數(shù)學(xué)模型與實(shí)驗

數(shù)學(xué)模型與實(shí)驗第一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三函數(shù)的數(shù)值表達(dá)初等函數(shù)的數(shù)值直接表示Sqrtsincoslog>>sin(2)ans=0.9093>>log(3)ans=1.0986第二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三向量的生成1.直接輸入向量，格式要求是：向量元素需要用“[]”括起來，元素之間可以用空格、逗號或分號分隔；>>a=[1,2,3]

a=123>>sin(a)ans=0.84150.90930.1411第三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三2.利用冒號表達(dá)式生成向量冒號表達(dá)式的基本形式為x=x0：step：xnx0表示向量的首元素值，xn表示向量的尾元素數(shù)值限，step表示從第二個元素開始，元素數(shù)值大小與前一個元素之大小的差值。>>a=1:2:12

a=1357911第四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三向量的基本運(yùn)算1.加（減）與數(shù)加（減）>>a-1%這里的a即上面生成的aans=02468102.數(shù)乘

>>a*2ans=2610141822第五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三3.點(diǎn)積

dot（a，b）返回向量a和b的數(shù)量點(diǎn)積。a和b必須同維。>>a=[123]>>b=[345]>>dot(a,b)ans=26第六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三4.叉積cross（a，b）返回向量a和b的叉積向量。a，b必須為三維向量。>>a=[123]>>b=[345]>>cross(a,b)ans=-24-2第七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三矩陣的生成1.直接輸入小矩陣輸入矩陣時要以”[]“為標(biāo)識，同行元素之間可用空格或”，“分隔，行與行之間要用”；“或回車符分隔，若不想看到中間結(jié)果，可以用”；“結(jié)束。>>a=[123;1,11;4,56]a=123111456>>第八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三2.直接導(dǎo)入文件第九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三第十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三矩陣的運(yùn)算矩陣的加和減>>a=[123;1,11;4,56];>>b=[345;121;231];>>c=a+bc=468232687第十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三矩陣的乘法>>e=[b,[555]']e=345512152315>>f=a*ef=111710306971529443175第十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三矩陣的逆運(yùn)算【例】求下面A矩陣的逆。解：>>a=[21-3-1；3107；-124-2；10-15]；第十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三解：>>a=[21-3-1；3107；-124-2；10-15]；>>inv(a)ans=-0.04710.5882-0.2706-0.94120.3882-0.35290.48240.7647-0.22350.2941-0.0353-0.4706-0.0353-0.05880.04710.2941

第十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三2.矩陣的行列式運(yùn)算

>>a1=det(a)a1=-853.秩函數(shù)>>rank(a)ans=4第十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三特征值函數(shù)>>[x,y]=eig(a)%x為特征向量矩陣，y為特征值矩陣x=-0.58430.9223-0.1387-0.2449i-0.1387+0.2449i0.71600.0904-0.7828-0.7828-0.3806-0.0066-0.0803+0.3491i-0.0803-0.3491i0.0333-0.3756-0.4212-0.0489i-0.4212+0.0489i

y=-1.122800002.526600005.2981+1.3755i00005.2981-1.3755i第十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三幾種常用的工具陣zeros（M,N）生成M*N階的全0陣zeros(size(A))生成與A同階的全0陣eye（M,N）生成M*N階的單位陣ones（M,N）生成M*N階的全1陣rand（M,N）生成M*N階的隨機(jī)矩陣第十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三數(shù)組的運(yùn)算數(shù)組的加減法與矩陣的加減法運(yùn)算完全相同，符號統(tǒng)一“+”，“-”>>a=[21-3-1;3107;-124-2;10-15];>>a+1

