)=f[4(a－b)+*],故y=f(*)是周期函數(shù)，且4a－b是其一個周期。

二、不同函數(shù)對稱性的探究

定理4.函數(shù)y=f(*)與y=2b－f(2a－*)的圖像關于點A(a,b)成中心對稱。

定理5.①函數(shù)y=f(*)與y=f(2a－*)的圖像關于直線*=a成軸對稱。

②函數(shù)y=f(*)與a－*=f(a－y)的圖像關于直線*+y=a成軸對稱。

③函數(shù)y=f(*)與*－a=f(y+a)的圖像關于直線*－y=a成軸對稱。

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③

設點P(*0,y0)是y=f(*)圖像上任一點，那么y0=f(*0)。記點P(*,y)關于直線*－y=a的軸對稱點為P〔*1，y1〕，那么*1=a+y0,y1=*0－a，∴*0=a+y1,y0=*1－a代入y0=f(*0)之中得*1－a=f(a+y1)∴點P〔*1，y1〕在函數(shù)*－a=f(y+a)的圖像上。

同理可證：函數(shù)*－a=f(y+a)的圖像上任一點關于直線*－y=a的軸對稱點也在函數(shù)y=f(*)的圖像上。故定理5中的③成立。

推論：函數(shù)y=f(*)的圖像與*=f(y)的圖像關于直線*=y成軸對稱。

三、三角函數(shù)圖像的對稱性列表

注：①上表中k∈Z

②y=tan*的全部對稱中心坐標應當是(kπ/2,0)，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數(shù)學精編第一冊〔下〕及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學新教案〔修訂版〕中都認為y=tan*的全部對稱中心坐標是(kπ,0)，這明顯是錯的。

四、函數(shù)對稱性應用舉例

例1：定義在R上的特別數(shù)函數(shù)滿意：f(10+*)為偶函數(shù)，且f(5－*)=f(5+*),那么f(*)肯定是〔〕〔第十二屆盼望杯高二第二試題〕

(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)(B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

(C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)(D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：∵f(10+*)為偶函數(shù)，∴f(10+*)=f(10－*).

∴f(*)有兩條對稱軸*=5與*=10，因此f(*)是以10為其一個周期的周期函數(shù)，∴*=0即y軸也是f(*)的對稱軸，因此f(*)還是一個偶函數(shù)。

應選(A)

例2：設定義域為R的函數(shù)y=f(*)、y=g(*)都有反函數(shù)，并且f(*－1)和g-1(*－2)函數(shù)的圖像關于直線y=*對稱，假設g(5)=1999，那么f(4)=〔〕。

〔A〕1999；〔B〕2000；〔C〕2022；〔D〕2022。

解：∵y=f(*－1)和y=g-1(*－2)函數(shù)的圖像關于直線y=*對稱，

∴y=g-1(*－2)反函數(shù)是y=f(*－1)，而y=g-1(*－2)的反函數(shù)是:y=2+g(*),∴f(*－1)=2+g(*),∴有f(5－1)=2+g(5)=2022

故f(4)=2022,應選〔C〕

例3.設f(*)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+*)=f(1－*),當－1≤*≤0時，

f(*)=－*，那么f(8.6)=_________〔第八屆盼望杯高二第一試題〕

解：∵f(*)是定義在R上的偶函數(shù)∴*=0是y=f(*)對稱軸；

又∵f(1+*)=f(1－*)∴*=1也是y=f(*)對稱軸。故y=f(*)是以2為周期的周期函數(shù)，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(－0.6)=0.3

例4.函數(shù)y=sin(2*+)的圖像的一條對稱軸的方程是〔〕(92全國高考理)(A)*=－(B)*=－(C)*=(D)*=

解：函數(shù)y=sin(2*+)的圖像的全部對稱軸的方程是2*+=k+

∴*=－,顯著取k=1時的對稱軸方程是*=－應選(A)

例5.設f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(*+2)=－f(*),當0≤*≤1時，

f(*)=*，那么f(7.5)=〔〕

(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5

解：∵y=f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，∴點〔0，0〕是其對稱中心；

又∵f(*+2)=－f(*)=f(－*)，即f(1+*)=f(1－*)，∴直線*=1是y=f(*)對稱軸，故y=f(*)是周期為2的周期函數(shù)。

∴f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5應選(B)

銳角三角函數(shù)公式

sin=的對邊/斜邊

cos=的鄰邊/斜邊

tan=的對邊/的鄰邊

cot=的鄰邊/的對邊

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

(注：SinA^2是sinA的平方sin2(A))

三倍角公式

sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)

cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)

tan3a=tanatan(/3+a)tan(/3-a)

三倍角公式推導

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

幫助角公式

Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)sin(+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)cos(-t)，tant=A/B

降冪公式

sin^2()=(1-cos(2))/2=versin(2)/2

cos^2()=(1+cos(2))/2=covers(2)/2

tan^2()=(1-cos(2))/(1+cos(2))

推導公式

tan+cot=2/sin2

tan-cot=-2cot2

1+cos2=2cos^2

1-cos2=2sin^2

1+sin=(sin/2+cos/2)^2

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

兩角和差

cos(+)=coscos-sinsin

cos(-)=coscos+sinsin

sin()=sincoscossin

tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)

tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)

和差化積

sin+sin=2sin[(+)/2]cos[(-)/2]

sin-sin=2cos[(+)/2]sin[(-)/2]

cos+cos=2cos[(+)/2]cos[(-)/2]

cos-cos=-2sin[(+)/2]sin[(-)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

積化和差

sinsin=[cos(-)-cos(+)]/2

coscos=[cos(+)+cos(-)]/2

sincos=[sin(+)+sin(-)]/2

cossin=[sin(+)-sin(-)]/2

誘導公式

sin(-)=-sin

cos(-)=cos

tan(a)=-tan

sin(/2-)=cos

cos(/2-)=sin

sin(/2+)=cos

cos(/2+)=-sin

sin()=sin

cos()=-cos

sin()=-sin

cos()=-cos

tanA=sinA/cosA

tan(/2+)=-cot

tan(/2-)=cot

tan()=-tan

tan()=tan

誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限

一、定義與定義式：

自變量*和因變量y有如下關系：

y=k*+b

那么此時稱y是*的一次函數(shù)。

特別地，當b=0時，y是*的正比例函數(shù)。

即：y=k*〔k為常數(shù)，k≠0〕

二、一次函數(shù)的性質：

1.y的改變值與對應的*的改變值成正比例，比值為k

即：y=k*+b〔k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù)〕

2.當*=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。

三、一次函數(shù)的圖像及性質：

1．作法與圖形：通過如下3個步驟

〔1〕列表；