數(shù)控技術(shù)插補(bǔ)

數(shù)控技術(shù)插補(bǔ)第一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

在插補(bǔ)過程中，計(jì)算機(jī)應(yīng)在規(guī)定的插補(bǔ)時(shí)間Δt內(nèi)給出各坐標(biāo)方向的增ΔXi﹑ΔZi，因此實(shí)際的刀具位置為：第二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

由于給定的進(jìn)給速度F大小不同及直線的斜率不同，因此ΔXi﹑ΔZi值隨之變化。由圖可知：fi=FΔt。由于進(jìn)給速度F的單位為mm/min，為使fi單位為mm/ms，則：

又：因此：第三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三3.4.2擴(kuò)展DDA法圓弧插補(bǔ)

將DDA的切向逼近改變?yōu)楦罹€逼近。具體還是計(jì)算一個(gè)插補(bǔ)周期Δt內(nèi)，輪廓步長(zhǎng)L的坐標(biāo)分量?Xi和?Yi由右圖經(jīng)過推導(dǎo)可得：其中:新加工點(diǎn)Ai’

的坐標(biāo)位置

特點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單，速度快，精度高。BAi’CXYMHQOAiAi-1第四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三3.5刀具半徑補(bǔ)償原理第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

在輪廓加工過程中由于刀具的磨損或因換刀引起的刀具半徑變化，或在粗加工和半精加工時(shí)，還要預(yù)留加工量，故刀具中心的軌跡并不是零件的實(shí)際輪廓。第二章介紹了刀具半徑補(bǔ)償功能，如圖所示，根據(jù)ISO標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)?shù)毒咧行能壽E在編程軌跡前進(jìn)方向的右邊是，稱為右刀補(bǔ)，用G42表示，反之為左刀補(bǔ)，用G41表示。刀具刀具中心軌跡編程軌跡第五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

刀具半徑補(bǔ)償功能的作用要求數(shù)控系統(tǒng)根據(jù)工件輪廓程序和刀具中心偏移量，自動(dòng)計(jì)算出刀具中心軌跡。所以刀具半徑不是在CNC系統(tǒng)內(nèi)部由計(jì)算機(jī)自動(dòng)完成的，編程人員只按零件圖紙的輪廓編制加工程序。在實(shí)際輪廓加工過程中，刀具半徑補(bǔ)償?shù)膱?zhí)行過程分為：刀補(bǔ)的建立刀補(bǔ)的進(jìn)行和刀補(bǔ)撤銷三個(gè)步驟。

第六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)建立刀補(bǔ)

執(zhí)行刀補(bǔ)

取消刀補(bǔ)

刀具軌跡中心編程軌跡刀補(bǔ)進(jìn)行刀補(bǔ)建立刀補(bǔ)撤銷起始點(diǎn)

本節(jié)介紹的主要內(nèi)容：刀具半徑補(bǔ)償建立取消刀具中心點(diǎn)與刀具輪廓起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置關(guān)系；工件輪廓拐角時(shí)，刀具中心拐點(diǎn)與工件輪廓拐點(diǎn)的位置關(guān)系。第七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三3.5.1直線兩端點(diǎn)處刀具中心的位置

如圖所示，刀具半徑為r，左刀補(bǔ)G41刀具中心軌跡ab直線；右刀補(bǔ)G42刀具中心軌跡cd直線。由圖中的幾何關(guān)系可知：a點(diǎn):Xa=XA-Ag

Ya=YA+ga

b點(diǎn):Xb=XB-Be

Yb=YB+eb

c點(diǎn):Xc=XA+Ah

Yc=YA-hc

d點(diǎn):Xd=XB+Bf

Yd=YB-fd

由圖可知：ΔagA,ΔbeB,ΔdfB都與ΔAMB相似；AM=XB-XA,MB=YB-YA第八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)a點(diǎn):Xa=XA-rsinαYa=YA+rcosαb點(diǎn):Xb=XB-rsinαYb=YB+rcosαc點(diǎn):Xc=XA+rsinαYc=YA-rcosαd點(diǎn):Xd=XB+rsinαYd=YB-rcosα因此:G41G42

若把c點(diǎn)中的r值的符號(hào)改為負(fù)號(hào)，則和式a點(diǎn)中完全一樣，因此再實(shí)際應(yīng)用中，只用式前兩式計(jì)算直線端點(diǎn)處的刀具中心位置，在G41方式下r取正值，在G42方式下r取負(fù)值。