ans=32-204218035-12106第十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三數(shù)組的乘除法是指兩同維數(shù)組間對應(yīng)元素之間的乘除法，它的運(yùn)算符為“.*”和“./”或“.\”>>a=[123;234;345];>>b=[111;222;333];>>a./bans=1.00002.00003.00001.00001.50002.00001.00001.33331.6667第十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三數(shù)組的冪運(yùn)算符為“.^”,他表示每個數(shù)組元素的冪運(yùn)算，同矩陣的冪運(yùn)算符不同。>>a^3>>a.^3ans=ans=1321922521827192279366827642523664802764125第二十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三多項式的表示方法對于多項式用以下的行向量表示這樣就把多項式問題轉(zhuǎn)化為向量問題第二十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三【例如】輸入多項式>>p=[1-56-33];>>poly2sym(p)ans=x^3-5*x^2+6*x–33%其中poly2sym是符號工具箱中的函數(shù)，可將多項式向量表示為符號多項式的形式第二十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三多項式的擬合polyfit(X,Y，n)其中X、Y為擬合數(shù)據(jù)，n為擬合多項式的階數(shù)【例】用5階多項式對[0,2π]上的正弦函數(shù)進(jìn)行最小二乘擬合。第二十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三>>x1=0:pi/30:pi*2;>>y1=sin(x1);>>a=polyfit(x1,y1,5);>>y2=a(1)*x1.^5+a(2)*x1.^4+a(3)*x1.^3+a(4)*x1.^2+a(5)*x1+a(6);>>plot(x1,y1,'b-',x1,y2,'r*')>>legend('原曲線','擬合曲線')>>axis([0,7,-1.2,4])第二十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三第二十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三函數(shù)擬合觀察數(shù)據(jù)（x，y）；對于線性擬合模型y=ax+b：1.利用A=polyfit(x,y,1)得到系數(shù)向量其中A(1)=a，A(2)=b所得線性模型為y=A(1)*x+A(2)第二十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三2.解線性方程組對于線性擬合模型y=ax+b，等價于

令A(yù)=(a，b),則那么第二十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三MatLab圖形繪制功能基本繪圖函數(shù)命令含義plot建立向量或矩陣各隊隊向量的圖形loglogx、y軸都取對數(shù)標(biāo)度建立圖形semilogxx軸用于對數(shù)標(biāo)度，y軸線性標(biāo)度繪制圖形semilogyy軸用于對數(shù)標(biāo)度，x軸線性標(biāo)度繪制圖形title給圖形加標(biāo)題xlabel給x軸加標(biāo)記ylabel給y軸加標(biāo)記text在圖形指定的位置上加文本字符串gtext在鼠標(biāo)的位置上加文本字符串grid打開網(wǎng)格線第二十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三x=0:0.001:10;%0到10的1000個點(diǎn)的x座標(biāo)

y=sin(x);%對應(yīng)的y座標(biāo)plot(x,y);%繪圖（可以設(shè)定顯示范圍）第二十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三畫橢圓

a=0:pi/50:2*pi; X=cos(a)*3;

%參數(shù)方程Y=sin(a)*2;plot(X,Y);xlabel('x'),ylabel('y');title('橢圓')第三十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三線條和顏色控制符:.點(diǎn)y黃。小圓圈m棕色xx標(biāo)記c青色+加號r紅色-實(shí)線g綠色*星號b藍(lán)色：虛線w白色-.點(diǎn)劃線h黑色第三十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三條形圖當(dāng)資料點(diǎn)數(shù)量不多時，長條圖是很適合的表示方式：closeall;%關(guān)閉所有的圖形視窗x=1:10;y=rand(size(x));bar(x,y)第三十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三誤差圖x=linspace(0,2*pi,30);y=sin(x);e=std(y)*ones(size(x));%std:標(biāo)準(zhǔn)差errorbar(x,y,e)第三十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三極坐標(biāo)圖形theta=linspace(0,2*pi);r=cos(4*theta);polar(theta,r);第三十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三x=linspace(0,10,50);y=sin(x).*exp(-x/3);stairs(x,y);%階梯圖x=linspace(0,10,50);y=sin(x).*exp(-x/3);stem(x,y);%針狀圖第三十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三符號表達(dá)式畫圖在許多的場合，將表達(dá)式可視化是有利的。MATLAB提供了函數(shù)ezplot來完成該任務(wù)。>>y='16*x^2+64*x+96'y= 16*x^2+64*x+96>>ezplot(y)第三十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三三維曲線和曲面

