線代與概率論第七章

線代與概率論第七章第一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

第7.1節(jié)假設檢驗二、假設檢驗的相關概念三、假設檢驗的一般步驟一、假設檢驗的基本原理四、小結(jié)第二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三一、假設檢驗的基本原理在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式、但不知其參數(shù)的情況下,為了推斷總體的某些性質(zhì),提出某些關于總體的假設.假設檢驗就是根據(jù)樣本對所提出的假設作出判斷:是接受,還是拒絕.例如,提出總體服從泊松分布的假設;第三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三一、假設檢驗的基本原理什么是假設檢驗問題？我們先看幾個簡單的例子。例1：在超市上出售的某種品牌方便面，按規(guī)定每袋凈重少于100克的比例不得超過1%。技術(shù)監(jiān)督部門從某超市的貨架上任意抽取200袋該種品牌的方便面，經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)有3袋重量少于100克，試問：該超市出售的這種方便面是否符合質(zhì)量標準。在本例中，在超市上出售的這種方便面的不合格率是未知的，我們關心的問題是，如何根據(jù)樣本的不合格率p=1.5%來判斷：在超市上出售的這種方便面的不合格率p<1%是否成立？第四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三例2：某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖,包得的袋裝糖重是一個隨機變量,它服從正態(tài)分布.當機器正常時,其均值為0.5公斤,標準差為0.015公斤.某日開工后為檢驗包裝機是否正常,隨機地抽取它所包裝的糖9袋,稱得凈重為(公斤):0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512,問機器是否正常?第五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三如何利用樣本值對一個具體的假設進行檢驗?通常借助于直觀分析和理論分析相結(jié)合的做法,其基本原理就是人們在實際問題中經(jīng)常采用的所謂小概率原理:“一個小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的”.下面結(jié)合實例來說明假設檢驗的基本思想.第六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三例2：某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖,包得的袋裝糖重是一個隨機變量,它服從正態(tài)分布.當機器正常時,其均值為0.5公斤,標準差為0.015公斤.某日開工后為檢驗包裝機是否正常,隨機地抽取它所包裝的糖9袋,稱得凈重為(公斤):0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512,問機器是否正常?分析:第七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三由長期實踐可知,標準差較穩(wěn)定,問題:根據(jù)樣本值判斷提出兩個對立假設再利用已知樣本作出判斷是接受假設H0(拒絕假設H1),還是拒絕假設H0(接受假設H1).如果作出的判斷是接受H0,即認為機器工作是正常的,否則,認為是不正常的.第八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三由于要檢驗的假設涉及總體均值,故可借助于樣本均值來判斷.于是可以選定一個適當?shù)恼龜?shù)k,使得第九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三由標準正態(tài)分布分位點的定義得第十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三于是拒絕假設H0,認為包裝機工作不正常.第十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三1.

原假設與備擇假設假設檢驗問題通常敘述為:二、假設檢驗的相關概念第十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三2.

拒絕域與臨界點如在前面實例中,為拒絕域,拒絕域拒絕原假設H0,則稱區(qū)域當檢驗統(tǒng)計量取某個區(qū)域中的值時,我們的邊界點稱為臨界點.第十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三3.

兩類錯誤及記號假設檢驗是根據(jù)樣本的信息并依據(jù)小概率原理，作出接受還是拒絕H0的判斷。由于樣本具有隨機性，因而假設檢驗所作出的結(jié)論有可能是錯誤的.這種錯誤有兩類:(1)當原假設H0為真,觀察值卻落入拒絕域,而作出了拒絕H0的判斷,稱做第一類錯誤,又叫棄真錯誤.犯第一類錯誤的概率是顯著性水平第十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三(2)當原假設H0不真,而觀察值卻落入接受域,而作出了接受H0的判斷,稱做第二類錯誤,又叫取偽錯誤.當樣本容量n一定時,若減少犯第一類錯誤的概率,則犯第二類錯誤的概率往往增大.犯第二類錯誤的概率記為若要使犯兩類錯誤的概率都減小,除非增加樣本容量.第十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三三、假設檢驗的一般步驟第十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三五、小結(jié)假設檢驗的基本原理、相關概念和一般步驟.真實情況(未知)所作決策接受H0拒絕H0H0為真正確犯第I類錯誤H0不真犯第II類錯誤正確假設檢驗的兩類錯誤第十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第7.2節(jié)正態(tài)總體均值與方差的

