2022年高考沖刺數(shù)學(xué)(理科)試題(北京卷)

2016年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選

出符合題目要求的一項.

1.（5分）（2016?北京）已知集合人=刈||x|V2},B={-1,0,1,2,3},則ADB=

（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2）

考點(diǎn)：集合的概念及其基本運(yùn)算

難度：中等

解析：?.?集合A={x||x|V2}={x|-2VxV2},

B={-1,0,1,2,3},

.,.AAB={-1,0,1）.

故選：C.

，2x-y<0

2.（5分）（2016?北京）若x,y滿足.肝743，則2x+y的最大值為（）

A.0B.3C.4D.5

考點(diǎn)：二元一次不等式（組）與簡單線性規(guī)劃

難度：中等

"2K-

解析：作出不等式組卜為43對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）.

設(shè)z=2x+y得y=-2x+z,

平移直線y=-2x+z,

由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時，直線y=-2x+z的截距最大，

此時z最大.

由儼一尸0,解得卜。即A（l,2）,

x+y=317=2

代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=lX2+2=4.

即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為4.

故選：C.

3.（5分）（2016?北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a值為1,則輸出

的k值為（）

（結(jié)束）

A.1B.2C.3D.4

考點(diǎn)：算法與程序框圖、基本算法語句

難度：中等

解析：輸入的a值為1,則b=l,

第一次執(zhí)行循環(huán)體后，a=-,不滿足退出循環(huán)的條件，k=l；

第二次執(zhí)行循環(huán)體后，a=-2,不滿足退出循環(huán)的條件，k=2；

第三次執(zhí)行循環(huán)體后，a=l,滿足退出循環(huán)的條件，

故輸出的k值為2,

故選：B

4.（5分）（2016?北京）設(shè)，是向量，則"||=||"是"|+|=|-|"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

考點(diǎn)：命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

難度：中等

解析：若"11=11"，則以，為鄰邊的平行四邊形是菱形；

若“1+1=1-1"，則以，為鄰邊的平行四邊形是矩形；

故"11=11"是"1+1=1T”的既不充分也不必要條件；

故選：D.

5.（5分）（2016?北京）已知x,yGR,且x>y>0,則（）

A.->0B.sinx-siny>0C.（）*-（）y<0D.lnx+lny>0

考點(diǎn)：不等關(guān)系與不等式

難度：中等

解析：?.,x,yWR,且x>y>0,則，sinx與siny的大小關(guān)系不確定，

號產(chǎn)即曠<0,Inx+lny與0的大小關(guān)系不確定.

故選：C.

6.（5分）（2016?北京）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）

僭視圖

A.B.C.D.1

考點(diǎn)：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖

難度：中等

解析：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，

棱錐的底面面積S=X1X1=,

高為1，

故棱錐的體積V==,

故選：A

7.（5分）（2016?北京）將函數(shù)y=sin（2x-）圖象上的點(diǎn)P（,t）向左平移s

（s>0）個單位長度得到點(diǎn)P‘，若P'位于函數(shù)y=sin2x的圖象上，則（）

A.t=,s的最小值為B.t=,s的最小值為

C.t=,s的最小值為D.t=,s的最小值為

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（3x+6）的圖象

難度：中等

解析:將乂=代入得：t=sin=,

將函數(shù)y=sin（2x-）圖象上的點(diǎn)P向左平移s個單位,

得到P'（-S,）點(diǎn)，

若P'位于函數(shù)丫=51!12*的圖象上，

則sin（-2s）=cos2s=,

2skeZ

JI

則s=+_+kn,keZ,

一6

由s>0得：當(dāng)k=0時，s的最小值為，

故選:A.

