2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷文科新課標Ⅰ

2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標I）一、選擇題.已知集合4={%|%2—3%—4<0},B={-4,135},則4GB=（ ）A.{-4,1} B.{1,5} C.{3,5} D.{1,3}【答案】D【考點】一元二次不等式的解法交集及其運算【解析】此題暫無解析【解答】解：由%2—3%—4<0,解得一1<%<4,所以4={x\-1<x<4].又因為B={—4,135},所以4GB={1,3}.故選。..若z=1+2i+i3,則|z|=（）A.O B.l C.V2 D.2【答案】C【考點】復(fù)數(shù)的模【解析】此題暫無解析【解答】解：因為z=l+2i+i3=1+2i—i=1+3所以|z|=V12+12=V2.故選C..埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）試卷第1頁，總20頁

A.血- B盧1- C盧1- D盧-【答案】C【考點】棱錐的結(jié)構(gòu)特征【解析】此題暫無解析【解答】解：如圖，& C設(shè)正四棱錐邊長為a,=& C設(shè)正四棱錐邊長為a,=1am，—〃。乙，1a2—m2，4de；h2）21am2整理得4622ama2—0，令團—t，a:.4t22t1—0，二%—14里t2—14在（舍去）.故選c..設(shè)。為正方形4BCD的中心，在0，A，B，C，。中任取3點，則取到的3點共線的概率為()A.1 B.2 C.1 D.45 2 5【答案】A【考點】試卷第2頁，總20頁列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【解析】此題暫無解析【解答】解：如圖，從0,A,B,C,D5個點中任取3個有[0,A,B},{0,A,C},{0,4。},[0,B,C},{0,B,D},{0,C,D},{A,B,C},{A,B,D},{4&D},{B,C,D},共10種不同取法，3點共線只有{4,0,C}與{B,。,。}共2種情況，由古典概型的概率計算公式知，取到3點共線的概率為2=1.10 5故選4.某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度％（單位：。。）的關(guān)系，在20個不同溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)（%匕）。=1,2,…,20）得到下面的散點圖：20% 訃| 1 1 1 10 in20 30 40溫度凡由此散點圖，在10。。至40。。之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度第的回歸方程類型的是（）A.y=a+bx B.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+blnx【答案】D【考點】散點圖【解析】此題暫無解析【解答】解：由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖象附近，因此，最適宜作為發(fā)芽率y和溫度％的回歸方程類型的是y=a+bln%.故選D..已知圓第2+y2-6%=0,過點（1,2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為試卷第3頁，總20頁

()D.4A.1 B.2 C.D.4【答案】B【考點】與圓有關(guān)的最值問題【解析】此題暫無解析【解答】解：圓第2+y2—6%=0化為(％—3)2+y2=9,所以圓心。坐標為C(3,0)，半徑為3，設(shè)P(1,2)，當過點P的直線和直線CP垂直時，圓心到過點P的直線的距離最大，所求的弦長最短,根據(jù)弦長公式最小值為2/9—|CP|2=279-8=2.故選B.7.設(shè)函數(shù)f(%)7.設(shè)函數(shù)f(%)=cos(3%+與在［—兀，兀］的圖象大致如圖,6則f(%)的最小正周期為()A10」,9A10」,9bP6【答案】C【考點】三角函數(shù)的周期性及其求法余弦函數(shù)的圖象【解析】此題暫無解析【解答】解：由題圖可得：函數(shù)圖象過點(—甘,0)，將其代入函數(shù)f(%)可得：cos(—g?3+6)=0；又(—泣,0)是函數(shù)/"(%)圖象與％軸負半軸的第一個交點,9d.m2試卷第4頁，總20頁解得：3=2,所以函數(shù)f(%)的最小正周期為解得：3=2,所以函數(shù)f(%)的最小正周期為T=故選c.8.設(shè)alog』=2,則4a=( )A— B.， C.1【答案】B【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)【解析】此題暫無解析【解答】解：由alog34=2可得10g34a=2，所以4a=9，D.16故有4a=1.9故選B.9.執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的九=()A.17 B.19 C.21 D.23【答案】C【考點】程序框圖【解析】此題暫無解析【解答】試卷第5頁，總20頁