第九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三3.5.2圓弧兩端點(diǎn)處刀具中心的位置如圖所示圓弧AB是加工輪廓線，半徑為R，加工方向是從A到B,刀具半徑為r，G41方式時(shí)，刀具中心軌跡是ab,G42方式時(shí)，刀具中心軌跡是cd.由圖可知：第十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)順圓G41G42

r值在順圓弧G41方式和逆圓弧G42方式下r取正值，在順圓弧G42方式和逆圓弧G41方式下r取負(fù)值。

第十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)工件輪廓有拐點(diǎn)時(shí)，拐點(diǎn)可是直線與直線、直線與圓弧、圓弧與圓弧的交點(diǎn)。圖中AB,AD為刀具半徑矢量。對(duì)應(yīng)于編程軌跡OA,AF，刀具中心軌跡JB與DK交點(diǎn)為C.

直線拐角時(shí)拐角的大小等于兩直線矢量的夾角；直線與圓弧連接時(shí)拐角的大小是直線矢量與拐點(diǎn)處圓弧切線矢量的夾角；圓弧與圓弧連接時(shí)是兩圓弧在交點(diǎn)處切線矢量的夾角。由于兩矢量夾角不同以及G41,G42偏置方向不同，使刀具中心軌跡的轉(zhuǎn)接方式有所不同，共有三種轉(zhuǎn)接方式：縮短型，伸長(zhǎng)型和插入型。

3.5.3轉(zhuǎn)接矢量計(jì)算第十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)伸長(zhǎng)型（如圖所示）在G42方式下，兩矢量夾角α:

0o<α<90o

刀具中心越過B點(diǎn)，在C點(diǎn)轉(zhuǎn)折，比OA多走了BC的距離，比AF多走了CD的距離→亦稱伸長(zhǎng)型。在G41方式下，兩矢量夾角α:

270o<α<360oG41G42第十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三縮短型（如圖所示）第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

編程軌跡OA、AF，刀具中心軌跡JB與DK將在C點(diǎn)相交。這樣，相對(duì)于OA和AF而言，縮短一個(gè)CB與CD的長(zhǎng)度。在G41方式下，兩矢量夾角α

:

0o<α

<180o在G42方式下，兩矢量夾角α

:

180o<α

<360oG41G42第十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三插入型(如圖所示)第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在G41方式下，兩矢量夾角α

:

180o<α

<270o在G42方式下，兩矢量夾角α

:

90o<α

<180o刀具中心在C點(diǎn)和C′點(diǎn)兩次轉(zhuǎn)折，CC′是插入直線必須保證BC=DC′＝r

G41G42第十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三

3.5.4輪廓拐角處刀具中心的圓弧連接

上述刀具中心轉(zhuǎn)接方式都是折線另一種轉(zhuǎn)接方式是圓弧，如圖所示。利用（3-17）和（3-19）式計(jì)算出刀具中心在直線或圓弧端點(diǎn)的位置，在兩矢量的起點(diǎn)和終點(diǎn)連接處，以輪廓拐點(diǎn)為中心，以刀具半徑為半徑，插入圓弧。作為刀具中心在拐角處的運(yùn)動(dòng)軌跡，由于圓弧連接不需要作轉(zhuǎn)接交點(diǎn)的復(fù)雜計(jì)算，因而簡(jiǎn)單方便，但因刀具圓周在作圓弧拐角時(shí)與輪廓拐角相接觸，因而不能得到完好的尖角。

第十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第三章輪廓加工的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

對(duì)于縮短型，插入的圓弧將使刀具產(chǎn)生過切現(xiàn)象，這是圓弧過度的弊端。如圖3-28所示。兩矢量連接時(shí)，刀具中心相對(duì)前一矢量的終點(diǎn)和后以矢量起點(diǎn)位置都是由式3-17或式3-19計(jì)算得出，插入的圓弧又是刀具中心移動(dòng)軌跡，因而對(duì)于縮短型必然產(chǎn)生過切現(xiàn)象。利用圓弧連接件編程時(shí)，應(yīng)把編程軌跡改成有過渡圓弧的形式，如圖3-29所示，過渡圓弧要大于或等于刀具半徑，并且與原來的工件輪廓線相切。第十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三第四章數(shù)控加工與編程的