8.（5分）（2016?北京）袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、

丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個

球是紅球，就將另一個放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所

有球都被放入盒中，則（）

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多

C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球

D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多

考點(diǎn)：合情推理與演繹推理

難度：中等

解析：取兩個球共有4種情況：

①紅+紅，則乙盒中紅球數(shù)加1個；

②黑+黑，則丙盒中黑球數(shù)加1個；

③紅+黑（紅球放入甲盒中），則乙盒中黑球數(shù)加1個；

④黑+紅（黑球放入甲盒中），則丙盒中紅球數(shù)加1個.

設(shè)一共有球2a個，則a個紅球，a個黑球，甲中球的總個數(shù)為a,其中紅球x

個，黑球y個，x+y=a.

則乙中有x個球，其中k個紅球，j個黑球，k+j=x；

丙中有y個球，其中1個紅球，i個黑球，i+l=y；

黑球總數(shù)a=y+i+j,又x+y=a,故x=i+j

由于x=k+j,所以可得1=1<,即乙中的紅球等于丙中的黑球.

故選B.

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

9.（5分）（2016?北京）設(shè)adR,若復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位

于實軸上，則a=-1.

考點(diǎn)：數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

難度：中等

解析：（1+i）（a+i）=a-1+（a+1）i,

若復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實軸上，

則a+l=O,

解得：a=-1,

故答案為：-1

10.（5分）（2016?北京）在（1-2x）6的展開式中，X2的系數(shù)為60.（用數(shù)

字作答）

考點(diǎn)：二項分布及其應(yīng)用

難度：中等

解析：（1-2x）6的展開式中，通項公式T=（-2x）r=（-2）rXr,

r+1

令r=2,貝I]X2的系數(shù)=（_2）2[2=60.

故答案為：60.

11.（5分）（2016?北京）在極坐標(biāo)系中，直線PcosO-Psin0-1=0與圓

p=2cos9交于A,B兩點(diǎn)，貝ijIAB|=2.

考點(diǎn)：矩陣與變換

難度：中等

解析：直線Pcos0-psin0-1=0化為y直線x-y-1=0.

圓P=2cos0化為P2=2pcos0,X2+y2=2x,配方為(x-1)2+72=1,可得圓心

C(1,0),半徑r=l.

則圓心C在直線上，|AB|=2.

故答案為：2.

12.（5分）（2016?北京）已知｛a｝為等差數(shù)列,S為其前n項和.若a=6,a+a=0,

nn135

則S=6?

6--------------

考點(diǎn)：等差數(shù)列

難度：中等

解析：???｛a｝為等差數(shù)列，S為其前n項和.

nn

a=6,a+a=0,

135

:.a+2d+a+4d=0，

11

.\12+6d=0,

解得d=-2,

?7=6,Wd=36-30=6.

故答案為：6.

22

13.（5分）（2016?北京）雙曲線--2_=1（a>0,b>0）的漸近線為正方形

a2,b2

0ABC的邊OA,0C所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長

為2,則a=2.

考點(diǎn)：雙曲或一

難度：中等

解析：?.?雙曲線的漸近線為正方形OABC的邊OA,0C所在的直線，

漸近線互相垂直，則雙曲線為等軸雙曲線，即漸近線方程為y=±x,

即a=b,

?.,正方形OABC的邊長為2,

.,.0B=2,即c=2,

則a2+ba=C2=8,

即2a2=8,

則a2=4,a=2,

故答案為：2

14.(5分)(2016?北京)設(shè)函數(shù)f(x)=*"'a.

-2x,x>a

①若

a=0,則f(x)的最大值為2；

②若

f(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是(-8,-1).

考

點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性及其最值

難度：中等

x3-3x,

解析：①若a=0,則f(x)=<

-2K,X>0

則f'(x)=,3x2_3，x<0,

-2,

當(dāng)x<-l時，f'(x)>0,此時函數(shù)為增函數(shù),

當(dāng)x>-l時，『(x)<0,此時函數(shù)為減函數(shù),

故當(dāng)x=-1時，f(x)的最大值為2；

3x2~3,x<a

②f'(x)=.

