2021-2022學(xué)年河北省張家口市洗馬林中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年河北省張家口市洗馬林中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且則實數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略2.若集合，則是

A．{1，2，3}

B.{1，2}

C.{4，5}

D.{1，2，3，4，5}參考答案：B解析：解不等式得∵∴,選B。3.設(shè)、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（

）A.

B.

C.

D.且參考答案：C4.設(shè)函數(shù)（

）A．0

B．1

C．

D．5參考答案：C5.四面體A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，則四面體A﹣BCD外接球的表面積為（）A．50π B．100π C．200π D．300π參考答案：C【考點(diǎn)】LE：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．【分析】由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補(bǔ)上一個以10，2，2為三邊的三角形作為底面，且以分別為x，y，z，長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，由此能求出球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積．【解答】解：由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補(bǔ)上一個以10，2，2為三邊的三角形作為底面，且以分別為x，y，z，長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，設(shè)球半徑為R，則有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面積為S=4πR2=200π．故選C．6.已知且圖象如右圖所示，則的圖象只可能是（

）參考答案：C略7.函數(shù)在區(qū)間上恒為正值，則實數(shù)的取值范圍

A．

B．

C．

D．參考答案：答案:B8.（5分）若函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=x2﹣4x+3，則函數(shù)f（x﹣1）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．（2，4）B．（0，2）C．（2，3）D．（0，1）參考答案：A【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】：計算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：先確定f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，再利用圖象的變換，可得f（x﹣1）的單調(diào)遞減區(qū)間．解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=x2﹣4x+3，由f′（x）＜0，可得x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）＜0，得1＜x＜3．∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3）．又函數(shù)f（x﹣1）的圖象是函數(shù)f（x）的圖象向右平移1個單位得到的，∴函數(shù)f（x﹣1）的單調(diào)遞減區(qū)間為（2，4）．故選A．【點(diǎn)評】：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查圖象的平移變化，考查分析問題與轉(zhuǎn)化解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．9.的展開式中x3的系數(shù)為10，則實數(shù)a為

A．-2

B．-1

C．

1

D．

2參考答案：A10.設(shè)，若將函數(shù)的圖像向左平移個單位后所得圖像與原圖像重合，則的值不可能為（

）A．4

B．6

C．8

D．12參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（文）某中學(xué)開學(xué)后從高一年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取80名學(xué)生進(jìn)行家庭情況調(diào)查，經(jīng)過一段時間后再從這個年級隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行學(xué)情調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有20名同學(xué)上次被抽到過，估計這個學(xué)校高一年級的學(xué)生人數(shù)為

．參考答案：40012.已知有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時，n=

．參考答案：19【考點(diǎn)】8I：數(shù)列與函數(shù)的綜合．【分析】要求Sn取得最小正值時n的值，關(guān)鍵是要找出什么時候an小于或等于0，而an+1大于0，由，我們不難得到a11＜0＜a10，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，我們易求出當(dāng)Sn取得最小正值時，n的值．【解答】解：∵Sn有最大值，∴d＜0則a10＞a11，又，∴a11＜0＜a10∴a10+a11＜0，S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，S19=19a10＞0又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12∴S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又∵S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0∴S19為最小正值故答案為：19【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，一般的{an}為等差數(shù)列，若它的前n項和Sn有最小值，則數(shù)列的公差d小于0；{an}為等差數(shù)列，若它的前n項和Sn有最大值，則數(shù)列的公差d大于0．13.在三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為，，，則三棱錐A﹣BCD的外接球的體積為

．參考答案：π考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：利用三棱錐側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補(bǔ)成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的對角線就是球的直徑，求出長方體的三度，從而求出對角線長，即可求解外接球的體積．解答： 解：三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補(bǔ)成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的對角線就是球的直徑，設(shè)長方體的三度為a，b，c，則由題意得：ab=，ac=，bc=，解得：a=，b=，c=1，所以球的直徑為：=所以球的半徑為，所以三棱錐A﹣BCD的外接球的體積為=π故答案為：π點(diǎn)評：本題考查幾何體的外接球的體積，三棱錐轉(zhuǎn)化為長方體，兩者的外接球是同一個，以及長方體的對角線就是球的直徑是解題的關(guān)鍵所在．14.正四棱錐的5個頂點(diǎn)都在球的表面上，過球心的一個截面如圖，棱錐的底面邊長為1，則球O的表面積為

參考答案：15.已知角α的終邊過點(diǎn)（﹣2，3），則sin2α=．參考答案：【考點(diǎn)】二倍角的正弦；任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)定義求出sinα，和cosα的值，利用二倍角公式可得sin2α的值．【解答】解：角α的終邊過點(diǎn)（﹣2，3），根據(jù)三角函數(shù)的定義可知：sinα=，cosα=，則sin2α=2sinαcosα==，故答案為：．16.已知，則 .參考答案：或

