統(tǒng)計(jì)與概率課件

讓孩子“親近”數(shù)據(jù)

——數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)

王曉陽(yáng)

統(tǒng)計(jì)

統(tǒng)計(jì)學(xué)是關(guān)于收集和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)和藝術(shù)?！洞竺腊倏迫珪?shū)》

數(shù)據(jù)是蘊(yùn)含信息的，信息是可以提取的，信息是為人們服務(wù)的統(tǒng)計(jì)在義務(wù)教育階段處理的數(shù)據(jù)主要是用數(shù)來(lái)表達(dá)的，當(dāng)然這些數(shù)都是有實(shí)際背景的。脫離實(shí)際問(wèn)題的單純地?cái)?shù)的研究是數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容，不是統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容。但是，這些年隨著信息的迅速增長(zhǎng)，我們需要擴(kuò)大對(duì)數(shù)據(jù)的認(rèn)識(shí)。事實(shí)上，現(xiàn)在的數(shù)據(jù)不僅僅是數(shù)，圖是數(shù)據(jù)、語(yǔ)句也是數(shù)據(jù)。只要蘊(yùn)含著一定信息，無(wú)論是什么表現(xiàn)形式，就是數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)能幫助人們從這些數(shù)據(jù)中提取出大量的信息。（史寧中）

數(shù)據(jù)分析觀念了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問(wèn)題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過(guò)分析做出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息；了解對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問(wèn)題的背景選擇合適的方法；通過(guò)數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心。

商店經(jīng)理要合理地安排售貨員的人數(shù)。售貨員過(guò)多顯然對(duì)商店是浪費(fèi)，售貨員太少將使一些顧客離去而減少商店收入。安排多少售貨員依賴于顧客的人數(shù)，而顧客的人數(shù)是隨機(jī)的，事先無(wú)法確定。商店經(jīng)理有辦法嗎？

案例

售貨員的人數(shù)

假定商店經(jīng)理知道任一時(shí)刻來(lái)到k個(gè)顧客的概率p如下：

k01234567>7p0.030.100.140.190.210.190.090.040.01

盡管經(jīng)理無(wú)法預(yù)料任一時(shí)刻顧客的確切人數(shù)。也不排除某一天一個(gè)顧客也沒(méi)有，而另一天有上百名顧客涌入商店的極端情形。但是知道了上面的表，經(jīng)理就可以知道，安排7個(gè)售貨員能以99%的概率使顧客不用等待。安排6個(gè)售貨員能以95%的概率使顧客不用等待。安排3個(gè)售貨員顧客要等待的概率大于50%等等。這些信息無(wú)疑對(duì)經(jīng)理安排售貨員的決策起著根本的作用。案例

售貨員的人數(shù)

《標(biāo)準(zhǔn)》在三個(gè)階段都提出了相應(yīng)的要求，這也成為了統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的首要主線。在第一學(xué)段中，提出“經(jīng)歷簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)收集和整理過(guò)程”；在第二學(xué)段中，提出“經(jīng)歷簡(jiǎn)單的收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的過(guò)程（可使用計(jì)算器）”。一、數(shù)據(jù)分析過(guò)程一個(gè)案例

新年聯(lián)歡會(huì)準(zhǔn)備買(mǎi)水果，調(diào)查班級(jí)同學(xué)最喜歡吃的水果，設(shè)計(jì)購(gòu)買(mǎi)方案。[說(shuō)明]借助學(xué)生身邊的例子，體會(huì)數(shù)據(jù)調(diào)查、數(shù)據(jù)分析對(duì)于決策的作用。此例可以舉一反三。教學(xué)中可作如下設(shè)計(jì)：（1）全班同學(xué)討論決定購(gòu)買(mǎi)方案的原則，可以在限定的金額內(nèi)考慮學(xué)生最喜歡吃的一種或幾種水果，或者其他的原則。一個(gè)案例