解：依據(jù)程序框圖的算法功能可知，輸出的九是滿足1+3+5+…+九＞100的最小正奇數(shù).因為1+3+5+…+九=（1+九）（*+1）=1（九+1）2＞100，2 4解得九＞19，所以輸出的九=21.故選C.10.設(shè)｛4｝是等比數(shù)列，且4+4+%=1，4+q+4=2，則%+^7+^8=()A.12 B.24 C.30 D.32【答案】D【考點】等比數(shù)列的通項公式【解析】1【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q，則也+4+%=%(1+q+q2)=1，。2+%+%=%q+%q2+%q3=%q(1+q+q2)=2，故q=2，因此a6+4+4=%q5+&q6+a1Q7=%q5(1+q+q2)=q5=32.故選D11.設(shè)々/2是雙曲線C：%2則△。尸產(chǎn)2的面積為（）2，A.72B.11.設(shè)々/2是雙曲線C：%2則△。尸產(chǎn)2的面積為（）2，A.72B.3C.52D.2【答案】B【考點】雙曲線的應(yīng)用雙曲線的定義【解析】試卷第6頁，總20頁此題暫無解析【解答】解：由題知，a=1,b=V3,c=2,々(一2,0),月(2,0).?:\0P\=2,故點P在以F1%為直徑的圓上，故P41PF2，則\PFJ2+\PF2\2=(2c)2=16.由雙曲線的定義知\\PFJ-\P%\\=2a=2，???\P4\2+\PF2\2-2\P4\\PF2\=4，???\Pq\\PF2\=6，：,△P4F2的面積為2\。4\\PF2\=3.故選B.12.已知4B，C為球。的球面上的三個點，O01為△4BC的外接圓，若Oq的面積為4兀，4B=BC=40=00］，則球。的表面積為( )A.64兀 B.48兀 C.36兀 D.32兀【答案】【考點】正弦定理球的體積和表面積【解析】此題暫無解析【解答】解：設(shè)圓。］半徑為r，球的半徑為R，依題意得兀/2=4兀,「.r=2.由正弦定理可得4B=2rsin60°=273,?..嗎=4B=273,根據(jù)圓截面性質(zhì)。。11根據(jù)圓截面性質(zhì)。。11平面4BC，???。。.10.4,R=04=7。。2+0A2=7。。2+T2=4,.1..「?球。的表面積為S=4兀R2=64兀.故選4試卷第7頁，總20頁

二、填空題2x+y—240,若％，y滿足約束條件％—y—120,貝物=%+7y的最大值為,y+1>0,【答案】1【考點】求線性目標函數(shù)的最值【解析】此題暫無解析【解答】解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標函數(shù)z=%+7y目標函數(shù)z=%+7y即：y=—7%+；z,其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，據(jù)此結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最大值，聯(lián)立直線方程:2%+聯(lián)立直線方程:2%+y—2=0,%—y—1=0,可得點4的坐標為：4(1,0).據(jù)此可知目標函數(shù)的最大值為:z=1+7x0=1.故答案為：1.設(shè)向量Z=(1,—1),b=(6+1,26—4)，若N，b，則加=【答案】5【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系平面向量數(shù)量積【解析】此題暫無解析【解答】解：由Z，B，可得z?^=1x(m+1)+(—1)x(2m—4)=0，試卷第8頁，總20頁解得加=5.故答案為：5.曲線y=ln%+%+1的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為【答案】y=2x【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【解析】此題暫無解析【解答】解：設(shè)切線的切點坐標為(%,y0)，y=ln%+%+1，y\ =—+1=2，久=久0 %0故%0=Ly0=2，所以切點坐標為(1,2)，所求的切線方程為y-2=2(%-1)，即y=2%.