系統(tǒng)的穩(wěn)定性_第1頁
系統(tǒng)的穩(wěn)定性_第2頁
系統(tǒng)的穩(wěn)定性_第3頁
系統(tǒng)的穩(wěn)定性_第4頁
系統(tǒng)的穩(wěn)定性_第5頁
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系統(tǒng)的穩(wěn)定性第一頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三穩(wěn)定性的概念系統(tǒng)穩(wěn)定性,是指系統(tǒng)受到擾動后,偏離了原來的平衡狀態(tài),而當擾動取消后,系統(tǒng)又能夠逐漸恢復到原來的狀態(tài),則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的,或具有穩(wěn)定性的。否則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,或不具有穩(wěn)定性。系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)固有的一種特性,只取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù),而與初始條件及外界作用無關。定義第二頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三李雅普諾夫穩(wěn)定性對系統(tǒng)平衡狀態(tài)為穩(wěn)定或不穩(wěn)定所規(guī)定的標準。

穩(wěn)定:設系統(tǒng)的平衡工作點為0,若擾動使系統(tǒng)偏離平衡工作點的初始偏差不超過,擾動引起的輸出的終態(tài)不超過允許的域,稱為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。否則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,或不具有穩(wěn)定性。漸近穩(wěn)定:系統(tǒng)的輸出在初始偏差作用下,其終態(tài)能回到原始平衡工作點。

大范圍漸近穩(wěn)定:系統(tǒng)在任意初始條件下都保持漸近穩(wěn)定。

李雅普諾夫定義下的穩(wěn)定0線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性決定于系統(tǒng)本身固有的特性,與外界條件無關,決定于瞬態(tài)分量是否衰減。第三頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三穩(wěn)定性的充分必要條件設線性系統(tǒng)在初始條件為零時,作用一個理想單位脈沖δ(t),這時系統(tǒng)的輸出增量為為脈沖響應g(t)。相當于系統(tǒng)在擾動信號作用下輸出偏離原平衡狀態(tài)的情況。若t→∞時,脈沖響應即輸出增量收斂于原平衡工作點,則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第四頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三設系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程

設特征根互不相等,系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)可改寫如下閉環(huán)特征根則系統(tǒng)脈沖響應的拉氏變換第五頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三得系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)(1)若為實數(shù)若系統(tǒng)穩(wěn)定(2)若為復數(shù)發(fā)散系統(tǒng)脈沖響應的拉氏變換第六頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三(3)若特征根為k個實根,r個復數(shù)根系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是它的所有特征根都具有負實部,或都位于s平面的左半平面,則系統(tǒng)穩(wěn)定。說明:若系統(tǒng)有極點位于虛軸上或原點,其余極點均位于s平面的左半平面,則零輸入響應趨于等幅振蕩或恒定值,此時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài),屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。第七頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三

例已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),試說明系統(tǒng)是否穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定解:系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程特征根系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:全部特征根都具有負實部。第八頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件閉環(huán)特征方程若使全部特征根p1,p2,…pn均具有負實部,系統(tǒng)必須滿足以下條件:特征方程的各項系數(shù)ai的符號都相同。特征方程的各項系數(shù)ai≠0;系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:特征方程的各項系數(shù)ai>0

。第九頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三勞斯(Routh)穩(wěn)定判據(jù)設系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為如下標準形式勞斯數(shù)列(勞斯表)特點:逐行計算,運算中的空位置零,系數(shù)呈上三角形。g1=an第十頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件勞斯表中第一列各值為正。若勞斯表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值,系統(tǒng)就不穩(wěn)定,且第一列各系數(shù)符號的改變次數(shù),等于系統(tǒng)特征方程具有正實部根的個數(shù)。第十一頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三

例已知系統(tǒng)的特征方程,試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第一列的系數(shù)都為正數(shù),系統(tǒng)穩(wěn)定解:(1)特征方程的所有系數(shù)均為正實數(shù),滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。(2)列勞斯數(shù)列表系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件:勞斯數(shù)列中第一列所有元素的符號均為正號。第十二頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三