（2）鼓勵(lì)學(xué)生討論收集數(shù)據(jù)的方法。例如，可以采取填寫(xiě)調(diào)查表的方法；可以全部提案后，同學(xué)輪流在自己同意的盒里放積木的方法等等。必須事先約定，每位同學(xué)最多可以同意幾項(xiàng)。（3）收集并表示數(shù)據(jù)，參照事先的約定決定購(gòu)買(mǎi)水果的方案。要根據(jù)學(xué)生討論的實(shí)際情況進(jìn)行靈活處理，購(gòu)買(mǎi)方案沒(méi)有對(duì)錯(cuò)之分，但要符合最初制定的原則。大家喜歡吃的都不一樣，到底買(mǎi)哪種水果呢？請(qǐng)你幫我想想辦法？調(diào)研結(jié)果分析史寧中

小學(xué)生知道兩件事情是重要的：第一，制定標(biāo)準(zhǔn)；第二，按照標(biāo)準(zhǔn)做事。中國(guó)培養(yǎng)的人，缺乏制定標(biāo)準(zhǔn)的經(jīng)驗(yàn)，我希望未來(lái)的學(xué)生開(kāi)始會(huì)制定標(biāo)準(zhǔn)。這個(gè)世界最后贏的都是制定標(biāo)準(zhǔn)的。

這里可以有一個(gè)反復(fù)的過(guò)程，對(duì)開(kāi)始制定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行調(diào)整。一學(xué)期哪怕有一、兩次，我估計(jì)經(jīng)過(guò)三年，就能積累經(jīng)驗(yàn)。

我設(shè)想的就是這兩個(gè)結(jié)果。數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息

第一學(xué)段：對(duì)全班同學(xué)的身高進(jìn)行調(diào)查分析。[說(shuō)明]學(xué)校一般每年都要測(cè)量學(xué)生的身高，這為學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)提供了很好的數(shù)據(jù)資源，因此這個(gè)問(wèn)題可以貫穿第一學(xué)段和第二學(xué)段，根據(jù)不同學(xué)段的學(xué)生特點(diǎn)，要求可以有所不同。希望學(xué)生把每年測(cè)量身高的數(shù)據(jù)都保留下來(lái)，養(yǎng)成保存資料的習(xí)慣。在第一學(xué)段，主要讓學(xué)生感悟可以從數(shù)據(jù)中得到一些信息。

（1）指導(dǎo)學(xué)生將全班同學(xué)的身高進(jìn)行匯總。（2）從匯總后的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)信息。比如最高（最大值）、最矮（最小值）、相差多少（極差），大部分同學(xué)的身高是多少（眾數(shù)）等。在討論過(guò)程中，括號(hào)中的有些名詞并不需要出現(xiàn)，但是希望學(xué)生體會(huì)數(shù)據(jù)所代表的意義。數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息（第二學(xué)段）

在上面的例子中，已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析。在這個(gè)學(xué)段中，要求學(xué)生結(jié)合以前積累的身高數(shù)據(jù)，進(jìn)行進(jìn)一步的整理，然后進(jìn)行分析。整理的目的是為了便于分析，例如，條形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生占全班學(xué)生的比例及其差異；折線統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解幾年來(lái)學(xué)生身高變化的情況，預(yù)測(cè)未來(lái)身高變化趨勢(shì)。學(xué)生還可以討論用什么數(shù)據(jù)來(lái)代表全班同學(xué)的身高，自己的身高在全班的什么位置。掌握必要的收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)的方法，無(wú)疑是統(tǒng)計(jì)課程內(nèi)容的第二條主線。二、數(shù)據(jù)分析方法1.收集數(shù)據(jù)的方法在收集數(shù)據(jù)方面，所涉及的數(shù)據(jù)可能是全體的數(shù)據(jù)（總體數(shù)據(jù)），也可能是通過(guò)抽樣獲得的數(shù)據(jù)（抽樣數(shù)據(jù)）。在第一、第二學(xué)段中，學(xué)生收集的基本都是總體數(shù)據(jù)現(xiàn)成的數(shù)據(jù)；需要自己調(diào)查的數(shù)據(jù)（換乳牙、看電視的時(shí)間）。常用的收集數(shù)據(jù)的方法包括：調(diào)查、試驗(yàn)、測(cè)量、查閱資料。1.收集數(shù)據(jù)的方法學(xué)生應(yīng)該對(duì)收集數(shù)據(jù)的方法都有比較豐富的體驗(yàn)?！稑?biāo)準(zhǔn)》在第一學(xué)段提出“了解調(diào)查、測(cè)量等收集數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單方法”；在第二學(xué)段提出“會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的調(diào)查表，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ缯{(diào)查、試驗(yàn)、測(cè)量）收集數(shù)據(jù)”“能從報(bào)紙雜志、電視等媒體中，有意識(shí)地獲得一些數(shù)據(jù)信息”。注意收集數(shù)據(jù)的討論研究表明在計(jì)劃如何收集數(shù)據(jù)上花時(shí)間是值得的。

