高等數(shù)學冪級數(shù)

高等數(shù)學冪級數(shù)第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二一、函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù)

.對若常數(shù)項級數(shù)收斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域;若常數(shù)項級數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散

,所有為其

為其發(fā)散點,

發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域.第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二為級數(shù)的和函數(shù)

,并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數(shù)項級數(shù)前n項的和,即在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)

稱它第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二例如,

函數(shù)項級數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔泻秃瘮?shù)第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:形如的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中下面著重討論例如,冪級數(shù)冪級數(shù)的系數(shù)

.即是此種情形.的情形,即稱為第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二幾何說明收斂發(fā)散發(fā)散2.收斂性:第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學家,近代數(shù)學發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時就解決了用根式解5次方程的不可能性問題,他還研究了更廣的一并稱之為阿貝爾群.在級數(shù)研究中,他得到了一些判斂準則及冪級數(shù)求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開拓了道路.數(shù)學家們工作150年.類代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù)C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供后人發(fā)現(xiàn)這是一類交換群,第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二正數(shù)R稱為收斂半徑(-R,R)稱為收斂區(qū)間規(guī)定收斂發(fā)散發(fā)散(－R,R)

加上收斂的端點稱為收斂域.第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二1)當≠0

時,2)當＝0

時,3)當＝∞時,證:1)若≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當原級數(shù)收斂;當原級數(shù)發(fā)散.即時,即時,系數(shù)模比值法（系數(shù)模根值法）第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級發(fā)散,對任意

x原級數(shù)因此因此的收斂半徑為說明:據(jù)此定理因此級數(shù)的收斂半徑第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二例1

求下列冪級數(shù)的收斂域解收斂發(fā)散(2)第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二解第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二發(fā)散收斂故收斂域為(0,1]解第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散發(fā)散發(fā)散故原級數(shù)的收斂域為解:缺項不能應(yīng)用定理2可直接利用修改后的比值判別法第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二練習

求下列冪級數(shù)的收斂域第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二三、冪級數(shù)的運算第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二解:第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二例2.

求級數(shù)的和函數(shù)解:第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二解法2:第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二解法1:第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二例4.

的和函數(shù)解:第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二解:

級數(shù)的收斂半徑R＝+∞.例5.則的和函數(shù).因此得設(shè)第二十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二解:第二十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二內(nèi)容小結(jié)1.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標準型冪級數(shù)先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標準型冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式)求收斂半徑時直接用修改后