例已知系統(tǒng)的特征方程,試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。有兩個正實部的特征根,系統(tǒng)不穩(wěn)定解:(1)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。(2)列勞斯數(shù)列表勞斯數(shù)列表中第一列各元素符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程具有正實部特征根的個數(shù)。第十三頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三勞斯判據(jù)的特殊情況1、勞斯數(shù)列中某一行的第一列元素為零,但其余不為零或不全為零用一個很小的正數(shù)來代替第一列等于零的元素,然后繼續(xù)計算勞斯數(shù)列中其余各個元素,最后令小正數(shù)趨于零,再按照前述方法對系統(tǒng)穩(wěn)定性進行判據(jù)。第十四頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三第一列為零系統(tǒng)不穩(wěn)定,有兩個根具有正實部

例已知系統(tǒng)的特征方程,試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:(1)特征方程的所有系數(shù)均為正實數(shù),滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。(2)列勞斯數(shù)列表第十五頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三2、若勞斯數(shù)列表中某一行(設為第k行)的所有系數(shù)均為零,則說明在根平面內(nèi)存在一些絕對值相同,但符號相異的特征根。(3)解輔助方程,得到所有數(shù)值相同、符號相異的根。(1)用(k-1)行元素構(gòu)成輔助多項式,輔助方程的最高階次為(n-k+2),然后s的次數(shù)遞降2。(2)將輔助多項式對s求導,其系數(shù)作為全零行的元素,繼續(xù)完成勞斯表。第十六頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三解得

例系統(tǒng)特征方程,試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:(1)特征方程的所有系數(shù)均為正實數(shù),滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。(2)列勞斯數(shù)列表全零行輔助多項式有兩個共軛虛根,系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。第十七頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三

例已知系統(tǒng)特征方程,試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:(2)列勞斯數(shù)列表(1)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。輔助多項式第一列元素不全為零,系統(tǒng)有正實部特征根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。解得第十八頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三勞斯判據(jù)的應用可以判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定,即系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性??蓹z驗系統(tǒng)是否有一定的穩(wěn)定裕量,即相對穩(wěn)定性??捎脕矸治鱿到y(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響和鑒別延滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第十九頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三穩(wěn)定裕量的檢驗令,即把虛軸左移

。將上式代入系統(tǒng)的特征方程式,得以z

為變量的新特征方程式,然后再檢驗新特征方程式有幾個根位于新虛軸(垂直線)的右邊。如果所有根均在新虛軸的左邊(新勞思陣列式第一列均為正數(shù)),則說系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量。第二十頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三

例檢驗特征方程式,是否有根在右半平面,并檢驗有幾個根在直線s=-1的右邊。解:(1)特征方程的所有系數(shù)均為正實數(shù),滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。(2)列勞斯數(shù)列表勞斯數(shù)列中第一列所有元素的符號均為正號,故沒有根在s右半平面。第二十一頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三新的勞斯陣列表令s=z-1,代入特征方程式,得即:從表中可看出,第一列符號改變一次,故有一個根在直線s=-1(即新坐標虛軸)的右邊,因此穩(wěn)定裕量不到1。第二十二頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響一單位反饋控制系統(tǒng)下圖所示,求使系統(tǒng)穩(wěn)定的k的范圍。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為特征方程系數(shù)都為正實數(shù)