美國(guó)數(shù)學(xué)教師雜志向全美的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師推薦的一節(jié)數(shù)學(xué)課為什么有的人跑得快？有的人跑得慢？師：今天我們一起討論一個(gè)問(wèn)題，大家有沒(méi)有想過(guò)這樣的事情，我們都有跑步的體驗(yàn)，為什么有的人跑得快，有的人跑得慢？有的學(xué)生說(shuō)：“誰(shuí)個(gè)高誰(shuí)就跑得快，誰(shuí)個(gè)矮誰(shuí)跑得慢.”

馬上就有學(xué)生提出問(wèn)題：“老師，不對(duì)，我們班×××個(gè)子不高，但他跑得很快.”

隨后學(xué)生又提出問(wèn)題：“我們班有兩個(gè)學(xué)生，他們的個(gè)子一般高，結(jié)果一個(gè)人跑得快，一個(gè)人跑得慢.”

案例

●過(guò)程二：用100米跑的步數(shù)m1，…m6與時(shí)間t1，…t6的比可以算出每個(gè)人的步頻.

步頻，每個(gè)人1秒鐘跨了多少步.如果跨了150步，總共用9秒8，兩數(shù)一除，我就知道1秒鐘跨了多少步.有了步數(shù)，有了時(shí)間就可以算出步頻.

于是有的學(xué)生猜測(cè)步頻越大，跑得越快，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，總體的狀況是這樣，步頻比較高的人，他跑的成績(jī)是比較好的.

一個(gè)人跑得快，都受哪些因素影響呢？是由2個(gè)因素影響的，步距與步頻.這就是美國(guó)小學(xué)六年級(jí)討論的問(wèn)題.實(shí)際問(wèn)題中收集數(shù)據(jù)的有趣案例

對(duì)種群的估計(jì)對(duì)敏感性問(wèn)題的調(diào)查2.整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法在第一學(xué)段，學(xué)生將學(xué)習(xí)分類的方法，分類是整理數(shù)據(jù)和描述數(shù)據(jù)的開(kāi)始。在此基礎(chǔ)上，能用自己的方式（文字、圖畫(huà)、表格等）呈現(xiàn)整理數(shù)據(jù)的結(jié)果，而不學(xué)習(xí)正式的統(tǒng)計(jì)圖表或統(tǒng)計(jì)量。有研究表明，早期經(jīng)驗(yàn)的多樣化，有助于兒童建立進(jìn)一步學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)和興趣。分組全班同學(xué)的身高情況單位：厘米第1小組116128124135128141第2小組129130134127134138第3小組138142119123127146第4小組119137136138150152第5小組125120131143135148第6小組138132147139148139“點(diǎn)線”圖

