自學(xué)考試專題：04-04自考線性代數(shù)答案

PAGEPAGE1自學(xué)考試專題：04-04自考線性代數(shù)答案注：該答案僅供參考，具體以自己的答案和老師批改為準(zhǔn)。1.設(shè)A=a_11a_12a_13a_21a_22a_23a_31a_32a_33，其中a_11=a_22=a_33=1，a_12=a_13=a_21=a_23=a_31=a_32=0。(1)把A寫成對角矩陣的形式。(2)計(jì)算A+2E、3A-E和4A^2-I。(1)對角矩陣為D=100010001，顯然D=A。(2)A+2E=3000300033A-E=2000200024A^2-I=3000300032.設(shè)A=204311-12-1(1)求A的伴隨矩陣。(2)求A的逆矩陣。(3)判斷A是否可逆。(1)A的伴隨矩陣為adjA=3-114-722-812-3212(2)A的逆矩陣為A^-1=(1/detA)adjA1/14-11/422/21-1/1411/428/213/14-8/214/21(3)A可逆，因?yàn)閐etA≠0。3.設(shè)A和B是n階實(shí)矩陣，證明rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}。證明：設(shè)rank(A)=r_1，rank(B)=r_2，則A和B都有r_1和r_2個(gè)線性無關(guān)的列向量組成的列向量組。對于矩陣AB，一列列地計(jì)算有AB的每一列都可以表示為AB的第k列=A×B的第k行。又因?yàn)锽中有r_2個(gè)線性無關(guān)的行向量，并且有r_1個(gè)不同的列向量乘以這r_2個(gè)行向量后的結(jié)果是線性無關(guān)的（可以采用高斯消元來證明）。所以，AB矩陣中有不超過r_1個(gè)線性無關(guān)的列向量。同理，AB矩陣中有不超過r_2個(gè)線性無關(guān)的列向量。因此，rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}。4.設(shè)A是n階實(shí)矩陣，證明A和它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值。證明：設(shè)A的特征值為λ，對應(yīng)的特征向量為x，即Ax=λx。取對A的轉(zhuǎn)置矩陣求特征值，得到特征向量y，ATy=μy，其中μ為A的轉(zhuǎn)置矩陣的特征值。將等式兩邊同時(shí)左乘x^T，即x^TATy=x^Tμy，又由于y^TA^Tx=x^TAy，所以有y^TAx=x^TATy。將上面兩式聯(lián)立可得，λy^Tx=μx^Ty。因?yàn)棣撕挺潭紴锳與AT的特征值，所以λ=μ，即A和AT有相同的特征值。5.用高斯-約旦消元法求解線性方程組2x+y-z=1x-y+2z=23x+2y+z=2。首先寫成增廣矩陣的形式：[21-1|1][1-12|2][321|2]用高斯-約旦消元法，將該增廣矩陣化為行階梯矩陣：[21-1|