1．空間曲線繪制函數(shù)plot3()格式一：plot3(x,y,z)功能：若x、y、z為相同長度的向量，則根據(jù)向量x、y、z繪制空間三維曲線。如果x、y、z為同階矩陣，則繪制對應(yīng)列的多條曲線。格式二：plot3(x,y,z,’s’)功能：按字符串s設(shè)置的線型、顏色、標(biāo)記符號繪制三維空間曲線。字符串s的設(shè)置與plot命令的設(shè)置相同。

2．三維網(wǎng)線圖函數(shù)mesh、meshc和meshzMATAL提供的函數(shù)mesh用來繪制三維網(wǎng)線圖。格式一：mesh(X,Y,Z)

功能：根據(jù)矩陣X、Y和Z繪制彩色的空間三維網(wǎng)線圖。X、Y和Z中對應(yīng)的元素為三維 空間上的點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)之間用線連接。其中網(wǎng)線的顏色隨著網(wǎng)點(diǎn)高度的改變而改 變。格式二：mesh(x,y,Z)

功能：n維向量x、m維向量y和m×n矩陣Z繪制網(wǎng)線圖，節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x(j),y(i),Z(i,j))，網(wǎng)線的顏色隨著網(wǎng)點(diǎn)高度的改變而改變。第三十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三三維曲面圖函數(shù)surf及surfc

格式一：surf(X,Y,Z,C)功能：繪制由四個矩陣所指定的帶色參數(shù)的網(wǎng)狀表面圖。視角是由view所指定。軸的刻度決定于X，Y及Z的范圍，或當(dāng)前對軸的設(shè)定；顏色范圍由C指定。格式二：surf(X，Y，Z)功能：將C設(shè)為與Z相等，則顏色與網(wǎng)的高度成正比。第三十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三三維螺旋線t=0:pi/50:10*pi;plot3(sin(t),cos(t),t)grid第三十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三空間中的曲線t=linspace(0,20*pi,501);plot3(t.*sin(t),t.*cos(t),t);%注意用點(diǎn)乘.*t=linspace(0,10*pi,501);plot3(t.*sin(t),t.*cos(t),t,t.*sin(t),t.*cos(t),-t);第四十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三立體網(wǎng)狀圖x=linspace(-2,2,25);%在x軸上取25點(diǎn)y=linspace(-2,2,25);%在y軸上取25點(diǎn)[xx,yy]=meshgrid(x,y);%xx和yy都是21x21的矩陣zz=xx.*exp(-xx.^2-yy.^2);%計算函數(shù)值，zz也是21x21的矩陣mesh(xx,yy,zz);%畫出立體網(wǎng)狀圖

第四十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三網(wǎng)狀圖填補(bǔ)x=linspace(-2,2,25);%在x軸上取25點(diǎn)y=linspace(-2,2,25);%在y軸上取25點(diǎn)[xx,yy]=meshgrid(x,y);%xx和yy都是21x21的矩陣zz=xx.*exp(-xx.^2-yy.^2);%計算函數(shù)值，zz也是21x21的 矩陣surf(xx,yy,zz);%畫出立體曲面圖第四十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三peaks函數(shù)peaks函數(shù)，可產(chǎn)生一個凹凸有致的曲面，包含了三個局部極大點(diǎn)及三個局部極小點(diǎn)，其方程式為：[x,y,z]=peaks;waterfall(x,y,z);第四十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三等高線圖meshc同時畫出網(wǎng)狀圖與等高線：[x,y,z]=peaks;meshc(x,y,z);surfc同時畫出曲面圖與等高線：[x,y,z]=peaks;surfc(x,y,z);第四十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三剔透玲瓏球[X0,Y0,Z0]=sphere(30);%產(chǎn)生單位球面的三維坐標(biāo)X=2*X0;Y=2*Y0;Z=2*Z0;%產(chǎn)生半徑為2的球面的三維坐標(biāo)surf(X0,Y0,Z0);%畫單位球面shadinginterp%采用插補(bǔ)明暗處理holdon;mesh(X,Y,Z);holdoff%畫外球面hiddenoff%產(chǎn)生透視效果axisoff%不顯示坐標(biāo)軸第四十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三彗星狀軌跡圖