2.整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法在第二學(xué)段，學(xué)生將學(xué)習(xí)條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖等常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)圖，并且能用它們直觀、有效地表示數(shù)據(jù)。第二學(xué)段還將學(xué)習(xí)一個(gè)重要的刻畫(huà)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量——平均數(shù)。案例：從下圖中，你能獲取哪些信息？一、五年級(jí)學(xué)生的情況有什么不同？能嘗試解釋原因嗎？一年級(jí)、五年級(jí)學(xué)生睡眠情況統(tǒng)計(jì)圖張思明、史寧中的看法張：最大的差別；差別的原因和合理性；指標(biāo)有問(wèn)題，能否合并；人均睡眠時(shí)間也許更好史：目標(biāo)；變化趨勢(shì)；注意到人數(shù)不同；經(jīng)驗(yàn)的積累三個(gè)水平Curcio(1987)把學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的讀取分為三個(gè)水平：（1）數(shù)據(jù)本身的讀?。╮eadingthedata），包括用能夠得到的信息來(lái)回答具體的問(wèn)題，這些問(wèn)題圖表中有明顯的答案。(2)數(shù)據(jù)之間的讀?。╮eadingbetweenthedata）。這包括做比較(例如比較好、最好，最高、最小等)和對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行操作(例如加減乘除)。(3)超越數(shù)據(jù)本身的讀?。╮eadingbeyondthedata），包括通過(guò)數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行推斷預(yù)測(cè)推理，并回答具體的問(wèn)題。讀圖的建議要讀統(tǒng)計(jì)圖中能看見(jiàn)到或推理能得到的信息。包括：統(tǒng)計(jì)圖的名字和圖標(biāo)，單個(gè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的比較（多少、倍數(shù)、百分比等），數(shù)據(jù)的整體變化（最大、最小、平均情況、變化情況、偏差、極端數(shù)據(jù)）。

讀圖的建議統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)能否回答開(kāi)始提出的問(wèn)題，能否解決其他問(wèn)題，能否進(jìn)行預(yù)測(cè)，思考為什么數(shù)據(jù)會(huì)呈現(xiàn)這種情況等。小婷身高統(tǒng)計(jì)圖小婷身高統(tǒng)計(jì)圖北京城市女生身高生長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)北京城市女生身高生長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)讀圖的建議更進(jìn)一步的層次，就是評(píng)價(jià)的意識(shí)。不僅要去閱讀圖，還要對(duì)統(tǒng)計(jì)圖中的指標(biāo)、收集數(shù)據(jù)的方法、統(tǒng)計(jì)圖使用的是否合理、得出的結(jié)論是否有道理等進(jìn)行一些評(píng)價(jià)。

某工廠有5個(gè)股東，100個(gè)工人。工人的工資總額與工廠的股東總利潤(rùn)見(jiàn)下：

年度工人工資總額股東總利潤(rùn)1990年10萬(wàn)元5萬(wàn)元1991年12.5萬(wàn)元7.5萬(wàn)元1992年15萬(wàn)元10萬(wàn)元該工廠老板根據(jù)表中數(shù)據(jù)，作出了右圖，并聲稱股東和工人“有福共享、有難同當(dāng)”，你如何看待他的說(shuō)法？

案例

“有福同享,有難同當(dāng)”嗎?案例

“有福同享,有難同當(dāng)”嗎?統(tǒng)計(jì)量

最多、最少平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差……

平均數(shù)的三個(gè)角度：算法理解、概念理解、統(tǒng)計(jì)理解。注重平均數(shù)的理解概念理解平均數(shù)介於最小值和最大值之間。資料與平均數(shù)之間的差，其和為零。平均數(shù)易受平均以外的資料的影響。平均數(shù)未必是資料中的一個(gè)值。平均數(shù)可能是非整數(shù)且無(wú)實(shí)物可以對(duì)照。計(jì)算平均數(shù)時(shí)不可刪去零值的資料。平均數(shù)代表被平均的所有資料。平均數(shù)意義及價(jià)值的學(xué)習(xí)

