2022-2023學(xué)年山西省晉中市古陶第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年山西省晉中市古陶第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)（a2﹣a﹣2）+（a+1）i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．2或﹣1參考答案：C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念．【專題】計(jì)算題；方程思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】由實(shí)部等于0且虛部不等于0求解a的值．【解答】解：由復(fù)數(shù)（a2﹣a﹣2）+（a+1）i是純虛數(shù)，得，解得：a=2．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查了復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件，是基礎(chǔ)題．2.已知公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中：（1）成等比數(shù)列；（2）；（3）正確的結(jié)論為

（

）（）（1）（2）．（）（1）（3）．

（）（2）（3）．

（）（1）（2）（3）．參考答案：C3.計(jì)算﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°的結(jié)果為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式，化簡所給的式子，可得結(jié)果．【解答】解：﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°=﹣sin47°（﹣cos17°）﹣cos47°sin17°=sin（47°﹣17°）=sin30°=，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.（5分）（2015?嘉興一模）已知條件p：x2﹣3x﹣4≤0，條件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0．若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是（）A．[﹣1，1]B．[﹣4，4]C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】：簡易邏輯．【分析】：先將條件p，q化簡，然后利用p是q的充分不必要條件，確定參數(shù)a的取值范圍．解：由x2﹣3x﹣4≤0得﹣1≤x≤4，即p：﹣1≤x≤4，由x2﹣6x+9﹣m2≤0得[x﹣（3﹣m）][x﹣（3+m）]≤0，①若m≥0，則不等式等價(jià)為3﹣m≤x≤3+m，若p是q的充分不必要條件，則，即，解得m≥4．②若m＜0，則不等式等價(jià)為3+m≤x≤3﹣m，若p是q的充分不必要條件，則，即，解得m≤﹣4．綜上m≥4或m≤﹣4，故m的取值范圍是（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．故選：C【點(diǎn)評】：本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用．根據(jù)條件求出不等式的解是解決本題的關(guān)鍵．注意要進(jìn)行分類討論．5.已知向量與的夾角為120°，且||=2，||=3，若=+，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為(

)A． B．13 C．6 D．參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】由⊥，得?=0，用向量表示后展開，結(jié)合已知條件可求得實(shí)數(shù)λ的值．【解答】解：∵=+，且⊥，∴?=（+）?（）===0．∵向量與的夾角為120°，且||=2，||=3，∴2×3（λ﹣1）?cos120°﹣4λ+9=0．解得：．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量垂直與數(shù)量積間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．6.已知向量與的夾角為，||=，則在方向上的投影為(

) A． B． C． D．參考答案：C考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：根據(jù)向量的數(shù)量積定義解答．解答： 解：因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，||=，則在方向上的投影為，||cos=﹣×=﹣；故選C．點(diǎn)評：本題考查了向量的數(shù)量積定義的運(yùn)用求向量的模．7.等比數(shù)列中,前三項(xiàng)和為S＝27，則公比q的值是(

)(A).1

(B)－

(C)1或－

(D)－1或－參考答案：C設(shè)公比為，又，則，即，解得或，故選.8.定義運(yùn)算，則函數(shù)的圖像是參考答案：D9.通過全國人口普查工作，得到我國人口的年齡頻率分布直方圖如下所示：那么在一個(gè)總?cè)丝跀?shù)為200萬的城市中，年齡在[20，60）之間的人大約有A.

58萬B.

66萬C.

116萬D.

132萬參考答案：C略10.把函數(shù)y=sin（x+）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將圖象向右平移個(gè)單位，那么所得圖象的一條對稱軸方程為（）A．x=B．x= C．x=D．x=參考答案：A【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的對稱性．【分析】先對函數(shù)進(jìn)行圖象變換，再根據(jù)正弦函數(shù)對稱軸的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)；再將圖象向右平移個(gè)單位，得函數(shù)，根據(jù)對稱軸處一定取得最大值或最小值可知是其圖象的一條對稱軸方程．故選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.形如45132這樣的數(shù)叫做“五位波浪數(shù)”，即十位數(shù)字、千位數(shù)字均比它們各自相鄰的數(shù)字大，則由數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“五位波浪數(shù)”的個(gè)數(shù)為

．參考答案：721略12.若過曲線f（x）=xlnx上的點(diǎn)P的切線斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

