第4章 數(shù)列 高二數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)（滬教版2020選擇性必修第一冊）(共58張PPT)

高一數(shù)學(xué)選擇性必修1

單元復(fù)習(xí)

第4章數(shù)列1知識網(wǎng)絡(luò)2知識梳理1.等差數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算 (1)等差數(shù)列的判斷方法：定義法an＋1－an＝d(d為常數(shù))或an＋1－an＝an－ an－1(n≥2). (2)等差數(shù)列的通項：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.2知識梳理2.等差數(shù)列的性質(zhì)(3)當(dāng)m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)時，則有am＋an＝ap＋aq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時，則有am＋an＝2ap.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差數(shù)列.2知識梳理3.等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算2知識梳理2知識梳理4.等比數(shù)列的性質(zhì) (1)若{an}，{bn}都是等比數(shù)列，則{anbn}也是等比數(shù)列. (2)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{an}可能為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列. (3)等比數(shù)列中，當(dāng)m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)時，aman＝apaq.2知識梳理5.數(shù)列求和的常見方法：公式法、分組法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等.關(guān)鍵找通項結(jié)構(gòu).2知識梳理6.求數(shù)列通項常見方法2知識梳理7.數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)

時命題成立；(2)(歸納遞推)以當(dāng)“

(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當(dāng)

時命題也成立”.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從

開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.n＝kn＝k＋1n＝n0(n0∈N*)n0考點(diǎn)突破3考點(diǎn)1、等差（等比)數(shù)列的運(yùn)算AA.9B.6 C.3 D.1考點(diǎn)突破3考點(diǎn)1、等差（等比)數(shù)列的運(yùn)算2(2)(2022·全國乙卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若2S3＝3S2＋6，則公差d＝________.解析由2S3＝3S2＋6，可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化簡得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.考點(diǎn)突破3考點(diǎn)1、等差（等比)數(shù)列的運(yùn)算(3)已知{an}是遞減的等比數(shù)列，且a2＝2，a1＋a3＝5，則{an}的通項公式為_________________；a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝___________.又{an}是遞減的等比數(shù)列，考點(diǎn)突破3考點(diǎn)1、等差（等比)數(shù)列的運(yùn)算則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首項為8，考點(diǎn)突破3考點(diǎn)1、等差（等比)數(shù)列的運(yùn)算B對應(yīng)練習(xí)(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S7－S6＝24，a3＝8，則數(shù)列{an}的公差d＝(

) A.2 B.4 C.6 D.8解析設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則an＝a1＋(n－1)d，而a7＝S7－S6＝24，又a3＝8，∴a7－a3＝a1＋6d－(a1＋2d)＝4d＝16，解得d＝4，故選B.考點(diǎn)突破3考點(diǎn)1、等差（等比)數(shù)列的運(yùn)算D（2）(2022·全國乙卷)已知等比數(shù)列{an}的前3項和為168，a2－a5＝42，則a6＝(

) A.14 B.12 C.6 D.3解析設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，考點(diǎn)突破3考點(diǎn)2、等差（等比)數(shù)列的判定證明因?yàn)閎n是數(shù)列{Sn}的前n項積，整理可得2bn－1＋1＝2bn，考點(diǎn)突破3考點(diǎn)2、等差（等比)數(shù)列的判定(2)求{an}的通項公式.考點(diǎn)突破3考點(diǎn)2、等差（等比)數(shù)列的判定即Sn＋1－1＝3(Sn－1)，∴數(shù)列{Sn－1}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，即Sn－1＝3n，∴Sn＝3n＋1.考點(diǎn)突破3考點(diǎn)2、等差（等比)數(shù)列的判定∴an＋1＝2×3n，∴an＝2×3n－1(n≥2)，又a1＝4≠2×31－1＝2，考點(diǎn)突破3考點(diǎn)2、等差（等比)數(shù)列的判定∴當(dāng)n≥2時，考點(diǎn)突破3考點(diǎn)2、等差（等比)數(shù)列的判定2.(2021·全國甲卷)已知數(shù)列{an}的各項為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.解