-2)x〉a

令f'(x)=0,貝［Jx=±1,

fa>-1

-1

若f（x）無最大值，則,，或-2a>a3-3a，

-2a>aJ-3a

-2a>2

解得：aG(-8,-1).

故答案為：2,(-8,-1)

三、解答題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

15.（13分）（2016?北京）在AABC中,a2+c2=b2+ac.

（I）求NB的大小；

（II）求cosA+cosC的最大值.

考點(diǎn)：解三角形的應(yīng)用

難度：中等

解析：（I）?在AABC中，a2+c2=b2+ac.

az+c2-bi=ac.

222/-

/.cosR=a+c___b_=y2sc=,

2ac2ac

/.B=

(II)由(I)得：C=-A,

cosA+cosC=cosA+cos(-A)

=cosA-cosA+sinA

=cosA+sinA

=sin(A+).

VAG(0,),

A+W(?n),

故當(dāng)A+=時，sin(A+)取最大值1,

即cosA+cosC的最大值為1.

16.（13分）（2016?北京）A,B,C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育

鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如表（單位：小

時）：

A班678

B班6789101112

C班36912

（I）試估計C班的學(xué)生人數(shù)；

（II）從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一個人，A班選出的人記為甲,

C班選出的人記為乙.假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相對獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時間

比乙的鍛煉時間長的概率；

（III）再從A,B,C三班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們該周鍛煉時間分別是7,

9,（單位：小時），這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為M,

表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為u，試判斷u和u的大小.（結(jié)論不要求證明）'

考點(diǎn)：用樣本估計總體

難度：中等

解析：(I)由題意得：三個班共抽取20個學(xué)生，其中C班抽取8個，

故抽樣比K==,

故C班有學(xué)生8+=40人，

(II)從從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一個人，

共有5X8=40種情況，

而且這些情況是等可能發(fā)生的，

當(dāng)甲鍛煉時間為6時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有2種情況；

當(dāng)甲鍛煉時間為時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；

當(dāng)甲鍛煉時間為7時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；

當(dāng)甲鍛煉時間為時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；

當(dāng)甲鍛煉時間為8時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有4種情況；

故周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率p=2+3+3+3+4=；

40

(III)u>u.

01

17.(14分)(2016?北京)如圖，在四棱錐P-ABCD中,平面PAD_L平面ABCD,

PA±PD,PA=PD,AB±AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.

(I)求證：PD,平面PAB；

(II)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

(III)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM〃平面PCD?若存在，求的值，若不存

在，說明理由.

考點(diǎn)：空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

難度：中等

解析：(I)證明：?.?平面PAD,平面ABCD,且平面PADQ平面ABCD=AD,

且ABLAD,ABu平面ABCD,

.,.AB_L平面PAD,

VPDc平面PAD,

AABIPD,

又PDLPA,且PAAAB=A,

，PDJ_平面PAB；

(II)解：取AD中點(diǎn)為0,連接CO,P0,

VCD=AC=,

/.CO±AD,

又?.?PA=PD,

/.PO±AD.

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

則P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),

則說二(1,1,-1),PD=(O,-1)-

PC=(2,0,-1),CD=(-2,-1,0>

設(shè)y0,1）為平面PCD的法向量,

則由b呼°,~yn~1-0

得°-1.1)■

,n?PC=02XQ-1=°

設(shè)PB與平面PCD的夾角為6,則

_±_—]一]

sin?=|cos<Cn>

（III）解：假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM〃平面PCD,設(shè)細(xì)二入，M（0,y,z）,

AP-11

由(II)知，A(0,1,0),P(0,0,1),與二(O,7,i)，B(1,1,0),

MI二(0,y{-LZ]A

則有正二X,而，可得M(0,1-X,X),

***BM=（-1,一入，入），

???BM〃平面PCD,?-（1,-1,1）為平面PCD的法向量,

,,BN,n-0>即--^-+X+九二。，解得X

綜上，存在點(diǎn)M,即當(dāng)幽』時，M點(diǎn)即為所求.