數(shù)值計(jì)算方法

數(shù)控加工與數(shù)控編程實(shí)質(zhì)上是曲線、曲面幾何學(xué)在機(jī)械制造業(yè)的應(yīng)用。數(shù)控加工中，有簡(jiǎn)單曲線和曲面（如直線、圓弧及球面等）數(shù)學(xué)描述及處理；還有不能用二次方程描述的、形狀復(fù)雜的曲線或曲面→自由曲線或自由曲面。第十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三

自由曲面是工程中最復(fù)雜而又經(jīng)常遇到的曲面，在航空、造船、汽車、能源、國防等部門中許多零件的外形如各種葉片曲面、各種螺旋槳葉曲面、許多變距螺旋面以及模具工作面等均為空間自由曲面，其形狀復(fù)雜、材料難以加工、精度要求高，在整個(gè)部件生產(chǎn)過程中其加工質(zhì)量和加工效率的高低舉足輕重。第十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三1963年美國波音公司佛格森將曲線曲面表示為參數(shù)矢量函數(shù)式；1964年美國麻省理工學(xué)院（MIT）孔斯用封閉曲線的四條邊界定義一塊曲面；同一年，舍恩伯格提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式；1971年，法國雷諾（Renault）汽車公司的貝齊爾（Bezier）提出用控制多邊形定義曲線和曲面的方法；1972年，德布爾（deBoor）給出B樣條標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算方法；1974年,美國通用汽車公司戈登（Gorden)將B樣條理論用于形狀描述，提出B樣條曲線、曲面；1975年，美國人佛斯普里爾在博士論文中提出有理B樣條方法；20世紀(jì)80年代，美國人皮格爾等將有理B樣條發(fā)展成為非均勻有理B樣條（NUBRS)方法。用NUBRS方法可統(tǒng)一表示初等解析曲線和曲面，成為當(dāng)今自由曲線和曲面最廣為流行的技術(shù)。第二十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.1基點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)計(jì)算

機(jī)械零件由幾種不同幾何元素構(gòu)成的，如，直線、圓弧、二次曲線等?；c(diǎn)：各個(gè)幾何元素之間的連接點(diǎn)，如：直線與直線的交點(diǎn)，直線與圓弧的交點(diǎn)或切點(diǎn)，圓弧與圓弧的交（切）點(diǎn)，圓弧與一般二次曲線的交（切）點(diǎn)等。對(duì)于直線和圓弧組成的平面零件，由于數(shù)控系統(tǒng)都有直線和圓弧插補(bǔ)功能，數(shù)值計(jì)算較簡(jiǎn)單，主要是確定基點(diǎn)坐標(biāo)、圓弧的中心坐標(biāo)。有了基點(diǎn)的坐標(biāo)，就可編寫出這些直線和圓弧的加工程序。第二十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.1.1節(jié)點(diǎn)的計(jì)算

對(duì)于自由曲線，一般的數(shù)控系統(tǒng)不具備自由曲線的插補(bǔ)功能，做法是：即將這類輪廓曲線按編程允差分割成許多小段，用直線或圓弧來代替(即逼近)這些曲線小段。節(jié)點(diǎn)：逼近直線或圓弧小段與輪廓曲線的交點(diǎn)或切點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。

數(shù)值計(jì)算的任務(wù)就是求算節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。

第二十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三

在數(shù)控加工方法中所說的空間立體曲面的行切法加工，實(shí)際上是用許多平行的平面曲線來逼近空間曲面，這時(shí)需求出所有的平面曲線，面且還要計(jì)算各平面曲線上的基點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)，然后再編寫各節(jié)點(diǎn)、基點(diǎn)之間的直線或圓弧加工程序。

第二十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.1.2非圓曲線的節(jié)點(diǎn)計(jì)算非圓曲線：除直線、與圓外，可用y=f(x)表示的平面曲線。節(jié)點(diǎn)的數(shù)目及其坐標(biāo)值取決于曲線的特性，逼近線段的形狀及允許的迫近誤差δ允。根據(jù)這三方面的條件、可用數(shù)學(xué)方法求出各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。是用直線還是圓弧作為逼近線段，則應(yīng)考慮在保證逼近精度的前提下，使節(jié)點(diǎn)數(shù)目少，計(jì)算簡(jiǎn)單。