【*例】簡單二維示例。（請指令窗中運(yùn)行以下指令）n=10;t=n*pi*(0:0.0005:1);x=sin(t);y=cos(t);plot(x,y,'g');holdon;comet(x,y,0.02);holdoff第四十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三衛(wèi)星返回地球的運(yùn)動軌線示意R0=1; %以地球半徑為一個單位a=12*R0;b=9*R0;T0=2*pi; %T0是軌道周期T=5*T0;dt=pi/100;t=[0:dt:T]';f=sqrt(a^2-b^2); %地球與另一焦點(diǎn)的距離th=12.5*pi/180; %衛(wèi)星軌道與x-y平面的傾角E=exp(-t/20); %軌道收縮率

x=E.*(a*cos(t)-f);y=E.*(b*cos(th)*sin(t));z=E.*(b*sin(th)*sin(t));plot3(x,y,z,'g') %畫全程軌線[X,Y,Z]=sphere(30);X=R0*X;Y=R0*Y;Z=R0*Z;%獲得單位球坐標(biāo)gridon,holdon,surf(X,Y,Z),shadinginterp %畫地球x1=-18*R0;x2=6*R0;y1=-12*R0;y2=12*R0;z1=-6*R0;z2=6*R0;axis([x1x2y1y2z1z2]) %確定坐標(biāo)范圍view([11737]),comet3(x,y,z,0.02),holdoff %設(shè)視角、畫運(yùn)動軌線

第四十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三求解線性方程組

MATLAB語句實(shí)現(xiàn)：

a=[2,3,-1；8,2,3；45,3,9]；

b=[2；4；23]；

x=inv(a)*b第四十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三求多項式方程的根roots(p)solve(p)例.求方程的所有根p=[1-49-10]r=roots(p)或s1=sym('x^3-4*x^2+9*x-10');solve(s1)第四十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三求方程組的根和超越方程解[x,y]=solve('x+y=1','x-11*y=5','x','y')求超越方程的根，其中p，r為常數(shù)ff=sym('p*sin(x)=r')solve(ff,'x')第五十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三求極限symsx;y1=(1+4*x)^(1/x);y2=(exp(x)-1)/x;limit(y1,x,0)limit(y2,x,0)第五十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三求導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)

symsx;f=3*x^3+5*x+1;diff(f,1)

symsxy;%對x偏導(dǎo)數(shù)

z=x^2*sin(2*y);B=diff(z,x)第五十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三求解不定積分symsxb;f=cos(b*x);f1=int(f,x)f1=1/b*sin(b*x)ezplot(f1)第五十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三求定積分多重積分

symsx;y=(x^2+sin(x))/(1+x^2);int(y,x,-1,1)

symsxy;int(int(x^2+y^2+1,y,x,x+1),x,0,1)第五十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三求微分方程通解和特解dsolve('Dy=1+y^2','x')dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-1/2)*y=0','y(pi/2)=2','Dy(pi/2)=-2/pi','x')第五十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三MATLAB語言編程介紹MATLAB中各種命令可以完成許多單一的任務(wù)，對于某些較為復(fù)雜的問題，僅靠現(xiàn)有的命令或函數(shù)來解決，往往是難以達(dá)到目的。為此，要運(yùn)用MATLAB編程語言編制程序，形成M-文件。程序是使計算機(jī)完成各項運(yùn)算的命令集，運(yùn)行一個編制好的程序，計算機(jī)會從第一條命令行開始，一行接一行地執(zhí)行相應(yīng)的命令，直到終止。程序一般包含：數(shù)據(jù)輸入，數(shù)據(jù)處理和結(jié)果輸出三部分，其中數(shù)據(jù)處理是核心。程序編寫調(diào)試完成后，需要存盤，形成永久性文件，可以隨時對它進(jìn)行調(diào)用或修改。文件名以字母開頭，但不能用專用變量名，如pi等。MATLAB中每一個命令都是一個M-文件。第五十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三MATLAB程序類型腳本文件函數(shù)文件functiony=mean(x)%MEANAverageormeanValue%Forvectors,Mean(x)isthemeanvalueofX%Formatrices,Mean(x)isarowvectorcontaining%themeanvalueofeachcolumn[m,n]=size(x)ifm==1m=n;endy=sum(x)/m;函數(shù)定義行H1行函數(shù)幫助文件函數(shù)體第五十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三M-文件中輸入、輸出命令

