向量加法運算及其幾何意義含答案

2．2.1 向量加法運算及其幾何意義明目標、知重點1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意義及其幾何意義.2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法運算.3.了解向量加法的交換律和結合律，并能依據(jù)幾何意義作圖解釋向量加法運算律的合理性．1．向量的加法法則三角形法則如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內任取一點→→→A，作AB＝a，BC＝b，則向量AC叫做a→ →與b的和(或和向量)，記作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝叫做向量加法的三角形法則．21·世紀*對于零向量與任一向量 a的和有a＋0＝0＋a＝a.

→AC.上述求兩個向量和的作圖法則，平行四邊形法則如圖所示，已知兩個不共線向量→→OA，a，b，作OA＝a，OB＝b，則O、A、B三點不共線，以OB為鄰邊作平行四邊形，則以O為起點的對角線上的向量→OC＝a＋b，這個法則叫做兩個向量加法的平行四邊形法則． www-2-1-cnjy-com2．向量加法的運算律交換律：a＋b＝b＋a.結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．[情境導學] 兩個實數(shù)可以相加， 從而給數(shù)賦予了新的內涵． 如果向量僅停留在概念的層面上，那是沒有多大意義的．我們希望兩個向量也能相加， 拓展向量的數(shù)學意義，提升向量的理論價值，這就需要建立相關的原理和法則． 21*cnjy*com探究點一 向量加法的三角形法則導引兩個向量可以相加，并且兩個向量的和還是一個向量．一般地，求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．如圖所示，是上海到臺北的航線示意圖：一是經香港轉停到臺北；二是由上海直接飛往臺北．通過上面地圖中客機的位移，我們得到向量加法的三角形法則：→→→OA＋AB＝OB.思考1使用向量加法的三角形法則具體做法是什么？答先把兩個向量首尾順次相接，然后連接第一個向量的始點和后一個向量的終點，并指向后一個向量的終點，就得到兩個向量的和向量．【來源：21cnj*y.co*m】思考2當向量a，b是共線向量時，a＋b又如何作出？答(1)當a與b同向時：→ → →OB＝OA＋AB＝a＋b.當a與b反向時：→ → → → →OA＝a，AB＝b，OB＝OA＋AB＝a＋b.思考3 |a＋b|與|a|和|b|之間的大小關系如何？答 當a與b同向共線時， a＋b與a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.當a與b反向共線時，若 |a|>|b|，則a＋b與a的方向相同，且 |a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，則a＋b與b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.2-1-c-n-j-y探究點二向量加法的平行四邊形法則思考1向量加法還可以用平行四邊形法則，其具體做法是什么？答先把兩個已知向量的起點平移到同一點，再以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形，則這兩鄰邊所夾的對角線就是這兩個已知向量的和．【出處：21教育名師】以點A為起點作向量→→AB＝a，AD＝b，以AB、AD為鄰邊作?ABCD，則以A為起點的對角線→→AC就是a與b的和，記作a＋b＝AC，如圖．【版權所有：21教育】對于零向量與任一向量a，我們規(guī)定：a＋0＝0＋a＝a.思考2實數(shù)的加法運算滿足交換律、結合律，即對任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．那么向量的加法也滿足交換律、結合律嗎？如何檢驗？答向量的加法滿足交換律，根據(jù)下圖中的平行四邊形ABCD驗證向量加法的交換律：a→→＋b＝b＋a.(注：AB＝a，AD＝b)．21教育名師原創(chuàng)作品→ → → →∵AC＝AB＋BC，∴AC＝a＋b.→ → → →∵AC＝AD＋DC，∴AC＝b＋a.∴a＋b＝b＋a.向量的加法也滿足結合律，根據(jù)下圖中的四邊形，驗證向量加法的結合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．→ → → → → →∵AD＝AC＋CD＝(AB＋BC)＋CD，→∴AD＝(a＋b)＋c，→→→→→→又∵AD＝AB＋BD＝AB＋(BC＋CD)，→∴AD＝a＋(b＋c)，∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．思考3向量加法的平行四邊形法則和三角形法則有何區(qū)別與聯(lián)系？答向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別：①三角形法則中強調“首尾相連”，平行四邊形法則中強調的是“共起點”；②三角形法則適用于所有的兩個非零向量求和，而平行四邊形僅適用于不共線的兩個向量求和．聯(lián)系：當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的．【來源：】例1如圖，已知向量a、b，求作向量a＋b.解在平面內任取一點→→O(如下圖)，作OA＝a，OB＝b，以OA、OB為鄰邊做?OACB，連接OC，則OC＝OA＋OB＝a＋b.→→→21*cnjy*com反思與感悟法則作圖．跟蹤訓練 1