故答案為：y=2%.數(shù)列｛a/滿足4+2+(-1)九4=3八一1，前16項和為540，則％=.【答案】7【考點】數(shù)列的求和數(shù)列遞推式【解析】此題暫無解析【解答】解：an+2+(-1)nan=3n-1，當n為奇數(shù)時，an+2=an+3n-1；當n為偶數(shù)時，an+2+an=3n-1.設(shè)數(shù)列｛a1的前幾項和為S九，516=^1+^2+^3+^4+^+^16=%+4+a5H +a15+(4+a/+ (44+a16)=4+(a[+2)+(a1+10)+(a1+24)+(4+44)+(4+70)+(4+102)+(4+140)+(5+17+29+41)=8al+392+92=8al+484=540，?，?aI=7.故答案為：7.試卷第9頁，總20頁三、解答題某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標準分為4,B，C，。四個等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于4級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元,50元，20元；對于。級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為4級品的概率;(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)？【答案】解：(1)由表可知，甲廠加工出來的一件產(chǎn)品為4級品的概率為皿=0.4,100乙廠加工出來的一件產(chǎn)品為4級品的概率為需=0.28；(2)甲分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤為：40X(90-25)+20X(50-25)+20X(20-25)-20X(50+25)=1500(元)，所以甲分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤為15元每件；乙分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤為：28X(90-20)+17X(50-20)+34X(20-20)-21X(50+20)=1000(元)，所以乙分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤為10元每件.故廠家選擇甲分廠承接加工任務(wù).【考點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)古典概型及其概率計算公式【解析】此題暫無解析【解答】解：(1)由表可知，甲廠加工出來的一件產(chǎn)品為4級品的概率為100=0.4,乙廠加工出來的一件產(chǎn)品為4級品的概率為100=0.28；試卷第10頁，總20頁(2)甲分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤為40X(90-25)+20X(50-25)+20X(20-25)-20X(50+25)=1500(元),所以甲分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤為15元每件；乙分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤為28X(90-20)+17X(50-20)+34X(20-20)-21X(50+20)=1000(元),所以乙分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤為10元每件.故廠家選擇甲分廠承接加工任務(wù).△4BC的內(nèi)角4B，C的對邊分別為a，b，5已知3=150。.(1)若a=V3c,b=2V7,求△ZBC的面積；(2)若sin4+V3sinC=應(yīng)，求C.2【答案】解：(1)由余弦定理可得：力2=28=a2+c2-2ac?cos150。=7c2,「.c=2,a=2v3,???△480的面積5=2四$仍8=73.(2)<4+C=30。，」.sin4+V3sinC=sin(30°-C)+V3sinCV3=5cosc+;-sinC=sin(C+30。)=V2.:0。<0<30。，?二30o<c+30°<60°,」.C+30。=45°,???C=15°.