2022年湖南省郴州市資興礦業(yè)集團第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022年湖南省郴州市資興礦業(yè)集團第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合A={x|x﹣1＜0}，B={x∈N|x＜4}，則（?RA）∩B=（）A．{0} B．{1，2，3} C．{1} D．{1，2}參考答案：B【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】先分別求出集合A，B，由此求出CRA，從而能求出（?RA）∩B．【解答】解：∵集合A={x|x﹣1＜0}={x|x＜1}，B={x∈N|x＜4}={0，1，2，3}，∴CRA={x|x≥1}，（?RA）∩B={1，2，3}．故選：B．【點評】本題考查交集、補集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意交集、補集定義的合理運用．2.己知i是虛數(shù)單位，則等于A．－1+i

B．－1－i

C．1+i

D．1－i參考答案：D3.已知向量，則下列結(jié)論正確的是A.

B.∥

C.

D.參考答案：D4.“干支紀年法”是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法．干支是天干和地支的總稱．把干支順序相配正好六十為一周，周而復(fù)始，循環(huán)記錄，這就是俗稱的“干支表”．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、葵等十個符號叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二個符號叫地支．如：公元1984年農(nóng)歷為甲子年、公元1985年農(nóng)歷為乙丑年，公元1986年農(nóng)歷為丙寅年．則公元2047年農(nóng)歷為（

）A．乙丑年

B．丙寅年

C.丁卯年

D．戊辰年參考答案：C記公元1984年為第一年，公元2047年為第64年，即天干循環(huán)了十次，第四個為“丁”，地支循環(huán)了五次，第四個為“卯”,所以公元2047年農(nóng)歷為丁卯年.故選C.

5.已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）﹣sinx．給出下列命題：①當(dāng)a=0時，?x∈（0，e），都有f（x）＜0；②當(dāng)a≥e時，?x∈（0，+∞），都有f（x）＞0；③當(dāng)a=1時，?x0∈（2，+∞），使得f（x0）=0．其中真命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點】全稱命題；特稱命題．【分析】根據(jù)函數(shù)值得特點，逐一判斷即可．【解答】解：對于①當(dāng)a=0時，f（x）=lnx﹣sinx，當(dāng)x=時，f（）=ln﹣sin＞ln﹣=0，故不正確，對于②a≥e時，?x∈（0，+∞），ln（x+a）＞lne=1，﹣1≤sinx≤1，則f（x）＞0恒成立，故正確，對于③當(dāng)a=1時，f（x）=ln（x+1）﹣sinx，當(dāng)x＞2時，x+1＞3，故ln（x+1）＞1，故f（x）＞0恒成立，故不正確，故選：B6.已知雙曲線x2﹣y2=1的左、右頂點分別為A1、A2，動直線l：y=kx+m與圓x2+y2=1相切，且與雙曲線左、右兩支的交點分別為P1（x1，y1），P2（x2，y2），則x2﹣x1的最小值為（）A． B．2 C．4 D．參考答案：A【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)直線和圓相切，建立m，k的關(guān)系，聯(lián)立直線和雙曲線，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系進行求解即可．【解答】解：∵l與圓相切，∴原點到直線的距離d=，∴m2=1+k2．由，得（1﹣k2）x2﹣2mkx﹣（m2+1）=0，∵直線l：y=kx+m與圓x2+y2=1相切，且與雙曲線左、右兩支交于兩點，∴∴k2＜1，∴﹣1＜k＜1，故k的取值范圍為（﹣1，1）．由于x1+x2=，∴x2﹣x1===，∵0≤k2＜1，∴當(dāng)k2=0時，x2﹣x1取最小值2．故選：A7.已知數(shù)列{an}滿足：，，則下列關(guān)于{an}的判斷正確的是（

)A.使得B.使得C.總有D.總有參考答案：D【分析】由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論、數(shù)列的單調(diào)性、函數(shù)的單調(diào)性和特殊數(shù)列的性質(zhì)確定題中的說法是否正確即可.【詳解】對于選項A，由于，故恒成立，則，故不存在的項，選項A說法錯誤；對于選項B，由于，結(jié)合選項A可知，故，即，選項B說法錯誤；對于選項C，構(gòu)造函數(shù)，則，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則不存在滿足，選項C說法錯誤；對于選項D，令，則，此時數(shù)列為常數(shù)列，故總有，選項D說法正確.故選：D.【點睛】本題主要考查數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列中的最值問題，遞推關(guān)系的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.8.如圖，在邊長為2的正方形中，分別為的中點，為的中點，沿將正方形折起，使重合于點，在構(gòu)成的四面體中，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．平面B．直線與平面所成角的正切值為C.四面體的外接球表面積為D．異面直線和所成角為參考答案：D9.函數(shù)圖象的一條對稱軸方程是（）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：A解析：由，可知是其圖象的一條對稱軸。

10.設(shè)函數(shù)f(x)=則f的值為（

）A.18

B.

