高中數(shù)學(xué)蘇教版選修1-1課件：第三章-章末復(fù)習(xí)提升課件

章末復(fù)習(xí)提升第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識網(wǎng)絡(luò)整體構(gòu)建要點歸納主干梳理方法總結(jié)思想構(gòu)建欄目索引知識網(wǎng)絡(luò)整體構(gòu)建返回

要點歸納主干梳理函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率.2.曲線的切線方程利用導(dǎo)數(shù)求曲線過點P的切線方程時應(yīng)注意：(1)判斷P點是否在曲線上；(2)如果曲線y＝f(x)在P(x0，f(x0))處的切線平行于y軸(此時導(dǎo)數(shù)不存在)，可得方程為x＝x0；P點坐標(biāo)適合切線方程，P點處的切線斜率為f′(x0).3.利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和四則運算法則求導(dǎo)數(shù)，熟記基本求導(dǎo)公式，熟練運用法則是關(guān)鍵，有時先化簡再求導(dǎo)，會給解題帶來方便.因此觀察式子的特點，對式子進行適當(dāng)?shù)淖冃问莾?yōu)化解題過程的關(guān)鍵.4.判斷函數(shù)的單調(diào)性(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)注意在某一區(qū)間內(nèi)f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分條件.5.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值要注意(1)極值是一個局部概念，是僅對某一點的左右兩側(cè)鄰近區(qū)域而言的.(2)連續(xù)函數(shù)f(x)在其定義域上的極值點可能不止一個，也可能沒有極值點，函數(shù)的極大值與極小值沒有必然的大小聯(lián)系，函數(shù)的一個極小值也不一定比它的一個極大值小.(3)可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是導(dǎo)數(shù)為零的點，但函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點，不一定是該函數(shù)的極值點.因此導(dǎo)數(shù)為零的點僅是該點為極值點的必要條件，其充要條件是加上這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號.6.求函數(shù)的最大值與最小值(1)函數(shù)的最大值與最小值：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)，在[a，b]上必有最大值與最小值；但在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1,1).(2)求函數(shù)最值的步驟一般地，求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上最大值與最小值的步驟如下：①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.7.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實際問題，關(guān)鍵在于建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型(函數(shù)關(guān)系)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點x0，使f′(x0)＝0，則f(x0)是函數(shù)的最值.返回方法總結(jié)思想構(gòu)建題型一導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在與切線方程有關(guān)的問題上.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的關(guān)鍵是弄清楚所給的點是不是切點，常見類型有兩種：一種是求“在某點處的切線方程”，此點一定為切點，先求導(dǎo)，再求斜率，進而求出切線方程；另一種是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設(shè)切點為Q(x1，y1)，則切線方程為y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切線過點P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1). ①又已知y1＝f(x1) ②由①②求出x1，y1的值，即求出了過點P(x0，y0)的切線方程.切線問題是高考的熱點內(nèi)容之一，在高考試題中既有選擇題、填空題，也有綜合性大題，難度一般為中等.例1

已知函數(shù)f(x)＝x－alnx(a∈R).(1)當(dāng)a＝2時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程；解析答案∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,∴y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1),即x＋y－2＝0.(2)求函數(shù)f(x)的極值.解析答案①當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；

②當(dāng)a>0時，由f′(x)＝0，解得x＝a;∵x∈(0，a)時，f′(x)<0；x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，∴f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－alna，無極大值.綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－alna，無極大值.反思與感悟反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直線m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；解因為f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.解析答案(2)是否存在實數(shù)k，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是y＝g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由.解析答案解