案例：北京大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)小學(xué)王杰平均數(shù)案例1．利用節(jié)約用水信息深入理解平均數(shù)的意義。師：我這也有條信息，我們一起看看。（1）出示：節(jié)約用水圖。師：為什么要節(jié)約用水？（根據(jù)學(xué)生回答評(píng)價(jià)學(xué)生的節(jié)能意識(shí)）那我們來(lái)看看我們國(guó)家的淡水情況。（2）出示：我國(guó)淡水資源總量為28000億立方米，僅次于巴西、俄羅斯和加拿大，居世界第四位。師：找一名同學(xué)讀一讀?？吹竭@條信息你有什么感覺(jué)？（學(xué)生可能產(chǎn)生疑問(wèn)：水并不少，世界100多個(gè)國(guó)家，我們排第四名。）平均數(shù)案例（3）我們?cè)賮?lái)看看下面這條信息。出示：我國(guó)人均水資源只有2300立方米，在世界上名列第121位，是全球人均水資源最貧乏的國(guó)家之一。師：請(qǐng)大家靜靜的讀一讀這條信息，你發(fā)現(xiàn)了什么？（這里想讓學(xué)生通過(guò)名次下降或貧乏再次提起對(duì)平均數(shù)的理解?！柏毞Α边@個(gè)詞是什么意思？有那么多水，怎么用貧乏來(lái)形容我們國(guó)家了呢？）總結(jié)：言之有理，看來(lái)同學(xué)們對(duì)平均數(shù)的理解越來(lái)越深刻了，光比總量是不行的，還要看我們的人均水資源。好，那對(duì)于我們國(guó)家來(lái)說(shuō)，就更應(yīng)該去節(jié)約用水了。平均數(shù)案例2.出示：兒童乘車免票線“長(zhǎng)個(gè)”了的標(biāo)題。師：你知道什么叫“兒童乘車免票線”嗎？沒(méi)錯(cuò)，就是這條線，我們來(lái)看看（圖略）。經(jīng)過(guò)市發(fā)改委與相關(guān)部門(mén)研究決定，將北京市六歲以下兒童1.1米乘車免票線提高到了1.2米。師：為什么要提高？（學(xué)生自然會(huì)想到：孩子們都長(zhǎng)高了。）師：我們?cè)趺慈ゴ_定這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的呢？（學(xué)生可能會(huì)回答：我們可以調(diào)查一下。）平均數(shù)案例2師：調(diào)查誰(shuí)？如果數(shù)據(jù)來(lái)了，有高的、有矮的，如何處理？（這里要明確調(diào)查六歲兒童的身高，滲透抽樣調(diào)查的想法。學(xué)生結(jié)合平均數(shù)的理解，回答調(diào)查完了可以計(jì)算平均數(shù)。）師：總結(jié)：我們同學(xué)真了不起，既能準(zhǔn)確理解平均數(shù)的意義，又能想到可操作的辦法。那我們一起看看實(shí)際是怎樣做的。據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前我市6歲男童身高的平均值為119.3厘米，女童身高平均值為118.7厘米。和你們想的一樣，市發(fā)改委就是參照了我市6歲兒童的平均身高，才確定了免票線的高度?？磥?lái)，這平均數(shù)的作用真是不小，連確定免票線的高度都可以參照它。平均數(shù)案例3.那你們能利用平均數(shù)幫我解決判斷一件事情嗎？出示據(jù)統(tǒng)計(jì)，周一至周五晚高峰時(shí)，平均每小時(shí)需要通過(guò)1號(hào)橋的車輛為1756輛，需要通過(guò)2號(hào)橋的車輛965輛（兩個(gè)橋的寬度等條件差不多）。王老師回家這兩條路都可以，并且駕車路程差不多你們覺(jué)得我走哪好？那我走那一定快嗎？為什么？（學(xué)生建議教師走2號(hào)橋，但偶爾也不一定快）總結(jié)：同學(xué)們理解得很好，平均數(shù)可以用來(lái)作參考，但是它反映的只是一般情況，并不能反映出某種特殊情況。平均數(shù)與中位數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系

我們現(xiàn)在處理的數(shù)據(jù)，大部分是對(duì)稱的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)符合或者近似符合正態(tài)分布。這時(shí)候，均值（平均數(shù)）、中位數(shù)和眾數(shù)是一樣的。

小學(xué)階段不要求中位數(shù)、眾數(shù)

平均數(shù)與中位數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系

只有在數(shù)據(jù)分布偏態(tài)（不對(duì)稱）的情況下，才會(huì)出現(xiàn)均值、中位數(shù)和眾數(shù)的區(qū)別。所以說(shuō)，如果是正態(tài)的話，用哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量都行。如果偏態(tài)的情況特別嚴(yán)重的話，可以用中位數(shù)。一個(gè)例子11名男同學(xué)100米跑的成績(jī)?nèi)缦拢?3秒217秒13秒515秒812秒17秒116秒715秒617秒16秒616秒7。學(xué)生能計(jì)算出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：15秒6；這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是：16秒6。在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生利用數(shù)據(jù)分析如下問(wèn)題：