C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，若，則實數(shù)等于

。參考答案：212.已知實數(shù)滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為__________．參考答案：513.設(shè)，其中滿足約束條件，若的最小值，則k的值為___

參考答案：1略14.某海域內(nèi)有一孤島，島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區(qū)（含邊界），其邊界是長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓，已知島上甲、乙導(dǎo)航燈的海拔高度分別為h1、h2，且兩個導(dǎo)航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個焦點上，現(xiàn)有船只經(jīng)過該海域（船只的大小忽略不計），在船上測得甲、乙導(dǎo)航燈的仰角分別為θ1、θ2，那么船只已進入該淺水區(qū)的判別條件是

.參考答案：【解析】依題意，；答案：15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，

F2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為_________參考答案：略16.已知函數(shù)在上存在反函數(shù)，且函數(shù)的圖象過點，那么的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點_____

．參考答案：答案：

17.（5分）已知x，y滿足條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（其中a＞0）僅在點（2，0）處取得最大值，則a的取值范圍是．參考答案：（，+∞）【考點】：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【專題】：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，確定目標(biāo)取最優(yōu)解的條件，即可求出a的取值范圍．解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由z=ax+y得y=﹣ax+z，∵a＞0，∴此時目標(biāo)函數(shù)的斜率k=﹣a＜0，要使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點A（2，0）處取得最大值，則此時﹣a≤kAB=﹣，即a＞，故答案為：（，+∞）【點評】：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）已知函數(shù)在區(qū)間

上的

最大值為2.（1）求常數(shù)的值；（2）在中，角,,所對的邊是,,，若，，

面積為.

求邊長.參考答案：（1）

∵

∴

∵函數(shù)在區(qū)間

上是增函數(shù)，在區(qū)間

上是減函數(shù)

∴當(dāng)即時，函數(shù)在區(qū)間上取到最大值.

此時，得

略19.已知函數(shù)。（1）求的值；（2）設(shè)的值.參考答案：【知識點】三角函數(shù)的求值、化簡與證明C7【答案解析】（1）（2）（1）把x=代入函數(shù)解析式得：f（）=2sin（×-）=2sin=；

（2）由f（3α+）=，f（3β+2π）=，代入得：2sin[（3α+）-]=2sinα=，2sin[（3β+2π）-]=2sin（β+）=2cosβ=sinα=，cosβ=，又α，β∈[0，]，

所以cosα=，sinβ=，則cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=．【思路點撥】（1）把x=代入函數(shù)f（x）的解析式中，化簡后利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出對應(yīng)的函數(shù)值；

（2）分別把x=3α+和x=3β+2π代入f（x）的解析式中，化簡后利用誘導(dǎo)公式即可求出sinα和cosβ的值，然后根據(jù)α和β的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα和sinβ的值，然后把所求的式子利用兩角和的余弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入即可求出值．20.（13分）已知數(shù)列的前項和為，,（，）.且，，成等差數(shù)列.（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式參考答案：解析：（Ⅰ）∵（），∴（）.

………1分∵，，成等差數(shù)列，∴.

…………3分∴.

………5分∴.

………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得（）.∴數(shù)列為首項是，公差為1的等差數(shù)列.

………8分∴.∴.

……10分當(dāng)時，.

………12分當(dāng)時，上式也成立.

……13分∴（）.21.（本小題滿分13分）某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進

行開發(fā)建設(shè)，陰影部分為一公共設(shè)施不能建設(shè)開發(fā)，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在直線上），公共設(shè)施邊界為曲線的一部分，欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點M、N，切曲線于點P，設(shè)．(I)將（O為坐標(biāo)原點）的面積S表示成f的函數(shù)S(t)；(II)若，S(t)取得最小值，求此時a的值及S(t)的最小值．參考答案：（Ⅰ），直線的斜率為，直線的方程為令得………3分令,得,

的面積,

………6分（Ⅱ）,因為,由,得,

………9分當(dāng)時,,當(dāng)時,.已知在處,,故有，故當(dāng)時,

………13分22.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率e=，△DEF2的面積為1﹣．若M（x0，y0）在橢圓C上，則點N（，）稱為點M的一個“橢點”．直線l與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，已知OP⊥OQ．（1）求橢圓的標(biāo)準方程；（2）△AOB的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）利用橢圓的離心率以及三角形的面積求出橢圓的幾何量，即可得到橢圓方程．（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，由OP⊥OQ，即．（*）①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，．②當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其直線為y=kx+m（m≠0）．聯(lián)立直線與橢圓方程，通過韋達定理弦長公式，求解三角形的面積即可