①③?②.已知{an}是等差數(shù)列，a2＝3a1.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，考點(diǎn)突破3考點(diǎn)2、等差（等比)數(shù)列的判定①②?③.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，所以a2＝a1＋d＝3a1.考點(diǎn)突破3考點(diǎn)2、等差（等比)數(shù)列的判定②③?①.所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.所以Sn＝n2d2，所以n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，對n＝1也適合，所以an＝2d2n－d2，所以an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常數(shù))，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.考點(diǎn)突破3考點(diǎn)3、等差（等比)數(shù)列的性質(zhì)與運(yùn)用B解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：考點(diǎn)突破3考點(diǎn)3、等差（等比)數(shù)列的性質(zhì)與運(yùn)用B解析因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的前n項和為Sn，則S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列，故4S3＝S9－S6，考點(diǎn)突破3考點(diǎn)3、等差（等比)數(shù)列的性質(zhì)與運(yùn)用6(3)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a6＋a7＝1，則S12＝________；若a7<0，則使得不等式Sn<0成立的最小整數(shù)n＝________.13解析根據(jù)題意，{an}為等差數(shù)列，若a6＋a7＝1，則使不等式Sn<0成立的最小整數(shù)n＝13.考點(diǎn)突破3考點(diǎn)3、等差（等比)數(shù)列的性質(zhì)與運(yùn)用A解析因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以設(shè)S4＝2k，S8＝5k，k≠0，則S8－S4＝3k，可知S12－S8＝4k，S16－S12＝5k，所以S12＝9k，S16＝14k，考點(diǎn)突破3考點(diǎn)3、等差（等比)數(shù)列的性質(zhì)與運(yùn)用D解析因?yàn)閍6，3a5，a7成等差數(shù)列，所以2×3a5＝a6＋a7.又{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)其首項為a1，公比為q，所以6a1q4＝a1q5＋a1q6，所以q2＋q－6＝0，考點(diǎn)突破3考點(diǎn)3、等差（等比)數(shù)列的性質(zhì)與運(yùn)用解得q＝2或q＝－3(舍去)，又4a1為am，an的等比中項，所以(4a1)2＝am·an，所以m＋n－2＝4，即m＋n＝6，即m＝2，n＝4時，等號成立，故選D.考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和例4

已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a5＝9，S7＝49. (1)求數(shù)列{an}的通項公式；解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N*).考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和所以數(shù)列{bn}的前100項和為(b1＋b2＋…＋b10)＋(b11＋b12＋…＋b20)＋(b21＋b22＋…＋b30)＋…＋(b91＋b92＋…＋b100)＝(a1＋a2＋…＋a10)＋2(a1＋a2＋…＋a10)＋22(a1＋a2＋…＋a10)＋…＋29(a1＋a2＋…＋a10)＝(1＋2＋22＋…＋29)(a1＋a2＋…＋a10)＝102300.考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和例5

已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)2n＋1＋2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解由題意可知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)2n＋1＋2，①當(dāng)n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)2n＋2，②①－②得nan＝(n－1)2n＋1－(n－2)2n，即an＝2n，當(dāng)n＝1時，a1＝2滿足上式，所以an＝2n(n∈N*).考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和解因?yàn)閘og2

an＝log22n＝n，考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和解若選條件①.因?yàn)镾n，2Sn＋1，3Sn＋2成等差數(shù)列，所以4Sn＋1＝Sn＋3Sn＋2，即Sn＋1－Sn＝3(Sn＋2－Sn＋1)，所以an＋1＝3an＋2，考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和若選條件②.考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和所以(an＋1＋2an)(3an＋1－an)＝0，因?yàn)閍n>0，所以3an＋1－an＝0，考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和若選條件③.因?yàn)?Sn＋an－t＝0，所以n≥2時，2Sn－1＋an－1－t＝0，兩式相減并整理，考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和兩式相減，得考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和解當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時，a1也滿足an＝n，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝n(n∈N*).考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和.解由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故數(shù)列{bn}的前2n項和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2(n∈N*).考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和對應(yīng)練習(xí)2已知正項等差數(shù)列{an}滿足：a3n＝3an(n∈N*)，且2a1，a3＋1，a8成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項公式；解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a3n＝3an得a1＋(3n－1)d＝3[a1＋(n－1)d].則a1＝d，所以an＝a1＋(n－1)d＝nd.又2a1，a3＋1，a8成等比數(shù)列，所以(a3＋1)2＝2a1·a8，即(3d＋1)2＝2d·8d.所以7d2－6d－1＝0，因?yàn)閧an}為正項數(shù)列，所以d>0，所以d＝1，所以an＝n(n∈N*).考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和對應(yīng)練習(xí)3

已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，S3＝a3＋6.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a1＝2，S3＝a3＋6，得a1(1＋q＋q2)＝6＋a1q2，解得q＝2，所以an＝2n(n∈N*).考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和(2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.解由(1)可得bn＝log2an＝n，所以anbn＝n·2n，Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，所以－Tn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和A4.(2021·全國甲卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若S2＝4，S4＝6，則S6＝(

) A.7 B.8 C.9 D.10解析法一因?yàn)镾2＝4，S4＝6，且易知公比q≠±1，所以由等比數(shù)列的前n項和公式，得考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和法二易知S2，S4－S2，S6－S4構(gòu)成等比數(shù)列，由等比中項得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.故選A.考點(diǎn)突破3考點(diǎn)4、數(shù)列求和C解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a3)(1＋q)＝90，又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝30