二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)演示文稿

二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)演示文稿當(dāng)前第1頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)（優(yōu)選）二階線性偏微分方程的分類與總結(jié).當(dāng)前第2頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)在前面的章節(jié)中，我們分別討論了弦振動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程與拉普拉斯方程。這三類方程的形狀很特殊，它們是二階線性偏微分方程的三個(gè)典型代表。一般形式的二階線性偏微分方程之間的共性和差異，往往可以從對(duì)這三類方程的研究中得到。本章中，我們將以這三類方程的知識(shí)為基礎(chǔ)，研究一般形式的二階線性偏微分方程，并對(duì)這三類方程的性質(zhì)進(jìn)行比較深入的分類和總結(jié)。當(dāng)前第3頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)§1.1兩個(gè)自變量的方程§1二階線性偏微分方程的分類§1.2兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)§1.3方程的分類當(dāng)前第4頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)§1二階線性偏微分方程的分類

遵循由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知規(guī)律，我們先研究?jī)蓚€(gè)自變量的二階線性偏微分方程的分類問題。前面遇到的一維熱傳導(dǎo)方程、弦振動(dòng)方程和二維拉普拉斯方程都是兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程。不過它們的形式特殊，若用(x,y)記自變量，一般的二階線性方程總可以寫成如下的形狀§1-1兩個(gè)自變量的方程當(dāng)前第5頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)

在前面弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法(行波法)的學(xué)習(xí)中，我們已看到變量變換的意義。變換是研究微分方程的一個(gè)有效手段，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q往往可以把復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的，把不易求解的方程轉(zhuǎn)化為容易求解的。方程(4.1)的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)稱為它的主部?，F(xiàn)在研究在什么樣的自變量變換下，方程的主部可以得到簡(jiǎn)化?！?-1兩個(gè)自變量的方程當(dāng)前第6頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)§1-2兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)設(shè)(x0,y0)是區(qū)域Ω內(nèi)一點(diǎn)，在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)對(duì)方程(1)進(jìn)行簡(jiǎn)化。為此我們作下面的自變量變換在高等數(shù)學(xué)中，我們已經(jīng)知道：如果上述變換是二次連續(xù)可微的，且雅可比行列式當(dāng)前第7頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)在(x0,y0)點(diǎn)不為零，那么在點(diǎn)(x0,y0)的鄰域內(nèi)，變換(4.3)是可逆的，也就是存在逆變換也就是說，方程(4.1)可以采用新的自變量ξ,η表示為運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則§1-2兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)當(dāng)前第8頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)注意到(4.7)的第一個(gè)和第三個(gè)等式形式完全相同，因此，如果我們能選擇到方程的兩個(gè)函數(shù)無關(guān)的解φ1(x,y)和φ2(x,y)，那么，將變換取為ξ=φ1(x,y)和η=φ2(x,y)，方程(4.6)的系數(shù)。這樣就達(dá)到了簡(jiǎn)化方程(4.1)的主部的目的。下面考察這種選取的可能性?！?-2兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)當(dāng)前第9頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)我們知道，方程(4.8)的求解可以轉(zhuǎn)化為下述常微分方程在(x,y)平面上的積分曲線問題：設(shè)φ1(x,y)=c是方程(4.9)的一族積分曲線，則z=φ1(x,y)是方程(4.8)的一個(gè)解。稱方程(4.9)的積分曲線為方程(4.8)的特征線，方程(4.9)有時(shí)也稱為方程(4.8)的特征方程。顯然方程(4.9)可以分解為兩個(gè)方程§1-2兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)當(dāng)前第10頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)這樣根據(jù)的符號(hào)不同，我們可以選取相應(yīng)的變換代入方程(4.6)，從而得到不同的化簡(jiǎn)形式這三個(gè)方程分別稱為二階線性偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式?！?-2兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)當(dāng)前第11頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)由前面的討論可知，方程(4.1)通過自變量的可逆變換(4.3)化為那一種標(biāo)準(zhǔn)形式，主要決定于它的主部系數(shù)。也就是說由l,m平面上的二次曲線的性質(zhì)而定。由于這個(gè)曲線可以是橢圓、雙曲線或拋物線，因此我們相應(yīng)地定義方程在一點(diǎn)的類型如下：若方程(4.1)的主部系數(shù)在區(qū)域Ω中某一點(diǎn)(x0，y0)滿足則稱方程在點(diǎn)(x0，y0)是雙曲型的；則稱方程在點(diǎn)(x0，y0)是橢圓型的。則稱方程在點(diǎn)(x0，y0)是拋物型的;相應(yīng)地，(4.12)、(4.13)和(4.14)這三個(gè)方程分別稱為雙曲型、拋物型和橢圓型(二階線性)偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式?！?-3方程的分類當(dāng)前第12頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)如果方程在區(qū)域Ω中每一點(diǎn)上均為雙曲型，那么我們稱方程在區(qū)域Ω中是雙曲型的。類似的，對(duì)橢圓型和拋物型也有同樣的定義。如果一個(gè)方程在區(qū)域Ω中的一部分區(qū)域表現(xiàn)為雙曲型，在另一部分表現(xiàn)為橢圓型，而在分界面上表現(xiàn)為拋物型，那么，這樣的方程在在區(qū)域Ω中稱為混合型的。舉例：容易看出，如果點(diǎn)(x0，y0)上方程(4.1)表現(xiàn)為雙曲型或橢圓型，那么一定存在該點(diǎn)的一個(gè)領(lǐng)域，使方程在這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)是雙曲型或橢圓型的。但如果這個(gè)點(diǎn)上方程(4.1)表現(xiàn)為拋物型，則不一定存在一個(gè)領(lǐng)域，使方程在這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)表現(xiàn)為拋物型。按照剛才的分類方法，很容易看出一維弦振動(dòng)方程是雙曲型的，一維熱傳導(dǎo)方程是拋物型的，二維拉普拉斯方程是橢圓型的。前面我們已經(jīng)知道，以上三種方程描述的自然現(xiàn)象的本質(zhì)不同，其解的性質(zhì)也各異。這也從側(cè)面說明了我們對(duì)二階線性偏微分方程所進(jìn)行的分類是有其深刻的原因的。例如，空氣動(dòng)力學(xué)中，對(duì)于定常Euler方程而言，它在亞音速流動(dòng)中表現(xiàn)為橢圓型方程，在超音速流動(dòng)中表現(xiàn)為雙曲型，在跨音速流動(dòng)中表現(xiàn)為混合型。而對(duì)于非定常Euler方程而言，它始終表現(xiàn)為雙曲型?！?-3方程的分類當(dāng)前第13頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)例題：把方程分類并化為標(biāo)準(zhǔn)形式解：該方程的故該方程是拋物型的。顯然，該方程的特征方程為：從而得到方程的一族特征線為：作自變量代換(由于ξ和η必須函數(shù)無關(guān),所以η宜取最簡(jiǎn)單的函數(shù)形式,即η=x