AP4

p

18.(13分)(2016?北京)設(shè)函數(shù)f(x)=xei+bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f

(2))處的切線方程為丫=(e-1)x+4,

(I)求a,b的值；

(II)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

難度：中等

解析：(I)..?=￡(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為丫=(e-1)x+4,

...當(dāng)x=2時，y=2(e-1)+4=2e+2,即f(2)=2e+2,

同時f'(2)=e-1,

Vf(x)=xea-x+bx,

??f(x)=e?-*-xe，-x+b，

m/f⑵=2e'-2+2b=2e+2

即a=2,b=e；

(II)Va=2,b=e；

f(x)=xez-x+ex,

.?.f'(x)=e2-x-xe2-x+e=(1-x)e2、+e,

f"(x)=-e2-x-(1-x)ez-x=(x-2)e2-x,

由f"(x)>0得x>2,由f"(x)VO得x<2,

即當(dāng)x=2時，f'(x)取得極小值f'(2)=(1-2)e2-2+e=e-l>0,

：.f(x)>0恒成立，

即函數(shù)f(x)是增函數(shù)，

即f(X)的單調(diào)區(qū)間是(-8,+OO).

22

19.(14分)(2016?北京)已知橢圓C：Z—+^—=l(a>0,b>0)的離心率為，

□2b,2

A(a,0),B(0,b),0(0,0),AOAB的面積為1.

(I)求橢圓C的方程；

(n)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求

證:|AN|?|BM|為定值.

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

難度：中等

解析：(I)由題意可得e==,

又aOAB的面積為1,可得ab=l,

且a?-b2=c2,

解得a=2,b=l,c=,

2

可得橢圓C的方程為三_+y2=l；

4

(II)證法一：設(shè)橢圓上點(diǎn)P(x,y),

__00

可得x2+4y2=4,

00

直線PA：y=_Z2_(x-2),令x=0,可得y=-_2yg_

叼一2M一2

則|BM|=|1+三2_|；

叼-2

直線PB：y=2__Lx+1,令y=0,可得x=-———,

X。y。一]

則|AN|=|2+-殉J.

y「i

可得IAN|?|BM|=12+X0I*|1+-2y9|

y。]-2

_?2yo_2)2|_?.0214曠02+4+4.。.。-幼0一匆。

(X。-2)(-1)2+x。丫。-KQ-2y0

=?8+4xoy0-4x0-8y。=4,

2+叼兀xo2yo

即有|AN|?|BM|為定值4.

證法二：設(shè)P(2cos0,sin0),(0W0V2m),

直線PA：y=_sin?_(x-2),令x=0,可得y=-金鮮—

2cos8一2cos8-1

則IBMH也士坦巴ill；

1-cos9

直線PB：y=sin8——Lx+1,令y=0,可得x=-2cos°,

2cos9sin8-1

則|AN|=|2sin8+2gs8-2|

1-sin?

即有IAN||BM|=|2sin8+2c、8-2|.|sin8+cos'-"

1-sin?1_cos9

22

=21sin9+cos9+l+2sin9cos9一2sin6一2cos8

l+sin?cos6_sin9_cos9

=212+2sin」c口s8-2sin8-2CQS8?

l+sin8cos8-sin^-cos6

則IANHBMI為定值4.

20.(13分)(2016?北京)設(shè)數(shù)列A：a,a,…，a(N》2).如果對小于n(2

i2N

WnWN)的每個正整數(shù)k都有a<a,則稱n是數(shù)列A的一個“G時刻”，記G

(A)是數(shù)列A的所有“G時刻”k組成的集合.

(I)對數(shù)列A：-2,2,-1,1,3,寫出G(A)的所有元素；

(ID證明：若數(shù)列A中存在