1）曲率半徑大的曲線用直線逼近較為有利；

2）曲線某段接近圓弧，用圓弧逼近有利；常用的逼近線段與節(jié)點(diǎn)計(jì)算方法有以下幾種。第二十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三1.等間距直線逼近法方法：使每一個(gè)程序段中的某一個(gè)坐標(biāo)的增量相等。直角坐標(biāo)系：令x坐標(biāo)的增量相等；極坐標(biāo)系：令轉(zhuǎn)角坐標(biāo)的增量相等，也可令向徑長(zhǎng)度的增量相等。圖中為加工一個(gè)凸輪時(shí)，x坐標(biāo)按等間隔分段時(shí)節(jié)點(diǎn)的分布情況。間距的大小一般根據(jù)零件加工精度憑經(jīng)驗(yàn)選取。第二十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三從上圖看出，不一定每一段都要驗(yàn)算。只需驗(yàn)算y坐標(biāo)增量值最大的線段(如小A1A2段)；曲率比較大的線段(如A5A6段)；有拐點(diǎn)的線段(如A6A7段)。如果這些線段的逼近誤差小于允許值，其他線段一定能滿足要求。下圖中A1A2是要驗(yàn)算的線段，曲線的方程距直線A1A2為δ允的直線方程式中：A=y1-y2,B=x2-x1,C=y1(x1-x2)－x1(y1-y2)第二十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三2.等弦長(zhǎng)直線逼近法方法：使每個(gè)程序段的直線段長(zhǎng)度相等。由于零件輪廓曲線各處的曲率不同，因此，各段的逼近誤差不相等，必須使最大誤差仍小于δ允。一般說來，零件輪廓曲線的曲率半徑最小的地方，逼近誤差最大。先確定曲率半徑最小的位置，然后在該處按照逼近誤差小于等于δ允的條件求出逼近直線段的長(zhǎng)度，用此弦長(zhǎng)分割零件的輪廓曲線，即可求出各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。

第二十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三3.等誤差直線逼近法該法是使每個(gè)直線段的逼近誤差相等，并小于或等于δ允。所以上面兩種方法都合理，程序段數(shù)更少。大型、復(fù)雜的零件輪廓采用這種方法較合理。第二十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.圓弧逼近法

如果數(shù)控機(jī)床有圓弧插補(bǔ)功能，可用圓弧去逼近工件的輪廓曲線。

但需要求每段圓弧的圓心、起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)值及圓弧半徑。

節(jié)點(diǎn)的計(jì)算依據(jù)：圓弧段與工件輪廓曲線間的誤差≤δ允。第二十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.2三次參數(shù)樣條曲線某些零件，如機(jī)翼外形、內(nèi)燃機(jī)進(jìn)排氣門的凸輪曲線等，對(duì)外形的光順性要求較高，曲線的光順性就意味著曲線的導(dǎo)數(shù)要連續(xù)。如果要求曲線的一階和二階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的，這可用三次樣條曲線。樣條：最初是在造船業(yè)中放樣用的一根木料或塑料做成的彈性長(zhǎng)條，放樣員利用它通過型值點(diǎn)畫出光滑的曲線，樣條曲線便由此而得名。下面介紹三次參數(shù)樣條曲線。第三十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三4.2.1.三次樣條曲線定義：在區(qū)間[a，b]上給定n個(gè)點(diǎn)：x1,x2,…xn，得到a=x1＜x2

＜…＜xn=b,稱在區(qū)間[a，b]上滿足下列條件的函數(shù)S(x）為三次樣條函數(shù)：1）在每一個(gè)子區(qū)間[xi,xi+1](i=1,2…n-1)上，S(x)都是三次函數(shù)。2）在整個(gè)區(qū)間[a,b]上，S(x)連續(xù)，且具有連續(xù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。則稱S(x)為[a，b]上，以xi(i=1,2,…n)為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)。第三十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三1.三次參數(shù)樣條曲線方程曲線、曲面有顯式、隱式和參數(shù)表示，從計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算幾何的角度看，參數(shù)表示較好。曲線上每一點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)的參數(shù)是：

x＝x(t)y＝y(tǒng)(t)曲線上一點(diǎn)的參數(shù)表達(dá)式為：

p(t)＝[x(t),y(t)]工程上常用以弦長(zhǎng)t為參數(shù)的三次樣條