直接賦值輸入：提示對話輸入(input命令)x=2;x=input('請輸入?yún)?shù)x=');a=[1,2;3,4];a=input('請輸入矩陣a=');s='anystring!';s=input('Pleaseinputs=');直接輸出：格式控制輸出(fprintf命令)xfprintf('x=%.0f,y=%.5f\n',pi,pi);disp([a,b]);fprintf('x=%5g,y=%10.5g\n',N,pi);第五十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三M-文件中循環(huán)控制命令(for命令)格式：

fori=n1:(step):n2 commands;end作用：重復(fù)執(zhí)行命令集commands.第五十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三例2：求奇數(shù)和：s=1+3+5+…+(2k-1)

n=input('請輸入n='); s=0;fori=1:2:n s=s+i;fprintf('i=%.0f,s=%.0f\n',i,s);end例1：求和：s=1+2+…+nn=input('請輸入n='); s=0;fori=1:n s=s+i;fprintf('i=%.0f,s=%.0f\n',i,s);end第六十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三例3：求階乘：p=1×2×3×…×n=n!

n=input('請輸入n='); p=1;fori=1:n p=p*i;fprintf('i=%.0f,p=%.0f\n',i,p);end例4：求e：e=1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!n=input('請輸入n='); p=1;e=1;fori=1:n p=p*i;p1=1/p;e=e+p1;fprintf('i=%.0f,p=%.0f,e=%.8f\n',i,p,e);end第六十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三例5：求pi：pi/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……n=input('請輸入n='); pi=0;k=-1;fori=1:2:n k=(-1)*k;pi=pi+k*1/i;fprintf('i=%.0f,pi=%.8f\n',i,4*pi);end第六十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三M-文件中條件循環(huán)命令(while命令)格式：while(conditionistrue) commands;end作用：重復(fù)執(zhí)行命令集commands.第六十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三例6：求和：s=1+2+…+n<3000 s=0;k=1;whiles<3000 s=s+k;fprintf('k=%.0f,s=%.0f\n',k,s);k=k+1;end例7：求e：e=1+1+1/2!+1/3!+…(1/n!<1.0e-8) p=1;e=1;r=1;i=1;whiler>=1.0e-8 p=p*i;r=1/p;e=e+r;fprintf('i=%.0f,r=%.9f,e=%.9f\n',i,r,e);i=i+1;end第六十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三M-文件中選擇控制命令(if命令)單項選擇控制格式：if(conditionistrue) commands;end作用：若條件成立，則執(zhí)行命令集commands.否則，不執(zhí)行。第六十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三例8：求n個實(shí)數(shù)中最大的數(shù)M.a=input('請輸入數(shù)組a[n]=');[m,n]=size(a);M=a(1); fori=2:n ifM<a(i)M=a(i);endfprintf('M=%.5f,a(%.0f)=%.5f\n',M,i,a(i));end第六十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三M-文件中選擇控制命令(if命令)多項選擇控制格式：if(conditionistrue) commands;elseif(conditionistrue)commands;elsecommands;end作用：若條件成立，則執(zhí)行命令集commands.否則，不執(zhí)行。第六十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三例9：建立符號函數(shù)sign(x)x=input('x=');ifx>0sn=1;elseifx==0sn=0;elsesn=-1;endfprintf('x=%.5f,sn=%.0f\n',x,sn);第六十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三Matlab編程(續(xù))程序設(shè)計技術(shù)循環(huán)向量化計算模式目的:向量計算替代循環(huán)模式實(shí)例:i初始化ticticfort=0:0.01:100t=0.0:0.01:100

i=i+1;y(i)=sin(t)y=sin(t)endtoctoc耗時7.58耗時0.01第六十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期三Matlab編程(續(xù))程序設(shè)計技術(shù)(續(xù))陣列預(yù)分配空間目的:避免循環(huán)過程空間分配的耗時實(shí)例:y(k)=0.75y(k-1)-0.125y(k-2)+2u(k)

clearall,tic