假設檢驗一、單個總體參數(shù)的檢驗二、兩個總體參數(shù)的檢驗三、基于成對數(shù)據(jù)的檢驗(t

檢驗)四、小結(jié)第十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三一、單個正態(tài)總體均值與方差的檢驗第二十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三對于給定的檢驗水平由標準正態(tài)分布分位數(shù)定義知，因此，檢驗的拒絕域為其中為統(tǒng)計量U的觀測值。這種利用U統(tǒng)計量來檢驗的方法稱為U檢驗法。第二十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三例1某切割機在正常工作時,切割每段金屬棒的平均長度為10.5cm,標準差是0.15cm,今從一批產(chǎn)品中隨機的抽取15段進行測量,其結(jié)果如下:假定切割的長度X服從正態(tài)分布,且標準差沒有變化,試問該機工作是否正常?解第二十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三查表得第二十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三上述利用t統(tǒng)計量得出的檢驗法稱為t檢驗法.

在實際中,正態(tài)總體的方差常為未知,所以我們常用t

檢驗法來檢驗關于正態(tài)總體均值的檢驗問題.第二十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三如果在例1中只假定切割的長度服從正態(tài)分布,問該機切割的金屬棒的平均長度有無顯著變化?解查表得t分布表例2第二十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三定理三根據(jù)第五章§3定理5.8的推論1知,由t分布分位數(shù)的定義知

在實際中,正態(tài)總體的方差常為未知,所以我們常用t

檢驗法來檢驗關于正態(tài)總體均值的檢驗問題.第二十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三在實際中,正態(tài)總體的方差常為未知,所以我們常用t

檢驗法來檢驗關于正態(tài)總體均值的檢驗問題.上述利用t

統(tǒng)計量得出的檢驗法稱為t檢驗法.第二十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三要檢驗假設:根據(jù)第五章§3知,第二十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第二十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三指它們的和集拒絕域為:第三十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三解例3某廠生產(chǎn)的某種型號的電池,其壽命長期以來服從方差=5000(小時2)的正態(tài)分布,現(xiàn)有一批這種電池,從它生產(chǎn)情況來看,壽命的波動性有所變化.現(xiàn)隨機的取26只電池,測出其壽命的樣本方差=9200(小時2).問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化?第三十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三拒絕域為:可認為這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化.第三十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三二、兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗1.已知方差時兩正態(tài)總體均值的檢驗需要檢驗假設:上述假設可等價的變?yōu)?/p>

利用u檢驗法檢驗.第三十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第三十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三故拒絕域為由標準正態(tài)分布分位數(shù)的定義知第三十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第三十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第三十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三2.未知方差時兩正態(tài)總體均值的檢驗

