2021-2022學(xué)年安徽省合肥市廬江縣高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年安徽省合肥市廬江縣高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

I.直線瓜+y+3=0的傾斜角為（）

A.工B.工C.二D.亞

6336

【答案】C

【詳解1直線后+），+3=0可化為y=直線的斜率為-石，設(shè)傾斜角為a,則tana=-0,

X,.10<a<a=—,故選C.

3

2.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S,,,若%+%=14,則Sg=（）

A.20B.35C.45D.63

【答案】D

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合求和公式即可求解.

【詳解】依題意，數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，所以4+%=2%=14,所以氏=7,

所以怎=（囚；）?99%=63,

故選：D.

3.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是

A.（cosx）'=sinxB.（ln2x）=-C.（3"）=3*log?eD.（/e*）=2xex

【答案】B

【詳解】分析：利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則對(duì)給出的四種運(yùn)算逐一驗(yàn)證，即可

得到正確答案.

11

詳解：（cosx）=-sinx,A不正確；（ln2x）=]-x2=一,B正確;（3、）=3、ln3,C不正確；

（^x2ex）=2xeA+x2ex,D不正確,故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法以及簡單的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，屬于

基礎(chǔ)題.

4.已知雙曲線《爺=1（。>（）,6>0）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（1,后，則該雙曲線的離心率為（）

A.2B.C.>/6D.與

【答案】C

［分析】根據(jù)雙曲線的方程得到漸近線的方程，根據(jù)一條漸近線所經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到a,b的關(guān)系,

進(jìn)而利用e=￡=求得離心率.

a\a~

【詳解】因?yàn)闈u近線y=2x經(jīng)過點(diǎn)(1,石)，所以2=從而e。區(qū)=#.

aaVa2

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬基礎(chǔ)題.

5.函數(shù)f(x)=(x2-2x)e'的圖像大致是()

【答案】C

【分析】運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)，極值點(diǎn)，單調(diào)性即可解決.

【詳解】解：由/*)=0得x=0或x=2,故BD錯(cuò)；

又((x)=(x2_2)e”,

所以,當(dāng)x＜-夜或x＞及時(shí)，制勾＞0;當(dāng)-夜＜x＜應(yīng)時(shí)，r(x)＜0,

所以/(x)在(-co,-^2)和(友,+可上單調(diào)遞增，在(-72,72)上單調(diào)遞減，

所以，f(x)在x=-0處取得極大值，在工=應(yīng)處取得極小值，故A錯(cuò).

故選：C

6.已知橢圓三+＞2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為片，鳥，點(diǎn)尸在橢圓上且滿足麗.和=0,則百巴的面積為()

4

A.@B.3C.1D.2

32

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，分析可得/6尸尸2=],由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義可得IPKI+IP6h2a=4,

IP/-|2+|PF,|2=(2C)2=12,將兩式聯(lián)立可得IPfjd"I的值，由三角形面積公式計(jì)算可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)P在橢圓上，滿足西?%=0,』F\PF】=g

又由橢圓的方程為三+丁=1,其中。2=4一1=3,

4

則有IPKI+IP瑪|=2a=4,|PFj+|PE|2=(2c)2=12,

聯(lián)立可得1尸耳HP死1=2,

則4耳「尸2的面積S=gx|PKHPg=l；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及勾股定理與三角形的面積，關(guān)鍵是掌握橢圓的幾何性質(zhì).

7.如圖，在四棱錐P-ABCD中，P4_L平面ABC。，M,N分別為PC,PD上的點(diǎn)，且麗=2祝,

PN=ND，^NM=xAB+yAD+zAP,貝ljx+y+z的值為()

225

A.—B.-C.1D.一

336

【答案】B

【分析】以｛萬，而，萬｝為基底表示而7,由此求得x，y，z,進(jìn)而求得x+y+z.

【詳解［NM=AM-AN=AC+CM-^(AD+AP')

=AB+AD+-CP--AD--AP

322

=AB1ADL(AP-AC)--AP

+2+3、>2

=AB+-AD+-AP--AC--AP

2332

=荏+;而T通+孫咨

=IAB+-AD--AP,

366

“72112

所以x=7，y=>z=_[X+y+z=；.

3663

故選：B

8.若函數(shù)/。)=依-N工在區(qū)間(2,+00)上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

A.(-00,2]B.卜°0，；C.[2,+8)D.；，+8)

【答案】D

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x>2時(shí)，尸(“20恒成立，參變分離后，求。的取值范圍.