例解:第二十三頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三列勞斯陣列表0<K<30K>0,30-K>0特征方程系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件:勞斯數(shù)列中第一列所有元素的符號均為正號。即解得第二十四頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)乃奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù),簡稱奈氏判據(jù),又稱頻域法判據(jù),是判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的又一重要方法。它是將系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)與復變函數(shù)F(s)=1+G(s)H(s)位于s平面右半部的零、極點數(shù)目聯(lián)系起來的一種判據(jù)。乃氏判據(jù)是一種圖解法,它根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。頻域判據(jù)使用方便,易于推廣。第二十五頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三基本原理幅角映射是指利用關系函數(shù)F(s)將[s]平面上的閉合曲線或軌跡映射轉(zhuǎn)換到另一個平面上。映射的概念幅角原理假設復變函數(shù)F(s)為單值,且除了s平面上有限的奇點外處處連續(xù),也就是說F(s)在s平面上除奇點外處處解析,那么對于s平面上的每一個解析點,在F(s)平面上必有一點(稱為映射點)與之對應。第二十六頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

例第二十七頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三s和F(s)的映射關系若[s]平面上一封閉曲線Ls包圍F(s)的Z個零點和P個極點(不經(jīng)過F(s)的任何極點),則在[F(s)]平面上必有一對應的封閉映射曲線LF。當復變量s在[s]平面上順時針方向沿Ls變化一周時,在[F(s)]平面上的映射曲線繞原點順時針轉(zhuǎn)過N圈,即N=Z-P。N>0順時針,N<0逆時針,N=0表示不包括[F(s)]平面的原點。第二十八頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三復變函數(shù)F(s)的選擇閉環(huán)特征方程開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)輔助函數(shù)特點F(s)的零點即為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)的極點,F(xiàn)(s)的極點即為開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)的極點。第二十九頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三F(s)與開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)只相差常量1,F(xiàn)(s)的幾何意義為:[F(s)]平面的坐標原點就是[GH]平面上的(-1,j0)點。F(s)=1+G(s)H(s)關系圖第三十頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程1+G(s)H(s)=0的全部特征根都具有負實部,即Φ(s)在[s]平面的右半平面沒有極點。F(s)在[s]平面的右半平面沒有零點。即選擇一條封閉曲線Ls包圍整個[s]平面的右半平面,則封閉曲線Ls稱為[s]平面上的乃氏軌跡。s平面的Nyquist軌跡若F(s)=1+G(s)H(s)在[s]右半平面有Z個零點和P個極點,當s沿[s]平面上的乃氏軌跡移動一周,在[F(s)]平面上的映射曲線LF將順時針包圍原點N=Z-P圈。第三十一頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三由于F(s)-1=G(s)H(s),因此,F(xiàn)(s)的映射曲線LF包圍原點的圈數(shù)就等于G(s)H(s)的映射曲線LGH包圍(-1,j0)點的圈數(shù)。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:F(s)在[s]平面的右半平面沒有零點,即Z=0。若G(s)H(s)的乃氏軌跡逆時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)等于其在[s]右半平面的極點數(shù)P,即N=P,由N=Z-P得出Z=0,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。第三十二頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)1、[s]平面虛軸上無開環(huán)極點乃氏穩(wěn)定判據(jù)如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在[s]右半平面上有P個極點,當ω由-∞變化到+∞時,[G(s)H(s)]平面上的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)逆時針包圍(-1,j0)點P圈,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;反之,閉環(huán)系統(tǒng)就不穩(wěn)定?;虍敠赜?變化到+∞時,[G(s)H(s)]平面上的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)逆時針包圍(-1,j0)點P/2圈,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;反之,閉環(huán)系統(tǒng)就不穩(wěn)定。若P=0,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是G(jω)H(jω)不包圍(-1,j0)點。第三十三頁,共三十七頁,編輯于2023年,星期三2、[s]平面原點處有開環(huán)極點虛軸上有開環(huán)極點時的乃氏軌跡如果有ν個開環(huán)極點在[s]平面的原點處,則[G(s)H(s)]平面上的乃氏軌跡將沿無窮大半徑按順時針方向從即當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)含有ν個積分環(huán)節(jié)時,需在原來的開環(huán)幅相特性曲線上逆時針方向補加上ν×90°虛線圓弧,然后再應用乃氏穩(wěn)定判

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