線性空間的基本概念

線性空間的基本概念湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)1第一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)2線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個(gè)抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．線性空間是為了解決實(shí)際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個(gè)抽象，即把實(shí)際問題看作向量空間，進(jìn)而通過研究向量空間來解決實(shí)際問題．一、線性空間的定義第二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)3數(shù)域的定義關(guān)于數(shù)的加、減、乘、除等運(yùn)算的性質(zhì)通常稱為數(shù)的代數(shù)性質(zhì)．

定義1設(shè)P是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包括0與1．如果P中任意兩個(gè)數(shù)(這兩個(gè)數(shù)也可以相同)的和、差、積、商(除數(shù)不為零)仍然是P中的數(shù)，那么P就稱為一個(gè)數(shù)域．第三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)4如果數(shù)的集合P中任意兩個(gè)數(shù)作某一運(yùn)算的結(jié)果都仍在P中，我們就說數(shù)集P對(duì)這個(gè)運(yùn)算是封閉的。因此，數(shù)域的定義也可以說成，如果一個(gè)包含0、1在內(nèi)的數(shù)集P對(duì)于加法、減法、乘法與除數(shù)(除數(shù)不為0)是封閉的，那么P就稱為一個(gè)數(shù)域．第四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)5若對(duì)于任一數(shù)與任一元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱為與的積，記作定義1.１設(shè)是一個(gè)非空集合，為一數(shù)域．如果對(duì)于任意兩個(gè)元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱為與的和，記作上述兩種運(yùn)算分別稱為：加法與數(shù)量乘法.第五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)6如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律，那么就稱為數(shù)域上的向量空間（或線性空間）．第六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)7第七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)82．向量空間中的向量不一定是有序數(shù)組．3．判別線性空間的方法：一個(gè)集合，對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者運(yùn)算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間．說明1．凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算，稱為線性運(yùn)算．第八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)9（１）一個(gè)集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則只需檢驗(yàn)對(duì)運(yùn)算的封閉性．例１實(shí)數(shù)域上的全體矩陣，對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，記作．線性空間的判定方法第九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)10通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算滿足線性運(yùn)算規(guī)律．第十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)11第十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)12第十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)13例４正弦函數(shù)的集合對(duì)于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間．第十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)14是一個(gè)線性空間.例５在區(qū)間上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間．一般地第十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)15例６正實(shí)數(shù)的全體，記作，在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為驗(yàn)證對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間．（２）一個(gè)集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則必需檢驗(yàn)是否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律．證明所以對(duì)定義的加法與乘數(shù)運(yùn)算封閉．第十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)16下面一一驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律：第十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)17所以對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間．第十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)18不構(gòu)成線性空間．對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法例７個(gè)有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體第十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)191．零元素是唯一的．證明假設(shè)是線性空間V中的兩個(gè)零元素，由于所以則對(duì)任何，有二、線性空間的性質(zhì)第十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)202．負(fù)元素是唯一的．證明假設(shè)有兩個(gè)負(fù)元素與，那么則有向量的負(fù)元素記為第二十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)21證明第二十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)224．如果，則或.證明假設(shè)那么又同理可證：若則有第二十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)23三、線性空間的子空間定義1.2設(shè)V是一個(gè)線性空間，L是V的一個(gè)非空子集，如果L對(duì)于V中所定義的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間，則稱L為V的子空間．定理1.1線性空間V的非空子集L構(gòu)成子空間的充分必要條件是：L對(duì)于V中的線性運(yùn)算封閉．第二十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)24解(1)不構(gòu)成子空間.因?yàn)閷?duì)例8有第二十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)25滿足且第二十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)26即對(duì)矩陣加法不封閉，不構(gòu)成子空間.對(duì)任意有于是第二十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)27四、線性空間的基與維數(shù)

已知：在中，線性無關(guān)的向量組最多由個(gè)向量組成，而任意個(gè)向量都是線性相關(guān)的．

問題：線性空間的一個(gè)重要特征——在線性空間中，最多能有多少線性無關(guān)的向量？第二十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)28定義1.3在線性空間中，如果存在個(gè)元素滿足：第二十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)29當(dāng)一個(gè)線性空間中存在任意多個(gè)線性無關(guān)的向量時(shí)，就稱是無限維的．第二十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)30五、元素在給定基下的坐標(biāo)第三十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)31第三十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)32注意線性空間的任一元素在不同的基下所對(duì)的坐標(biāo)一般不同，一個(gè)元素在一個(gè)基下對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是唯一的．第三十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)33例２所有二階實(shí)矩陣組成的集合，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間．對(duì)于中的矩陣第三十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)34第三十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)35第三十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)36第三十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)37六、基變換公式與過渡矩陣那么，同一個(gè)向量在不同的基下的坐標(biāo)有什么關(guān)系呢？換句話說，隨著基的改變，向量的坐標(biāo)如何改變呢？

問題：在維線性空間中，任意個(gè)線性無關(guān)的向量都可以作為的一組基．對(duì)于不同的基，同一個(gè)向量的坐標(biāo)是不同的．第三十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)38稱此公式為基變換公式．第三十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)39由于第三十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)40基變換公式

矩陣稱為由基到基的過渡矩陣．過渡矩陣是可逆的．第四十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)41若兩個(gè)基滿足關(guān)系式七、坐標(biāo)變換公式第四十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)42則有坐標(biāo)變換公式或第四十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)43證明第四十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)44第四十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)45第四十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)46第四十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)47第四十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)48第四十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)49第四十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)50第五十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院王文強(qiáng)51線性空間的元素統(tǒng)稱為“向量”，但它可以是