【考點】兩角和與差的正弦公式解三角形余弦定理【解析】此題暫無解析【解答】解：(1)由余弦定理可得：力2=28=a2+c2-2ac-cos150°=7c2,「.c=2,a=2V3,「.△4BC的面積S=^acsinB=V3試卷第11頁，總20頁(2):A+C=30°,」.sin4+j3sinC=sin(30°-C)+V3sinC1 V3=5cosc+—sinC乙 乙=sin(C+30°)=返.20°<C<30。，二30。<。+30。<60。,「.C+30°=45°,??C=15°如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，△4BC是底面的內(nèi)接正三角形，P為。。上一點，/4PC=90°.⑴證明：平面P4B1平面P4C；(2)設(shè)。0=魚，圓錐的側(cè)面積為盜兀，求三棱錐。-48。的體積.【答案】(1)證明：連接CO,延長CO交4B于點E，如圖，??。是正三角形4BC外接圓的圓心,??.CO14B.;在圓錐中易知P。1平面4BC,4Bu平面4BC,:.P014B.又。0,POu平面POC,COGPO=0,?4B1平面POC.又。。u平面POC,試卷第12頁，總20頁AB1PC.vaAPC=90。，??PC1AP.XvPA,4Bu平面P4B,PA^AB=A,PC1平面P4B.1:PCu平面P4C,??平面。4。1平面P4B.(2)解：由。。=&,圓錐的側(cè)面積為國，設(shè)底面圓半徑為丁，母線長為Z，r2+(V2)2=12,1-2nrl=V3兀，??r=1,I=V3,AB=BC=AC=V3.vPA1PC,PA=PC,:，PA=PC=&2在直角三角形4Po中，AO=1,PA",2:，PO=22???V=1S-PO=R.PABC3△ABC 8'【考點】平面與平面垂直的判定柱體、錐體、臺體的體積計算【解析】此題暫無解析【解答】(1)證明：連接CO,延長CO交4B于點E，如圖，vO是正三角形4BC外接圓的圓心,aCO1AB.V在圓錐中易知P。1平面4BC,ABu平面4BC,:.P01AB.XCO,POu平面POC,CO^PO=0,aAB1平面POC.XPCu平面POC,試卷第13頁，總20頁AB1PC.Z.APC=90°,??PC1AP.又???P4,4Bu平面R4B,PAC\AB=A,PC1平面P4B.又；PCu平面P4C,平面P4C1平面P4B.(2)解：由0。=衣，圓錐的側(cè)面積為倔r,設(shè)底面圓半徑為r,母線長為Z,r2+(V2)2=12,1-271rl=y/3n,2??r=1,1=V3,AB=BC=AC=V3.PALPC,PA=PC,PA=PC=&2在直角三角形4Po中，AO=1,PA=顯2PO=五,2V=1S ?PO=&PABC3"BC 8-已知函數(shù)f(%)=exa(x+2).(1)當a=l時，討論/'(%)的單調(diào)性；(2)若f(%)有兩個零點，求a的取值范圍.【答案】解：(1)由題知f(%)的定義域為(8,+00),且/，(%)=e久a.當a=l時，f，(％)=eK1,令/'，(%)=0,解得％=0.當％e(8,0)時，/■，(%)<0；當％e(0,+8)時，f'(x)>0.f(%)在(8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+00)上單調(diào)遞增.(2)①當a40時，戶(%)>0恒成立，f(%)在(8,+8)上單調(diào)遞增，不符合題意；②當a>0時，令戶(%)=0,解得％=Ina.當％e(8,Ina)時，戶(%)<0；當％e(Ina,+8)時，/>(%)>0,f(%)在％e(8,Ina)上單調(diào)遞減，在%e(Ina,+8)上單調(diào)遞增,f(x).=/(Ina)=aa(lna+2)=a(1+Ina),要使花0有兩個零點，貝Ijf(lna)<0即可，則1+Ina>0a>e1.綜上，若f(%)有兩個零點，貝be(婷，+8).試卷第14頁，總20頁【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)零點有關(guān)的問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】此題暫無解析【解答】解：⑴由題知f⑺的定義域為(-叼+8)，且/(%)=e久-a.當a=1時，f1(x)=e久一1，令『(%)=0，解得％=0.當?shù)?(-8,0)時，/(%)<0；當?shù)?(0,+8)時，/(%)>0.???f(%)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.(2)①當a40時，f，(%)>0恒成立，f(%)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，不符合題意；②當a>0時，令/(%)=0,解得％=lna.