利用t檢驗法檢驗具有相同方差的兩正態(tài)總體均值差的假設.第三十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三定理四根據(jù)第五章§3定理5.8的推論2知,第三十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三對給定的故拒絕域為第四十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三例2有甲、乙兩臺機床加工相同的產(chǎn)品,從這兩臺機床加工的產(chǎn)品中隨機地抽取若干件,測得產(chǎn)品直徑(單位:mm)為機床甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9機床乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2,試比較甲、乙兩臺機床加工的產(chǎn)品直徑有無顯著差異?假定兩臺機床加工的產(chǎn)品直徑都服從正態(tài)分布,且總體方差相等.解第四十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三即甲、乙兩臺機床加工的產(chǎn)品直徑無顯著差異.第四十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三需要檢驗假設:3.兩正態(tài)總體方差的檢驗第四十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第四十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三定理5.8根據(jù)第五章§3定理5.8的推論2知為了計算方便,習慣上取第四十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三檢驗問題的拒絕域為上述檢驗法稱為F檢驗法.第四十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三解某磚廠制成兩批機制紅磚,抽樣檢查測量磚的抗折強度(公斤),得到結(jié)果如下:已知磚的抗折強度服從正態(tài)分布,試檢驗:(1)兩批紅磚的抗折強度的方差是否有顯著差異?(2)兩批紅磚的抗折強度的數(shù)學期望是否有顯著差異?(1)檢驗假設:例3第四十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三查表7-3知拒絕域為第四十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三(2)檢驗假設:第四十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三查表7-3知拒絕域為第五十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三三、基于配對數(shù)據(jù)的檢驗（t檢驗）有時為了比較兩種產(chǎn)品，兩種儀器，或兩種試驗方法等的差異，我們常常在相同的條件下做對比試驗，得到一批成對（配對）的觀測值，然后對觀測數(shù)據(jù)進行分析。作出推斷，這種方法常稱為配對分析法。例7.9比較甲乙兩種橡膠輪胎的耐磨性，今從甲乙兩種輪胎中各隨機地抽取8個，其中各取一個組成一對。再隨機選擇8架飛機，將8對輪胎隨機地搭配給8架飛機，做耐磨性實驗第五十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三飛行一段時間的起落后，測得輪胎磨損量（單位：mg）數(shù)據(jù)如下：輪胎甲：4900，5220，5500，60206340，7660，8650，4870輪胎乙；4930，4900，5140，57006110，6880，7930，5010試問這兩種輪胎的耐磨性有無顯著差異？解：用X及Y分別表示甲乙兩種輪胎的磨損量第五十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三假定，其中欲檢驗假設下面分兩種情況討論：（1）實驗數(shù)據(jù)配對分析：記，則，由正態(tài)分布的可加性知，Z服從正態(tài)分布。于是，對與是否相等的檢驗第五十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三就變對的檢驗，這時我們可采用關于一個正態(tài)總體均值的檢驗法。將甲，乙兩種輪胎的數(shù)據(jù)對應相減得Z的樣本值為：-30，320，360，320，230,780，720，-140計算得樣本均值第五十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三對給定，查自由度為的分布表得臨界值，由于因而否定，即認為這種輪胎的耐磨性有顯著差異。（2）實驗數(shù)據(jù)不配對分析：將兩種輪胎的數(shù)據(jù)看作來自兩個總體的樣本觀測值，這種方法稱為不配對分析法。欲檢驗假設第五十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三我們選擇統(tǒng)計量由樣本數(shù)據(jù)及可得第五十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三對給定的，查自由度為16-2=14的t分布表，得臨界值，由于，因而接受，即認為這兩種輪胎的耐磨性無顯著差異。第五十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三以上是在同一檢驗水平的分析結(jié)果，方法不同所得結(jié)果也比一致，到底哪個結(jié)果正確呢？下面作一簡要分析。因為我們將8對輪胎隨機地搭配給8架飛機作輪胎耐磨性試驗，兩種輪胎不僅對試驗數(shù)據(jù)產(chǎn)生影響，而且不同的飛機也對試驗數(shù)據(jù)產(chǎn)生干擾，因此試驗數(shù)據(jù)配對分析，消除了飛機本身對數(shù)據(jù)的干擾，突出了比較兩種輪胎之間耐磨性的差異。下采用不同方法第五十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三對試驗數(shù)據(jù)不做配對分析，輪胎之間和飛機之間對數(shù)據(jù)的影響交織在一起，這時樣本

不獨立。因此，用兩個獨立正態(tài)總體的t檢驗法是不合適的。由本例看出，對同一批試驗數(shù)據(jù)，采用配對分析還是不配對分析方法，要根據(jù)抽樣方法而定。

與樣本第五十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三四、小結(jié)本節(jié)學習的正態(tài)總體均值的假設檢驗有:正態(tài)總體均值、方差的檢驗法見下表第六十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三附表7.1

4321第六十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三附表7-2567第六十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三t分布表a=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.92082.1448第六十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三t分布表b=0.250.100.050.0250.010.00512345678910111213