（1）如果選擇參加一項(xiàng)比賽，希望有一半的男同學(xué)可以參加，選擇哪個(gè)成績(jī)作為標(biāo)準(zhǔn)？

（2）如果希望確定一個(gè)較高的標(biāo)準(zhǔn)，選擇哪個(gè)成績(jī)作為標(biāo)準(zhǔn)？

（3）如果需要確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，你如何確定？為什么？2.整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)習(xí)的方法，盡可能多地從數(shù)據(jù)中提取有用的數(shù)據(jù)，并且能夠根據(jù)問(wèn)題的背景選擇合適的方法，而不是單純地名詞、計(jì)算方法等的掌握。需要我們根據(jù)問(wèn)題的背景選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖?？傊?，“統(tǒng)計(jì)學(xué)對(duì)結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是‘好壞’”，而不是“對(duì)錯(cuò)”。

三、數(shù)據(jù)的隨機(jī)性數(shù)據(jù)的隨機(jī)主要有兩層涵義：一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會(huì)是不同的；另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。兩個(gè)案例：摸球、上學(xué)時(shí)間三、數(shù)據(jù)的隨機(jī)性

概率也是研究隨機(jī)現(xiàn)象的，那么為什么又提出數(shù)據(jù)的隨機(jī)性呢？

實(shí)際上，統(tǒng)計(jì)與概率都是研究隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科。統(tǒng)計(jì)與概率正是從不同的角度研究如何刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象，統(tǒng)計(jì)側(cè)重于從數(shù)據(jù)來(lái)刻畫(huà)隨機(jī)，概率側(cè)重于建立理論模型來(lái)刻畫(huà)隨機(jī)

。鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)據(jù)來(lái)體會(huì)隨機(jī)，更能體會(huì)隨機(jī)的特點(diǎn)。史校長(zhǎng)的采訪

我并不是反對(duì)前一種教法本身，而是說(shuō)如果這么教，蘊(yùn)含的隨機(jī)思想并不強(qiáng)，學(xué)生也不感興趣，都知道了概率為什么還要做實(shí)驗(yàn)。而后來(lái)的這種教法，學(xué)生體會(huì)到每一次摸的結(jié)果事先都不知道，但是摸多了能夠幫助我們做一些判斷。這樣一來(lái)，學(xué)生既體會(huì)了隨機(jī)，又感受到了數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著信息，我想這種類似于“猜謎”的活動(dòng)學(xué)生也會(huì)很有興趣”。三、數(shù)據(jù)的隨機(jī)性

實(shí)際上這種“猜謎”絕不是“瞎猜”，在《標(biāo)準(zhǔn)》案例40的說(shuō)明中給出了這種推斷背后的科學(xué)依據(jù)，也就是雖然不能保證估計(jì)得完全一致，但能保證在一定實(shí)驗(yàn)次數(shù)下，估計(jì)值與實(shí)際情況相差不大的可能性是很大的。

實(shí)際上，如果袋中裝有4個(gè)紅球和1個(gè)白球，可以知道摸到紅球的概率為4/5（也就是8/10）。通過(guò)計(jì)算可以得到：保證有80%以上的可能使得“摸到紅球的頻率在7/10到9/10之間”，需要摸27次以上；保證有95%以上的可能使得“摸到紅球的頻率在7/10到9/10之間”，需要摸60次以上。

習(xí)慣于從統(tǒng)計(jì)規(guī)律看問(wèn)題的人在思想上不拘執(zhí)一端：他既認(rèn)識(shí)到一種事物從總的方面看有一定的規(guī)律，也承認(rèn)例外。

——陳希孺“摸球”活動(dòng)的總結(jié)第一類：驗(yàn)證類（淡化）第二類：體會(huì)隨機(jī)類第三類：體會(huì)推斷類第四類：運(yùn)用頻率估計(jì)概率類第五類：體會(huì)頻率與概率的關(guān)系類驗(yàn)證類(淡化)老師拿出一個(gè)盒子，盒子里有9個(gè)白球、1個(gè)黃球。如果從中任意摸出1個(gè)球，可能是什么顏色的球?摸到白球的可能性有多大，黃球呢？(學(xué)生略做思考后交流。)

生1：可能摸到白球，也可能是黃球。生2：摸到白球的可能性是9/10，因?yàn)橛?0個(gè)球，其中9個(gè)是白球。（大家都表示同意）師:好，下面就請(qǐng)你們分小組摸球，記錄摸球的結(jié)果，驗(yàn)證一下大家的想法。體會(huì)隨機(jī)類

組織小組活動(dòng)：盒子里有3個(gè)黃球、3個(gè)白球。每次摸出1個(gè)，摸之前先猜猜你會(huì)摸到什么顏色的球?每次你都猜對(duì)了么?