因為直線m過定點(0,9)，先求過點(0,9)，且與曲線y＝g(x)相切的直線方程.解析答案當(dāng)x0＝1時，g′(1)＝12，g(x)＝21，切點坐標(biāo)為(1,21)，所以切線方程為y＝12x＋9；當(dāng)x0＝－1時，g′(－1)＝0，g(－1)＝9，切點坐標(biāo)為(－1,9)，所以切線方程為y＝9.下面求曲線y＝f(x)的斜率為12和0的切線方程：因為f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，所以f′(x)＝－6x2＋6x＋12.由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.當(dāng)x＝0時，f(0)＝－11，此時切線方程為y＝12x－11；當(dāng)x＝1時，f(1)＝2，此時切線方程為y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切線.由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解析答案解得x＝－1或x＝2.當(dāng)x＝－1時，f(－1)＝－18，此時切線方程為y＝－18；當(dāng)x＝2時，f(2)＝9，此時切線方程為y＝9，所以y＝9是公切線.綜上所述，當(dāng)k＝0時，y＝9是兩曲線的公切線.題型二應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減.解析答案反思與感悟解由題知，f(x)的定義域是(0，＋∞)，設(shè)g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判別式Δ＝a2－8.解析答案反思與感悟當(dāng)x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗反思與感悟反思與感悟求解函數(shù)y＝f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間.特別要注意定義域，寫單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開，絕對不能用“∪”連接.解析答案(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，當(dāng)x＜0時，f′(x)＞0；當(dāng)x＞0時f′(x)＜0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞).(2)證明：當(dāng)f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)時，x1＋x2＜0.解析答案解析答案同理，當(dāng)x＞1時，f(x)＜0.當(dāng)f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)時，不妨設(shè)x1＜x2，由(1)，知x1∈(－∞，0)，x2∈(0,1).下面證明?x∈(0,1)，f(x)＜f(－x)，當(dāng)x∈(0,1)時，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減，所以?x∈(0,1)，f(x)＜f(－x).又因為x2∈(0,1)，所以f(x2)＜f(－x2)，從而f(x1)＜f(－x2).因為x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，所以x1＜－x2，即x1＋x2＜0.題型三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)檢驗f′(x)＝0的根的兩側(cè)f′(x)的符號.若左正右負(fù)，則f(x)在此根處取得極大值；若左負(fù)右正，則f(x)在此根處取得極小值；否則，此根不是f(x)的極值點.2.求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值的方法與步驟(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個值為最大值，最小的一個值為最小值.特別地，①當(dāng)f(x)在[a，b]上單調(diào)時，其最小值、最大值在區(qū)間端點取得；②當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個極值點時，若在這一點處f(x)有極大(小)值，則可以斷定f(x)在該點處取得最大(小)值，

這里(a，b)也可以是(－∞，＋∞).解析答案解f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，當(dāng)x＝－2時，f(－2)＝2，即切點為(－2,2).又因為切線斜率k＝f′(－2)＝－8，所以，所求切線方程為y－2＝－8(x＋2)，即8x＋y＋14＝0.解析答案(2)求函數(shù)y＝f(x)在[－2,1]上的最大值與最小值.解當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：解析答案(1)若f(x)在x＝2時取得極值，求a的值；因為f(x)的定義域是(0，＋∞)，所以當(dāng)x∈(0,2)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以當(dāng)a＝4時，x＝2是一個極小值點，則a＝4.(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解析答案解析答案所以g(x)在x∈(1，＋∞)上為增函數(shù)，題型四導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)是高考的必考內(nèi)容，也是高考的重點、熱點.考題利用導(dǎo)數(shù)作為工具，考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值與最值，參數(shù)的取值范圍等問題，若以填空題出現(xiàn)，則難度以中低檔題為主；若以解答題形式出現(xiàn)，則難度以中檔以上為主，有時也以壓軸題的形式出現(xiàn).考查中常滲透函數(shù)、不等式等有關(guān)知識，綜合性較強.解析答案解f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－a)(x－3a).令f′(x)＝0，得x＝a或x＝3a.當(dāng)x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：x(－∞，a)a(a,3a)3a(3a，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘極小值↗極大值↘∴f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù).當(dāng)x＝3a時，f(x)取得極大值，f(x)極大值＝f(3a)＝b.解析答案(2)若當(dāng)x∈[a＋1，a＋2]時，恒有|f′(x)|≤a，