反常積分斂散性的判別

§2

無窮積分的性質(zhì)及收斂判別一、無窮積分的性質(zhì)

本節(jié)討論無窮積分的性質(zhì),并用這些性質(zhì)得到無窮積分的收斂判別法.二、非負函數(shù)無窮積分的收斂判別法三、一般函數(shù)無窮積分的收斂判別法2021/5/92收斂的充要條件是:一、無窮積分的性質(zhì)證極限的柯西準則,此等價于(無窮積分收斂的柯西準則)無窮積分定理11.12021/5/93性質(zhì)1為任意常數(shù),則即根據(jù)反常積分定義,容易導(dǎo)出以下性質(zhì)1和性質(zhì)2.2021/5/94性質(zhì)22021/5/95h(x)在任意[a,u]上可積,且證因為收斂,由柯西準則的必要性,例1,f(x),g(x),若2021/5/96再由柯西準則的充分性,2021/5/97二、非負函數(shù)無窮積分的收斂判別法定理11.2(非負函數(shù)無窮積分的判別法)設(shè)定義在

上的非負函數(shù)f

在任何收斂的充要條件是:證設(shè)2021/5/98非負函數(shù)

f,g在任何有限區(qū)間[a,u]上可積,且定理11.3(比較判別法)

設(shè)定義在上的兩個增函數(shù)的收斂判別準則,

從而F(u)是單調(diào)遞增的由單調(diào)遞存在滿足2021/5/99證

由非負函數(shù)無窮積分的判別法,第二個結(jié)論是第一個結(jié)論的逆否命題,因此也成立.2021/5/910例2判別的收斂性.解顯然設(shè)f(x),g(x)是上的非負連續(xù)函數(shù).證例32021/5/911推論1設(shè)非負函數(shù)f和g在任何[a,u]上可積,且證由于2021/5/912證

即2021/5/9132021/5/914推論2設(shè)f是定義在上的非負函數(shù),在任何2021/5/915限區(qū)間[a,u]上可積.推論3設(shè)f是定義在上的非負函數(shù),在任何有說明:

推論3是推論2的極限形式，讀者應(yīng)不難寫出它的證明.2021/5/916例4

討論的收斂性(k>0).解(i)2021/5/917若無窮積分以下定理可用來判別一般函數(shù)無窮積分的收斂性.三、一般函數(shù)無窮積分的判別法何有限區(qū)間[a,u]上可積,定理11.4

(絕對收斂的無窮積分必收斂)若

f在任2021/5/918因此再由柯西準則的充分性,又對任意證由柯西準則的必要性,對因2021/5/919收斂的無窮積分不一定是絕對收斂的.例5的收斂性.判別解由于2021/5/920瑕積分的性質(zhì)與收斂判別,與無窮積§3

瑕積分的性質(zhì)與收斂判別內(nèi)容大都是羅列出一些基本結(jié)論,并舉分的性質(zhì)與收斂判別相類似.因此本節(jié)

例加以應(yīng)用,而不再進行重復(fù)論證.2021/5/921定理11.7

（瑕積分收斂的柯西準則）證柯西準則，此等價于2021/5/922性質(zhì)1性質(zhì)2

2021/5/923性質(zhì)3定理11.8

(非負函數(shù)瑕積分的判別法)2021/5/924定理11.9

(比較法則)2021/5/925推論12021/5/926推論22021/5/927推論3可以判別一些非負函數(shù)瑕積分的收斂性.2021/5/928例1由于2021/5/929例2解2021/5/930例3解2021/5/9312021/5/932aa

00

<

a

<

1a

1I(a)發(fā)散收斂定積分J(a)收斂收斂發(fā)散(a)發(fā)散收斂發(fā)散2021/5/933*一般函數(shù)的無窮積分的狄利克雷判定理11.5(狄利克雷判別法）證故別法和阿貝爾判別法判別其收斂性.2021/5/934使得2021/5/935因此,由柯西準則，證[證法1]定理11.6(阿貝爾判別法)由

g的單調(diào)性,用積分第二中值定理，對于任意的使得2021/5/936由柯西準則,[證法2]2021/5/937由狄利克雷判別法例6的收斂性.收斂.收斂,所以解2021/5/938由狄利克雷判別法推知另一方面，狄利克雷判別法條件,是收斂