略17.函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中則的最小值為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）已知橢圓的離心率，橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為,左、右焦點(diǎn)分別為,原點(diǎn)到直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是橢圓上異于的任一點(diǎn),直線分別交軸于點(diǎn),若直線與過點(diǎn)的圓相切，切點(diǎn)為．證明：線段的長為定值,并求出該定值．參考答案：19.等比數(shù)列中，已知

（I）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）若分別為等差數(shù)列的第3項和第5項，試求數(shù)列的通項公式及前項和。參考答案：解析：（I）設(shè)的公比為

由已知得，解得

（Ⅱ）由（I）得，，則，

設(shè)的公差為，則有解得

從而

所以數(shù)列的前項和20.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前n項和為，且．

（1）求，；

（2）設(shè)，求數(shù)列的通項公式．

參考答案：解答：（1）由已知，即，∴，……………2分

又，即，∴；

……5分

（2）當(dāng)時，，

即，易證數(shù)列各項不為零（注：可不證），

故有對恒成立，∴是首項為，公比為的等比數(shù)列，

∴，

……10分

∴．

……12分略21.已知函數(shù)f（x）=（x2﹣a）ex，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在區(qū)間（1，2）上存在不相等的實數(shù)m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有兩個不同的極值點(diǎn)x1，x2，求證：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）將a=0代入函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為求使函數(shù)f（x）=ex（x2﹣a）在（1，2）上不為單調(diào)函數(shù)的a的取值范圍，通過討論x的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出a的范圍；（Ⅲ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到函數(shù)的極值點(diǎn)，從而證明出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，f（x）=x2ex，f′（x）=ex（x2+2x），由ex（2x2+2x）=0，解得：x=0，x=﹣2，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣2）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（﹣2，0）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，﹣2），（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（﹣2，0）；（Ⅱ）依題意即求使函數(shù)f（x）=ex（x2﹣a）在（1，2）上不為單調(diào)函數(shù)的a的取值范圍，而f′（x）=ex（x2+2x﹣a），設(shè)g（x）=x2+2x﹣a，則g（1）=3﹣a，g（2）=8﹣a，因為g（x）在（1，2）上為增函數(shù)．當(dāng)，即當(dāng)3＜a＜8時，函數(shù)g（x）在（1，2）上有且只有一個零點(diǎn)，設(shè)為x0，當(dāng)x∈（1，x0）時，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)x∈（x0，2）時，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，滿足在（1，2）上不為單調(diào)函數(shù)．當(dāng)a≤3時，g（1）≥0，g（2）≥0，所以在（1，2）上g（x）＞0成立（因g（x）在（1，2）上為增函數(shù)），所以在（1，2）上f′（x）＞0成立，即f（x）在（1，2）上為增函數(shù)，不合題意．同理a≥8時，可判斷f（x）在（1，2）為減函數(shù)，不合題意．綜上：3＜a＜8．（Ⅲ）f′（x）=ex（x2+2x﹣a）．因為函數(shù)f（x）有兩個不同的零點(diǎn)，即f′（x）有兩個不同的零點(diǎn)，即方程x2+2x﹣a=0的判別式△=4+4a＞0，解得：a＞﹣1，由x2+2x﹣a=0，解得x1=﹣1﹣，x2=﹣1+．此時x1+x2=﹣2，x1?x2=﹣a，隨著x變化，f（x）和f′（x）的變化情況如下：x（﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）遞增極大值遞減極小值遞增所以x1是f（x）的極大值點(diǎn)，x2是f（x）的極小值點(diǎn)，所以f（x1）是極大值，f（x2）是極小值，∴f（x1）f（x2）=（﹣a）?（﹣a）==e﹣2[a2﹣a（4+2a）+a2]=﹣4ae﹣2，因為a＞﹣1，所以﹣4ae﹣2＜4e﹣2，所以f（x1）f（x2）＜4e﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，熟練掌握基礎(chǔ)知識并對其靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，本題是一道難題．22.已知拋物線C：=2px經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）．過點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，，，求證：為定值．參考答案：(Ⅰ)取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(Ⅱ)證明過程見解析分析：（Ⅰ）先確定p,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據(jù)PA，PB與y軸相交，舍去k=3，（Ⅱ）先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得，．再由，得，．利用直線PA，PB的方程分別得點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)，代入化簡可得結(jié)論.詳解：解：（Ⅰ）因為拋物線y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．由得．依題意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB與y軸相交，故直