大學(xué)物理第三章習(xí)題選解

第三章剛體的轉(zhuǎn)動3-1 一飛輪受摩擦力矩作用減速轉(zhuǎn)動，其角加速度與角速度成正比，即p=-k3,式中k為比例常數(shù)。初始角速度為30，求：（1）飛輪角速度隨時(shí)間變化的關(guān)系；（2）角速度由3減為3/2所需的時(shí)間以及在此時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)。0 0’解：（1）由P=吧，P=-k3dt分離變量吧=-kdt，并由初始條件t=0,3=3；30等式兩邊積分（2）當(dāng)角速度由3減為30時(shí)02d0由3=一，3=3e-ktdt 0分離變量d0=3e-ktdt，并由初始條件t=0，0=0；等式兩邊積分0代入t=11n2，得飛輪轉(zhuǎn)過的角度k飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù) N=上="2兀4兀k3-2一剛體由靜止開始繞一固定軸作勻角加速轉(zhuǎn)動。由實(shí)驗(yàn)可測得剛體上某點(diǎn)的切向加速度為a，法向加速度為a，試證明aa=20，0為任意時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度。t n n't解：剛體定軸轉(zhuǎn)動時(shí),設(shè)剛體上某點(diǎn)作圓周運(yùn)動的半徑為R，則該點(diǎn)的法向加速度為 an=32R切向加速度為 a=RPt又32-32=2P（0-0），且3=0,0=00 0003-3 一根質(zhì)量為m，長為l的均勻細(xì)桿，可在水平桌面上繞通過其一端的豎直固定軸轉(zhuǎn)動。已知細(xì)桿與桌面的滑動摩擦因數(shù)為口，求桿轉(zhuǎn)動時(shí)受摩擦力矩的大小。解：設(shè)桿的線密度為九。在桿上取一線元距轉(zhuǎn)軸為r，質(zhì)量為dm=ldr。該線元在轉(zhuǎn)動時(shí)受桌面摩擦力為

摩擦力方向與干垂直，故線元受摩擦力矩的大小為桿轉(zhuǎn)動時(shí)受摩擦力矩的大小為又m=Xl M=2日mgI3-4如圖所示，一長為l,質(zhì)量可以忽略的直桿，兩端分別固定有質(zhì)量為2m和m的小球，桿可繞通過其中心0且與桿垂直的水平光滑固定軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。開始桿與水平方向成某一角度0，處于靜止 解：兩小球?qū)λ睫D(zhuǎn)軸狀態(tài)，釋放后，桿繞0軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平位的轉(zhuǎn)動慣量為置時(shí)，求系統(tǒng)所受的合外力矩M與系統(tǒng)的角加速 題3-4圖度P大小。題3-4圖題3-4圖與軸承之間的摩擦不計(jì)。題3-5圖由剛體的轉(zhuǎn)動定律 M=JP3-5 如圖（a）所示，一輕繩繞于半徑r=0.2m的飛輪邊緣，現(xiàn)以恒力F=98N拉繩的一端，使飛輪由靜止開始加速轉(zhuǎn)動。已知飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為J=0.5kg-m2，飛輪（1）求飛輪的角加速度；（2）求繩子拉下5m時(shí)，飛輪的角速度和飛輪獲得的動能；（3）這動能和拉力F所做的功是否相等？為什么？（4）如以重量P=98N的物體m掛在繩端，如圖（b）示，飛輪將如何運(yùn)動？試再計(jì)算飛輪的角加速度和繩子拉下5m時(shí)飛輪獲得的動能。這動能和重力對物體m所做的功是否相等？為什么？解：恒力F作用于飛輪的力矩 （2）繩子拉下5m時(shí)，飛輪（1）由剛體轉(zhuǎn)動第二定律M=JP，飛輪轉(zhuǎn)過的角度的角加速度0=-=25rad 題3-5圖（a） 題3-5圖（b）r設(shè)經(jīng)過的時(shí)間為方，則飛輪的角速度飛輪獲得的動能 E=-J32=490Jk2(3)拉力F所做的功為 A=Fl=490J與飛輪獲得的動能相等(4)若在繩端掛98N重量的物體Fr=j似TOC\o"1-5"\h\zP-T=ma P則有1Qm 解得P'=-P-=21.8rad，2\o"CurrentDocument"a=r0' Jmr+—T=T' r繩子拉下5m時(shí)，飛輪的角速度為3'，由t，=：粵，9=-0'r飛輪獲得動能 E'=1J3'2=272.4Jk2重力對物體所做的功 A'=P-=490J物體所獲動能 E"=-mv2=—m（3'r）2=217.8Jk2 2重力對物體所做的功為物體動能和飛輪動能之和。3-6如圖所示，兩物體的質(zhì)量分別為m和m，滑輪轉(zhuǎn)動慣量為J，半徑12為r，則（1）若m2與桌面間滑動摩擦系數(shù)為口，求系統(tǒng)的加速度a及繩中張力（設(shè)繩不可伸長，繩與滑輪間無相對滑動）；（2）如m2與桌面為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度與繩中張力；（3）若滑輪的質(zhì)量不計(jì)則結(jié)果又如何？ 題3-6圖解：（1）若m2與桌面滑動摩擦系數(shù)為口，則有如下方程組（m-Nm）g解得 a=_1 2__m+m+—1 2r2（2）若m2與桌面光滑接觸，則有

m1g1Jm+m+—mg一T=maT一T)=Jp< 1 2T=ma22a=rp解得\T1122m1g1Jm+m+—mg一T=maT一T)=Jp< 1 2T=ma22a=rp解得\T1122r2r212r2mmg

1-2

J

m+m+—2r2（3）若再忽略滑輪質(zhì)量mg一T=maiiiT一T=0<1 2T=ma22a=rp解得mga= 1 m+m12mmg=L=—1—2—2m+m123-7如圖所示，輕彈簧、定滑輪和物m=60kg的物體落下體系統(tǒng)。已知彈簧倔強(qiáng)系數(shù)k=2Nm-i，定0.4m時(shí)它的速度大小。開始物體靜止，彈簧無伸長，求當(dāng)質(zhì)量為解：設(shè)物體m下落了工時(shí)，其速度為。，由機(jī)械能守恒定律又3=v故有r代入工=0.4m，m=60kg，r=0.3m，J=0.5kg-m2，k=2N?m-1v=2.6Ims-13-8如圖所示，一質(zhì)量為m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子質(zhì)量可以忽略，它與滑輪之間無滑動。假設(shè)定滑輪質(zhì)量為M，半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為MR2/2，滑輪軸光滑。求該物體由靜止開始下落過程中下落速度與時(shí)間的關(guān)系。題3-8滑輪軸光滑。求該物體由靜止開始下落過程中下落速度與時(shí)間的關(guān)系。題3-8圖'm-T=mTR=JP["RP 得"—i m+——\o"CurrentDocument"J=-MR2 2[2故物體m'm-T=mTR=JP["RP 得"—i m+——\o"CurrentDocument"J=-MR2 2[2故物體m的下落速度為方法二：由機(jī)械能守恒定律題3-8圖其中—at2——112—-Vt2解得mgtv= -Mm+——23-9 水分子的形狀如圖所示。從光譜分析知水分子對44'軸的轉(zhuǎn)動慣量是J =1.93義10-47kg-m2，對BB'軸的轉(zhuǎn)動慣量是AA，J =1.14義10-47kg-m2。試由此數(shù)據(jù)和各原子的質(zhì)量求出BB'氫和氧原子間的距匐和夾角0。假設(shè)各原子都可當(dāng)質(zhì)點(diǎn)處理。解：水分子中兩個(gè)氫分子對AA'軸和BB'軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為J、JAAa BB'題3-9圖JAAa=Jr2dm=「(…0Y一一一一 (0、JIdsin—dm=2Md2sin2—V2)HV2J=Jr2dm=J|dcos—V 2J2dm=…， (0、2Md2cos2—H V2J已知?dú)湓淤|(zhì)量①、②兩式相除，得把0值代入①式得M=1.67367義10-27kgHtan2(0、V2JJ―AAiJBB'3-10如圖所示，從一個(gè)半徑為R的均勻薄板上挖去一個(gè)直徑為R的圓板。所形成的圓洞中心在距原薄板中心R2處。所剩薄板的質(zhì)量為m。求此時(shí)薄板對于通過圓中心而與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。