或η=y)于是，原方程化簡(jiǎn)后的標(biāo)準(zhǔn)形式為：§1-3方程的分類當(dāng)前第14頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)練習(xí)題：例1、2，P100~101；習(xí)題2、3，P102~103。當(dāng)前第15頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)§1.1線性方程的疊加原理§3三類方程的比較§1.2解的性質(zhì)的比較§1.3定解問題的提法比較當(dāng)前第16頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)現(xiàn)在我們以前面各章對(duì)三類典型方程的研究為基礎(chǔ)，就雙曲型方程、拋物型方程和橢圓型方程這三種不同類型的方程的解的性質(zhì)、定解問題的提法等方面進(jìn)行分析和總結(jié)。我們將看到：這三類方程在其系數(shù)的代數(shù)性質(zhì)上的差別實(shí)際上反映著許多本質(zhì)的差異?！?三類方程的比較當(dāng)前第17頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)§3三類方程的比較§3-1線性方程的疊加原理——共性線性方程的共性是滿足疊加原理。前面的學(xué)習(xí)中，我們多次利用疊加原理把一個(gè)復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的問題進(jìn)行求解。分離變量法和齊次化原理實(shí)際上都是疊加原理的具體應(yīng)用。當(dāng)前第18頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)（以熱傳導(dǎo)方程為例）疊加原理I當(dāng)前第19頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)疊加原理II當(dāng)前第20頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)疊加原理III

當(dāng)前第21頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)疊加原理IV當(dāng)前第22頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)三類典型方程在數(shù)學(xué)性質(zhì)上的差異往往是相應(yīng)的物理現(xiàn)象的本質(zhì)差異在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)。下面我們以三類典型方程(波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程)為例來敘述其差別。對(duì)于一般的變系數(shù)方程，情況更復(fù)雜一些，但類似結(jié)論仍然成立?！?三類方程的比較§3-2解的性質(zhì)的比較——差異當(dāng)前第23頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)1）解的光滑性對(duì)于不同類型的方程來說，解的光滑性可以很不相同。對(duì)于弦振動(dòng)方程來說，如果初始條件中高階的導(dǎo)數(shù)不存在，那么解的高階導(dǎo)數(shù)也就不存在；對(duì)于熱傳導(dǎo)方程，只要初始條件是有界的，那么其解是無窮可微的；對(duì)于拉普拉斯方程，它的解的光滑性更好，其解在定義域內(nèi)都是解析函數(shù)。課本上從物理角度對(duì)上述解的光滑性差異進(jìn)行了解釋。下面的圖形形象地反映了不同類型方程的解的光滑性。當(dāng)前第24頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)2）解的極值性質(zhì)熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程都存在極值原理，但它們所采取的形式是有區(qū)別的。拉普拉斯方程解的極值只可能存在于邊界。至于熱傳導(dǎo)方程，區(qū)域內(nèi)部的最大值不能超過區(qū)域初始時(shí)刻和邊界面上的最大值。雙曲型方程通常不存在極值原理，這是因?yàn)椴ㄔ诏B加時(shí)可以出現(xiàn)擾動(dòng)增大的情況。當(dāng)前第25頁\共有27頁\編于星期二\17點(diǎn)3）影響區(qū)和依賴區(qū)從影響區(qū)和依賴區(qū)來看，三類方程也有很大區(qū)別。波動(dòng)方程的擾動(dòng)是以有限速度傳播的，因而其影響區(qū)和依賴區(qū)是錐體狀的。對(duì)熱傳導(dǎo)方程而言，其擾動(dòng)傳播進(jìn)行的十分迅速，某個(gè)點(diǎn)的其影響區(qū)是該點(diǎn)以上的整個(gè)上半