．參考答案：（e，e）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】方程思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】設(shè)切點(diǎn)P（m，n），求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到切線的斜率，解方程可得m，n的值．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)P（m，n），f（x）=xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+lnx，在點(diǎn)P處的切線斜率為1+lnm=2，解得m=e，可得n=mlnm=elne=e．故答案為：（e，e）．【點(diǎn)評】本題考查的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．13.在三棱錐S-ABC中，，側(cè)面SBC與底面ABC垂直，則三棱錐S-ABC外接球的表面積是．參考答案：解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，．設(shè)為的中心，為三棱錐外接球的球心．連接，，．取的中點(diǎn)，連接．則為棱錐外接球的半徑．為矩形．．三棱錐外接球的表面積．故答案為：．14.圓O中，弦，則的值為．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】過點(diǎn)O作OD⊥BC交BC于點(diǎn)D，連接AD．則D為BC的中點(diǎn)，．．又，，即可得出．【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)O作OD⊥BC交BC于點(diǎn)D，連接AD．則D為BC的中點(diǎn)，．．又，，∴=====．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形外心性質(zhì)、向量是三角形法則、平行四邊形法則、數(shù)量積運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．15.下面圖形由小正方形組成，請觀察圖1至圖4的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是___________.參考答案：16.設(shè)集合A＝{x｜0≤x＜1}，B＝{x｜1≤x≤2}，函數(shù)，則x取值區(qū)間是＿＿＿＿＿＿參考答案：17.根據(jù)以上事實(shí)，可猜想下式橫線處應(yīng)填的值為

.

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某公司為了解所經(jīng)銷商品的使用情況，隨機(jī)問卷50名使用者，然后根據(jù)這50名的問卷評分?jǐn)?shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率布直方圖，其統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[80,100].（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；（Ⅱ）求這50名問卷評分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)；（Ⅲ）從評分在[40,60)的問卷者中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評分都在[50,60)的概率.參考答案：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，可得，解得.（Ⅱ）由頻率分布直方圖，可設(shè)中位數(shù)為，則有，解得中位數(shù).（Ⅲ）由頻率分布直方圖，可知在內(nèi)的人數(shù)：，在內(nèi)的人數(shù)：.設(shè)在內(nèi)的人分別為，，在內(nèi)的人分別為，，，則從的問卷者中隨機(jī)抽取人，基本事件有，，，，，，，，，，共種；其中人評分都在內(nèi)的基本事件有，，共種，故所求概率為.19.并求函數(shù)的值域和最小正周期.（12分）參考答案：解：

所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，最小正周?0.已知函數(shù)，，（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）在函數(shù)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與直線的斜率之間滿足？若存在，求出；若不存在，請說明理由.參考答案：解：（1）的定義域?yàn)椋?/p>

故單調(diào)遞增；單調(diào)遞減，

時(shí)，取得極大值，無極小值。

（2），，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對恒成立

，只需

時(shí)，，則，，

故，的取值范圍為

（3）假設(shè)存在，不妨設(shè)，

由得，整理得

令，，，在上單調(diào)遞增，

，故不存在符合題意的兩點(diǎn)。

略21.（本題18分，第(1)小題6分；第(2)小題12分）如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，的周長為8，且面積最大時(shí)，為正三角形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)．試探究：①以為直徑的圓與軸的位置關(guān)系？

②在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

參考答案：解：（1）當(dāng)三角形面積最大時(shí)，為正三角形，所以

，橢圓E的方程為

（2）①由，得方程由直線與橢圓相切得

求得，，中點(diǎn)到軸距離

。所以圓與軸相交。

（2）②假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)滿足條件，由對稱性知點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

。由得所以，即所以定點(diǎn)為。

22.（本題滿分12分）某市統(tǒng)計(jì)局就本地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示月收入在[1000，1500），單位：元）．（Ⅰ）估計(jì)居民月收入在[1500，2000）的概率；（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（Ⅲ）若將頻率視為概率，從本地隨機(jī)抽取3位居民（看做有放回的抽樣），求月收入在[1500，2000）的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：（Ⅰ）由題意，居民月收入在[1500，2000）的概率約為1﹣（0.0002+0.0001+0.0003+0.0005×2）×500=1﹣0.0016×500=1﹣0.8=0.2．

………………2分（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，中位數(shù)在[2000，2500），