已知向量 a與向量如圖，在平行四邊形

b，要作出和向量ABCD中，O

是

a＋b，關鍵是準確規(guī)范地依據(jù)平行四邊形AC和BD的交點．→→(1)AB＋AD＝________；→→→(2)AC＋CD＋DO＝________；→→→(3)AB＋AD＋CD＝________；→→→(4)AC＋BA＋DA＝________.答案→→→(1)AC(2)AO(3)AD(4)0探究點三 向量加法的多邊形法則向量加法的三角形法則可以推廣為多個向量求和的多邊形法則， 即把每個向量平移， 使這些向量首尾相連，則由第一個向量的起點指向最后一個向量終點的向量就是這些向量的和向量．→→→→即：A1A2＋A2A3＋A3A4＋,＋An－1An＝A1An.→→→或A1A2＋A2A3＋, ＋An－1An＋AnA1＝0.這是一個極其簡單卻非常有用的結論 (如圖)．利用向量加法的多邊形法則化簡多個向量的和有時非常有效．例如，在正六邊形 ABCDEF→→→→→→中，AC＋BD＋CE＋DF＋EA＋FB＝________.答案0解析→→→→→→AC＋BD＋CE＋DF＋EA＋FB＝→→→→→→→→→→→→→→→(AB＋BC)＋(BC＋CD)＋(CD＋DE)＋(DE＋EF)＋(EF＋FA)＋(FA＋AB)＝(AB＋BC＋CD＋→→→→→→→→→DE＋EF＋FA)＋(BC＋CD＋DE＋EF＋FA＋AB)＝0＋0＝0.例2化簡：→→→→→(1)BC＋AB；(2)DB＋CD＋BC；→→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.解→→→→→(1)BC＋AB＝AB＋BC＝AC.→→→→→→(2)DB＋CD＋BC＝BC＋CD＋DB→→→→→＝(BC＋CD)＋DB＝BD＋DB＝0.→→→→→→→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA→→→→→→→→→＝AC＋CD＋DF＋FA＝AD＋DF＋FA＝AF＋FA＝0.反思與感悟解決該類題目要靈活應用向量加法運算律，注意各向量的起、終點及向量起、終點字母排列順序．跟蹤訓練2→→→化簡：(1)AB＋CD＋BC.→→→→(2)(MA＋BN)＋(AC＋CB)．→→→→(3)AB＋(BD＋CA)＋DC.→→→→→→→解(1)AB＋CD＋BC＝AB＋BC＋CD＝AD.→→→→→→→→(2)(MA＋BN)＋(AC＋CB)＝(MA＋AC)＋(CB＋BN)→→→＝MC＋CN＝MN.→→→→→→→→(3)AB＋(BD＋CA)＋DC＝AB＋BD＋DC＋CA＝0.1．如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則下列等式中錯誤的是 ( )→ → →A.FD＋DA＋DE＝0→ → →B.AD＋BE＋CF＝0→ → → →C.FD＋DE＋AD＝AB→ → → →D.AD＋EC＋FD＝BD答案D解析→→→→→FD＋DA＋DE＝FA＋DE＝0，→→→→→→AD＋BE＋CF＝AD＋DF＋FA＝0，→→→→→→→→FD＋DE＋AD＝FE＋AD＝AD＋DB＝AB，→→→→→→→AD＋EC＋FD＝AD＋0＝AD＝DB≠BD.故選D.2．設E是平行四邊形ABCD外一點，如圖所示，化簡下列各式：→ →(1)DE＋EA＝________；→ → →(2)BE＋AB＋EA＝______；→ → →(3)DE＋CB＋EC＝________；→→→→(4)BA＋DB＋EC＋AE＝________.答案→(2)0→→(1)DA(3)DB(4)DC3．設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內任意一點，→→→→)21·cn·jy·com則OA＋OB＋OC＋OD等于(→→→→A.OMB．2OMC．3OMD．4OM答案D解析因為點M為平行四邊形ABCD對角線的交點，所以點M是AC和BD的中點，由平行四邊形法則知→→→→→→→→→→→OA＋OC＝2OM，OB＋OD＝2OM，故OA＋OC＋OB＋OD＝4OM.4.如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點，且BP＝QC.→→→→求證：AB＋AC＝AP＋AQ.證明→→→→→→∵AP＝AB＋BP，AQ＝AC＋CQ，→→→→→→∴AP＋AQ＝AB＋AC＋BP＋CQ.→→→→又∵BP＝QC且BP與CQ方向相反，∴BP＋CQ＝0，→→→→→→→→∴AP＋AQ＝AB＋AC，即AB＋AC＝AP＋AQ.[呈重點、現(xiàn)規(guī)律 ]1．三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個法則是統(tǒng)一的．當兩個向量首尾相連時常選用三角形法則，當兩個向量共始點時，常選用平行四邊形法則．2．向量的加法滿足交換律，因此在進行多個向量的加法運算時，可以按照任意的次序和任意的組合去進行．一、基礎過關1．已知向量 a表示“向東航行 1km”，向量A．向東南航行 2km B．向東南航行 2kmC．向東北航行 2km D．向東北航行 2km