當?shù)?(-8,lna)時，/,(%)<0；當?shù)?(lna,+8)時，/(%)>0,「.f(%)在第6(-8,lna)上單調(diào)遞減，在％6(lna,+8)上單調(diào)遞增，「.f(%) =f(lna)=a-a(lna+2)=-a(1+lna),min「?要使f(%)有兩個零點，則f(lna)<0即可，則1+lna>0oa>e-1.綜上，若f(%)有兩個零點，則a6(e-i,+8).已知4B分別為橢圓E：0+y2=1(a>1)的左、右頂點，G為E的上頂點，就?a2的=8,P為直線％=6上的動點，P4與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點.【答案】(1)解：依題意作出如下圖象由橢圓方程E：^+y2=1(a>1),可得：4(-a,0),B(a,0),G(0,1),「.4G=(a,1),GB=(a,-1),?二心浦=a2-1=8,試卷第15頁，總20頁「.a2=9,「?橢圓方程為：?+y2=1.(2)證明：設(shè)P(6,y0),則直線4P的方程為：y=^^Q+3),6(3)即：y=%(汽+3).9聯(lián)立直線4P的方程與橢圓方程可得：+y2=1,=%(汽+3),9整理得：(y2+9)型+6y/+9y281=0,解得：汽=3或汽=3y2+27.%+9將汽=3y2+27代入直線y=Xo(%+3),72+9 9可得：y=』，4+9所以點C的坐標為(3+27,%).陰+9 %+9同理可得：點。的坐標為(監(jiān)-,A).用+1用+1???直線C。的方程為-6m-(2^-0)y (j=y0+9,)，0+1(X科P-),用+1 3y0+27絹3一 %+1TOC\o"1-5"\h\zy0+9 y0+1整理可得：y+-2^=8V0(V2+3)(x苴/_)用+1 6(9y4) 用+1=—晚0—(% 3yo3)，6(3y2)用+1整理得：y=4丫0汽+芳=4丫0(第3)，3(3y2) 723 3(3y2) 2故直線CD過定點(；,0).【考點】圓錐曲線中的定點與定值問題橢圓的標準方程平面向量數(shù)量積【解析】此題暫無解析【解答】(1)解：依題意作出如下圖象，試卷第16頁，總20頁由橢圓方程E：理+y2=1(a>1),a2可得：4(-a,0),B(a,0),G(0,1),「.Atj=(a,1),GB=(a,—1),「.Ab-GB=a.2—1=8,「.tt2=9,「?橢圓方程為：g+y2=1(2)證明：設(shè)P(6,y0),則直線4P的方程為：y=』-口。+3),6一(—3)即：y=^?(x+3).9聯(lián)立直線4P的方程與橢圓方程可得:a+y2=1,9y=^^(x+3),9整理得：(y2+9)%2+6y2%+9y2—81=0,解得：x=—3或==一享科27y（2+9將第=-3/+27代入直線y=埠（汽+3）,72+9 9可得：y=-62+-，所以點C的坐標為（-3里西,4）.72+9 72+9同理可得：點。的坐標為（好3,一%）.陰+1呼+1???直線cd的方程為-6nr一(-2ri0)y—(=2^?)=田19yo+1(%—3y2-3),y2+1 -3y2+27一統(tǒng)-3 y(2+1/0+9 y°+1整理可得：y+且0-=8丫0(丫2+3)(2-獨2-3)y2+1 6(9-y4) y2+1=—與一(%—3y2-3)，6(3—7°) y°+1整理得：y=4丫0汽+--=4丫0(=—3)，3(3—72) 72—3 3(3—72) 2故直線CD過定點(2,0).試卷第17頁，總20頁

y—rcski~在直角坐標系第0y中，曲線C,的參數(shù)方程為 " （t為參數(shù)）.以坐標原點為極1 （y=sin^t點，％軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線q的極坐標方程為4pcos6-16psin0+3=0.（1）當k=l時，Q是什么曲線？（2）當k=4時，求、與q的公共點的直角坐標.【答案】解：（1）當k=l時，曲線的的參數(shù)方程為“=8：'（t為參數(shù)）,— 1 （y=sint兩式平方相加得％2+y2=1,所以曲線J表示以坐標原點為圓心，半徑為1的圓.y-rcs43（2）當k=4時，曲線Q的參數(shù)方程為一 （t為參數(shù)），1 1y=sin4t所以第20,y>0,曲線q的參數(shù)方程化為曲線q的參數(shù)方程化為'F=C0S2t,=sin2t（t為參數(shù)）,兩式相加得曲”q方程為?+d=1,得Jy=1-弋x,平方得y=%—2?+l,0<%<1.0<y<1.曲線G的極坐標方程為4pc