解:設(shè)均勻薄板被挖去圓板后的轉(zhuǎn)動慣量為J,挖去圓板前的轉(zhuǎn)動慣量為J,1被挖去的圓板對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J,則有2被挖去的圓板對通過自己圓心0'并垂 題3-10圖直于板面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為R2-mmR，由平行軸定理12）2323J=—mRJ=—mR223-11如圖所示，一根質(zhì)量均勻的鐵絲，質(zhì)量為m，長為L，在其中心0處彎成9=120。角，放在x0y平面內(nèi)。（1）求對0x、0y軸和0z軸的轉(zhuǎn)動慣量；（2）如果9=60。，（1）中結(jié)果如何？ 題3-11圖?！?解：（1）9=120。,a= =30。2m在距0點(diǎn)為l處取線兀dl，距0x軸為r=lsina。線兀質(zhì)量為dm=一dl，對0xL軸的轉(zhuǎn)動慣量為鐵絲對0x軸的轉(zhuǎn)動慣量J=—mL2

oz12同理 JJ=—mL2

oz12oy16?！?（2）若9=60。，a= =60。3-12 長為1m，質(zhì)量為2.5kg的勻質(zhì)棒，垂直懸掛在轉(zhuǎn)物點(diǎn)上，用F=100N的水平力撞擊棒的下端，該力作用的時(shí)間為0.02s，求：棒所獲得的動量矩； 解：棒對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)棒的端點(diǎn)上升的距離。 動慣量為

（1（1）在打擊瞬間，重力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩，由題3-12圖角動量定理，棒所獲得的動量矩（2）撞擊后，棒轉(zhuǎn)動到最高位置時(shí)角速度為零，以棒和地球?yàn)檠芯繉ο?，此過程中機(jī)械能守恒。設(shè)棒的中心A上升的距離為h。其中3==2.4rad.st代入上式J棒的端點(diǎn)上升的距離 H=2h=0.196m3-13如圖所示，一根質(zhì)量為m，長為21的均勻細(xì)棒，可在豎直平面內(nèi)繞通過其中心的水平軸轉(zhuǎn)動，開始時(shí)細(xì)棒在水平位置。一質(zhì)量為mf的小球，以速度u垂直落到棒的端點(diǎn)。設(shè)小球與棒作彈性碰撞。求碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度。解：棒的轉(zhuǎn)動慣量為題3-13圖設(shè)碰撞后小球的速度為。，棒的角速度為3。碰撞過程內(nèi)力比外力大的多，碰撞過程角動量守恒，則有TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"m'ul=—m'vl+J3 ①又因小球與棒作彈性碰撞，機(jī)械能守恒111—mu2=—mv2+—J32 ②2 2 2把J=1ml2代入①②兩式解得33-14 如圖所示，一長1=0.40m，質(zhì)量為m=1.0kg的均勻細(xì)木棒，由其上端的光滑水平軸吊起而處于靜止，今有一質(zhì)量m=8.0g的子彈以v=200m.s-1的0速率水平射入棒中，射入點(diǎn)在軸下d=31：4處。求：（1）子彈停在棒中時(shí)棒的角速度；（2）棒的最大偏轉(zhuǎn)角。解：（1）子彈對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為細(xì)木棒的轉(zhuǎn)動慣量 題3-14圖v子彈射入棒刖對轉(zhuǎn)軸的角速度為3'=才，射入后與棒一起轉(zhuǎn)動的角速度為3。射入木棒前后，子彈與木棒的角動量守恒（2）設(shè)棒的最大偏轉(zhuǎn)角為0，棒的中心和子彈上升的高度分別為—（1-cos0）、—（1-cos0）。由機(jī)械能守恒定律24解得 cos0=—0.0743-15 如圖所示，質(zhì)量為m，長為l的均勻細(xì)桿可繞過端點(diǎn)O的固定水平軸轉(zhuǎn)動。桿從水平位置由靜止開始下擺，桿擺 的速度。。至豎直位置時(shí)剛好和光滑水平桌面上的小球 題3-15圖相碰。小球看作質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量也為m，設(shè)碰撞是彈性的，忽略軸上摩擦，求碰后小球獲得解：細(xì)桿的轉(zhuǎn)動慣量為J=1ml2 題3-15圖3桿擺在豎直位置時(shí)，質(zhì)心下降了-，2由機(jī)械能守恒定律設(shè)碰撞后小球的速度