b表示“向南航行

1km”，則

a＋b表示(

)答案

A2．如圖，在平行四邊形

ABCD

中，O

是對角線的交點，下列結論正確的是

(

)→ → → →A.AB＝CD，BC＝AD→ → →B.AD＋OD＝DA→ → → →C.AO＋OD＝AC＋CD→ → → →D.AB＋BC＋CD＝DA答案 C3．a，b為非零向量，且 |a＋b|＝|a|＋|b|，則( )A．a∥b，且a與b方向相同B．a，b是共線向量且方向相反C．a＝bD．a，b無論什么關系均可答案A4.如圖所示，在平行四邊形→→→ABCD中，BC＋DC＋BA等于()→→A.BDB.DB→→C.BCD.CB答案C解析→→→→→→→→BC＋DC＋BA＝BC＋(DC＋BA)＝BC＋0＝BC.→→→5．已知O是△ABC所在平面內一點，D為BC邊的中點，且2OA＋OB＋OC＝0，那么()→→→→A.AO＝ODB.AO＝2OD→→→→C.AO＝3ODD．2AO＝OD答案A解析→→→∵OB＋OC＝2OD，→→→→∴2OA＋2OD＝0.∴AO＝OD.6．在平行四邊形→→→→ABCD中，BC＋DC＋BA＋DA＝________.答案0→→→→解析注意DC＋BA＝0，BC＋DA＝0.→→→→7．已知四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且AO＝OC，DO＝OB.求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明→→→→→→如圖，AB＝AO＋OB，DC＝DO＋OC，→→→→→→又∵AO＝OC，OB＝DO，∴AB＝DC.∴AB＝DC且AB∥DC.∴四邊形ABCD為平行四邊形．二、能力提升8．已知四邊形ABCD是一菱形，則下列等式中成立的是()→→→→→→A.AB＋BC＝CAB.AB＋AC＝BC→→→→→→C.AC＋BA＝ADD.AC＋AD＝DC答案C解析→→→→→→→→→→→對于A，AB＋BC＝AC≠CA；對于B，AB＋AC≠BC；對于C，AC＋BA＝BA＋AC＝→→→BC，又AD＝BC，→→→；對于→→→∴AC＋BA＝ADD，AC＋AD≠DC.9．設|a|＝8，|b|＝12，則|a＋b|的最大值與最小值分別為________．答案20,4解析當a與b共線同向時，|a＋b|max＝20；當a與b共線反向時，|a＋b|min＝4.→→→10．已知點G是△ABC的重心，則GA＋GB＋GC＝___________________.答案0解析如圖所示，連接AG并延長交BC于E點，點E為BC的中點，延長AE到D點，使GE＝ED，→ → → → →則GB＋GC＝GD，GD＋GA＝0，→ → →∴GA＋GB＋GC＝0.11．一艘船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度和船實際速度．解如圖所示，

→OA表示水流速度，

→OB表示船垂直于對岸的方向行駛的速度，

→OC表示船實際航→行的速度，∠AOC＝30°，|OB|＝5.∵四邊形OACB為矩形，