【詳解】r(x)=a-[=『，由題意可知，f\x)>Q,當(dāng)xe(2,”)時(shí)恒成立，

即分一120恒成立，得，xe(2,-K?),

I戈/max

所以江上

故選：D

9.圓/+y2+4x-12y+l=0關(guān)于直線依一加+6=0(a>08>0)對(duì)稱，則最小值是()

3230-16

A.—B.—C.—D.2vr3

333

【答案】A

【分析】先求出圓心，得到圓心(-2,6)在直線奴-分+6=0(4>03>0)上，進(jìn)而求出]+匕=1,利

用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【詳解】丁+/+412丫+1=0變形為(x+2y+(y-6)2=39,

故圓心為(-2,6),

因?yàn)閂+y2+4x-12y+l=0關(guān)于直線or-力+6=0(。＞()力＞0)對(duì)稱,

所以圓心(一2,6)在直線5一力+6=0(a>()力>())上,

即—2a—6匕+6=0,所以一+b=l,

3

2626a+〃=2+6+孫生=”+以竺

—i—=—+-

abab)3abh3aclb

因?yàn)閍>0,/?>0,

2b2。、c12b2a.2b2a

所以"+行之氣1.工"二4’當(dāng)且n僅當(dāng)了=石'

即4=/,='時(shí)，等號(hào)成立，

4

2632

所以一+:之:-.

ab3

故選：A

10.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有女子善織，日增等尺，三日織9尺,

第二日、第四日、第六日所織之和為15尺，則其七日共織尺數(shù)為幾何？”大致意思是廣有一女子善于

織布，每日增加相同的尺數(shù)，前三日共織布9尺，第二日、第四日、第六日所織布之和為15尺，問

她前七日共織布多少尺？”()

A.28B.32C.35D.42

【答案】C

【分析】該女子每日織布的尺數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記為｛%｝，進(jìn)而得5,再解方程，并

計(jì)算前7項(xiàng)和即可.

【詳解】解：由題知，該女子每日織布的尺數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記為｛4｝,

設(shè)其每日增加的尺數(shù)為d,其前“項(xiàng)和為s”,

%+%+。3=93a,+3d=9d=l

所以,,即3；+9"=15'解得,

a2+4+牝=154=2

所以，她前七日共織布邑=74+21〃=14+21=35尺.

故選：c

11.函數(shù)/(x)=Y+依2+笈+/在x=l處有極值為10,那么“，方的值為()

A.4,-11B.-3,3

C.4.-11或-3,3D.3,3

【答案】A

【分析】由題意可知由此可求出。力，并驗(yàn)證即可求解.

【詳解】f\x)=3x2+2ax+b,

，⑴=0[3+2a+b=0

由題意可知)「押?,⑺，

[/(1)=10[1+a+b+a-=10

[h=-3-2a[a=4(a=-3

則2..n'解得匕”或〃Q，

[a-a-\2=0[p=-ll[b=3

當(dāng)《二；時(shí),r(x)=3(x-l)2>0,

U_D

??.在X=1處不存在極值，不符合題意;

\a=4

②當(dāng)b=-ll時(shí)’/'(x)=3f+8x—11=(3x+ll)(x—l),

r(x)<0,xe(l,-K?),f^x)>0,符合題意.

“I,

［b=-ll

故選：A.

12.在數(shù)列｛a,,｝中，若見;且對(duì)任意的“eN*有外^耍，則使數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和S“〈黑成

立的〃最大值為()

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

【分析】由題知數(shù)列傳［是等比數(shù)列，公比為?首項(xiàng)為進(jìn)而得為=〃?］；］,再根據(jù)錯(cuò)位相減

法得"=2+2).出”，進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為(〃+2)?(Ij>\令么=(〃+2)1g)

,再結(jié)合其

單調(diào)性求解即可.

【詳解】解：因?yàn)閷?duì)任意的〃dN*有

所以即數(shù)列［%］是等比數(shù)列，公比為;，首項(xiàng)為

n+12n［nJ22

所吟H'『”｛｛I，

所以，S,=lx(J+2x(g)+3x(；)+…++〃[g)

；，=唱+2x(5+3x(；)+...+(1).1)+嗚)，

所以;s,=(；)+({)+({)+…+({|H+l

所以S,,=2-(〃+2)]￡|”,

?63,,c\CY63c1

所rr以rlS”(二即Bn為i2—(〃+2>|—|<—=2-----

32'J{2)3232

所以(w+2〉

令=(〃+2〉

則%=("+3)(；)即%<〃，

所以也｝為單調(diào)遞減數(shù)列,

1Y514yC丫1

因?yàn)楫?dāng)”=8時(shí),(8+2).3卜面>啦=示'相足(〃+2)?圖》方

當(dāng)”=9時(shí),(9+2>0嘿，不滿足(〃+2〉11

>一，

232

所以(〃+2)EJ』成立的〃最大值為8,

所以，數(shù)列｛《,｝前〃項(xiàng)和5?<^|成立的n最大值為8.