活動(dòng)結(jié)束時(shí)，老師詢問(wèn):有沒(méi)有每次都猜對(duì)的同學(xué)?(全班只有2人舉手。)

師:為什么我們那么多的同學(xué)都沒(méi)有猜對(duì)呢?(此時(shí)，兩個(gè)猜對(duì)的同學(xué)急于向大家介紹方法。)

體會(huì)隨機(jī)類

生1:黃球和白球摸在手里的感覺(jué)不一樣!

師:(饒有興趣地)真的嗎?讓我們見(jiàn)識(shí)一下!

生1:(摸出一球，沒(méi)看前猜測(cè))黃色!(拿出后是白色，生1低頭坐了下去。)

師:怎么不試了?

生1：沒(méi)有信心了。

師:怎么就沒(méi)有信心了?

生1:摸在手里分辨不出來(lái).體會(huì)隨機(jī)類生2:我發(fā)現(xiàn)了，如果第一次摸出來(lái)的是黃球，第二次就猜是白球，是交錯(cuò)出現(xiàn)的。師:你剛才就是這樣猜的，結(jié)果都對(duì)了嗎?

生2連連點(diǎn)頭。師(半信半疑地)：還有這個(gè)規(guī)律?摸1個(gè)!(生2摸出1個(gè)白球，放回。)

生2:第二次一定是黃球。(第二次生2果真摸出一個(gè)黃球。)體會(huì)隨機(jī)類師：看來(lái)，下次……生2:第三次該是白球了!(第三次生2摸出個(gè)黃球。)師:這個(gè)規(guī)律還成立么?學(xué)生們直搖頭。師：通過(guò)剛才的摸球游戲，你發(fā)現(xiàn)了什么?生:盒子里又有黃球又有白球，摸出一個(gè)球，可能是黃球，也可能是白球.問(wèn)題——試驗(yàn)——數(shù)據(jù)——推斷。兩種骰子，一個(gè)均勻，一個(gè)不均勻，怎么辦？體會(huì)推斷袋子里有除顏色外完全相同的黃色球和藍(lán)色球，共10個(gè)。不打開(kāi)，能否有辦法知道袋子里哪種顏色的球多，各有多少個(gè)。師：摸幾次？生：10次？師：能不能多些？生：20次。體會(huì)推斷運(yùn)用頻率估計(jì)概率類父親和兒子決定誰(shuí)去看奧運(yùn)會(huì)男籃決賽。但是，與過(guò)去教學(xué)不同，使用決定是否去的工具并不是硬幣，而是啤酒瓶蓋。爸爸，我們拋啤酒瓶蓋吧。如果正面朝上就我去，如果反面朝上就您去。（學(xué)生紛紛舉手表示認(rèn)可。）生：我認(rèn)為是公平的，因?yàn)閮鹤拥臋C(jī)遇是二分之一，爸爸的機(jī)遇也是二分之一。做實(shí)驗(yàn)估計(jì)概率

案例:蒙特卡羅方法頻率與概率的關(guān)系

模擬試驗(yàn)學(xué)生在第一學(xué)段中將不再學(xué)習(xí)概率，主要理由是在基礎(chǔ)教育階段統(tǒng)計(jì)的重要性是大于概率的，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念是這部分內(nèi)容的核心。即使對(duì)于隨機(jī)的學(xué)習(xí)，如前所述，《標(biāo)準(zhǔn)》中也提出運(yùn)用數(shù)據(jù)分析來(lái)體會(huì)隨機(jī)性。四、隨機(jī)現(xiàn)象及簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的概率從