故選：B

二、填空題

13.不論用為何實(shí)數(shù)，直線/：(帆-1口+(2"-3)、+%=0恒過定點(diǎn).

【答案】(一3,1)

【分析】直線/方程轉(zhuǎn)化為，〃(x+2y+l)-(x+3y)=0,再根據(jù)直線系方程求解即可.

【詳解】解：將直線/：(機(jī)一l)x+(2m-3)y+，”=0方程轉(zhuǎn)化為m(x+2y+l)—(x+3y)=0,

所以直線/過直線x+2y+l=0與x+3y=0的交點(diǎn),

所以，聯(lián)立方程,解得pi

[x+2y+l=0[x=-3

所以，直線/：(，〃-l)x+(2w-3萬+機(jī)=0恒過定點(diǎn)(-3,1)

故答案為：(-3,1)

14.已知向量2=(0,2,1),*=(1,-1,2),則忖+,=.

【答案】而

【分析】先利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算得到2+9=(L1,3),進(jìn)而求出模長.

【詳解】￡+石=(0,2,1)+(1,-1,2)=(1,1,3),

所以1+.=6+1+9=布.

故答案為：JTT.

15.已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，且F到雙曲線=i漸近線的距離

3

為也,則拋物線C的方程為.

2

【答案】V=4x

(分析】根據(jù)題意設(shè)拋物線方程為/=2Px(p>0),由于雙曲線漸近線方程為屈±y=(),利用點(diǎn)到

直線的距離公式求得P的值，即可得拋物線C的方程.

【詳解】解：已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，則設(shè)拋物線方程為：

y2=2px(p>0),

則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為44,o1,又產(chǎn)到雙曲線V-上=1漸近線的距離為也，

<2)32

雙曲線中/=1,〃=3,所以。=1力=6，則漸近線方程為：6r±y=0

r+xP

所以蟲=_^_1=,解得。=2或。=-2(舍)，

2位

則拋物線C的方程為y2=4x.

故答案為：y2=4x.

16.已知函數(shù)〃x)=xe*-e*,函數(shù)g(x)=wx-m(m>0),若對(duì)任意的占e[-2,2],總存在々?-2,2]使

得了(xj=g(9)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

【答案】［e2,+oo)

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷f(x)的單調(diào)性求出/(x)的最值，即可得“X)的值域，由g(x)單調(diào)性可得

g(x)的值域，由題意可得/(x)在［-2,2］的值域是g(x)的值域的子集，根據(jù)包含關(guān)系列不等式組即

可求解.

【詳解】由/(x)=xex—e'可得/'(x)=ex+止、—e'=心',

當(dāng)x>0時(shí)，如)>0；x<0時(shí)，,f(x)<0；

所以/(x)在(p,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃xL=〃0)=T，

因?yàn)?(一2)=-2e2-c2=-3e-2,/(2)=2/-e?=e),

可得〃x)在［-22］的值域?yàn)?

由g(x)=，nr-，w(，”>0)在［一2,2］遞增，

可得g(x)的值域?yàn)椋?3也加］,

由對(duì)任意的先?-2,2］,總存在吃口一2,2］,使得八%)=g(%),

可得［—1,白=［一3加,何，所以可得近e?,

實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是32,+00).

故答案為：［e),+8).

三、解答題

17.已知直線52x-y-\=0,直線/經(jīng)過兩條直線//：x+y-4=0和8x-y+2=0的交點(diǎn).

(1)若/〃4求/的直線方程；

(2)若若人5求/的直線方程.

【答案】⑴2x-y+l=0

⑵x+2.y-7=0

【分析】先求出//與，2的交點(diǎn)坐標(biāo).再分別由/〃此/3求出直線/方程即可.

x+y-4=0

【詳解】（1）由x-y+2-O'符jy=3

；.//與/2的交點(diǎn)為（1，3）

設(shè)與直線2x-y-l=0平行的直線方程為2x-y+c=0,

則2—3+c=0,

/.c=l

...所求直線方程為2x-y+l=0.

（2）設(shè)與直線2x-y-l=0垂直的直線方程為x+2y+c=0

則l+2x3+c=0,解得c=—7

.??所求直線方程為x+2y-7=0.

18.如圖，在直三棱柱A/8/G-ABC中，AC1AB,4c=AB=4,44尸6,點(diǎn)E、尸分別為CA/、AB的

（1）證明:“〃平面8CGA；

（2）求與平面AE尸所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）上叵.

65

【分析】（1）通過證明EF//BG來證得EV〃平面BCC4.

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面AE尸的法向量來計(jì)算出8/與平面

所成角的正弦值.

【詳解】(1)如圖，連接EG、BCi,

因?yàn)槿庵鵄/B/G-A8C為直三棱柱，

所以E為AG的中點(diǎn).

又因?yàn)閺V為4B的中點(diǎn)，所以EF〃BG.

又EF0平面BCC/Bj,BC/u平面BCC/B/,所以EF7/平面BCGg.

(2)以人為原點(diǎn)，A/。、AM4/A所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則A(0,0,6),B/(0,4,0),EQ,0,3),F(0,2,6),

所以麗=(0,-2,6),AE=(2,0,-3),AF=(0,2,0),

設(shè)“，.平一面AEF的,,法向量r=為,〃-=(/x,y,z、),則r,｛n-汴AE-2-x—3z=0

'7[n-AF=2y=0

令43,得”=(3,0,2),

19.已知數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛〃｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，且4=伉=1,%+打=8,a5=b3.

(1)求數(shù)列也｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)若c.=a/“(〃eN*),求數(shù)列｛5｝的前"項(xiàng)和工,.

【答案】(1)a?=l+2(n-l)=2/7-l；b?=3n-'；(2)7；,=(n-1).3"+1

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛”“｝的公差為d,正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃,｝的公比為4,9>0,由等差數(shù)列和等

比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公差和公比，即可求出數(shù)列｛%｝和｛"｝的通項(xiàng)公式;

(2)先由(1)求得4也,再利用錯(cuò)位相減法求其前”項(xiàng)和即可.

【詳解】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

正項(xiàng)等比數(shù)列出,｝的公比為4，4>0,

由可得夕2

4=4=1,a3+b2=8,%=4，1+2〃+=8,l+4d=q,

解得d=2,g=3(d=6,q=_5舍去)，

則％=1+2(〃-1)=2〃-1；%=3"T；

(2)由(1)知:a?b?=(2n-l).3"-',

.?.7；=lx30+3x3'+5x32+...+(2"-l).3"T,

又37；=1x3,+3x32+…+(2”-3).3"T+(2M-1).3",

兩式相減得：2

-2T=1+2(3'+3+...+3”-')-(2"-1).3"=1+2x"C])+(1_2n).y,

1-3

整理可得：7；,=(?-1).3"+1,

20.己知函數(shù)f(x)=xlnx.

(I)求/(x)的最小值;

(H)若對(duì)所有X..1都有“X)..如-1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(I)最小值一;(II)(9』］

【分析】(I)由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，研究函數(shù)的單調(diào)性，再求其最值，

(II)構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx+1,由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求函數(shù)的最值即可得解.

【詳解】解：(I)的定義域?yàn)?0,+紇)，〃x)的導(dǎo)數(shù)廣(耳=1+1叱令用工)>0,

解得x>:;令/(x)<0,解得0<x<:.從而/(x)在(0,j單調(diào)遞減，在(5+8)單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)時(shí)，/(x)取得最小值

(H)依題意，得/(X)..依-1在［1,飾)上恒成立，即不等式4,lnx+(對(duì)于xe［l,+8)恒成立.

令g(x)=lnx+L,則g'(x)=4y=當(dāng)x>l時(shí)，因?yàn)間'(x)一2)>0,

XXX%kXJX\XJ

故g(x)是(1，+8)上的增函數(shù)，所以g(x)的最小值是g⑴=1,

從而a的取值范圍是(3,1].

【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式，屬中檔題.

21.己知橢圓cJ+[=l(a>6>0)的離心率為由且過點(diǎn)

(1)求橢圓C的方程.

(2)若點(diǎn)A,8分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線/經(jīng)過點(diǎn)3且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A,B的

任意一點(diǎn)，直線AP交/于點(diǎn)如圖所示.設(shè)直線的斜率為人，直線8P的斜率為％,求證：hk2

為定值.

【答案】⑴三+￡=1;

43

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)橢圓離心率、所過的點(diǎn)及其參數(shù)關(guān)系求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程.

(2)設(shè)尸(為,%)(%/0),寫出直線小的方程，進(jìn)而求做坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)式求勺、&2,結(jié)合戶在

橢圓上即可證結(jié)論.

【詳解】(1)由橢圓的離心率0=￡=1，則a=2c,則4=。2-,2=3<2,

a2

將E代入橢圓方程：+=解得：c=l,貝Ua=2,b=6

22

...橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：上+匯=1;

43

(2)由(1)知：A(—2,0),8(2,0),設(shè)P(%,%)(%H0),

(x+2).令x=2得：M2,也匕

則直線AP的方程為：

I與+2

一%

則—