連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

第二章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換1周期信號(hào)的頻譜分析——傅里葉級(jí)數(shù)FST斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)有限;極大值和極小值的數(shù)目有限；1信號(hào)絕對(duì)可積f(t)dt。T1(2)傅里葉級(jí)數(shù)：正交函數(shù)線性組合.1成傅里葉級(jí)數(shù)。(ii)系數(shù)計(jì)算公式：1111111(c)n次諧波的正弦分量:bnTf(t)sinn1tdt,nN1nn(iii)系數(shù)a和nnnntn(e)cdab(f)arctgbnnnan(g)arctgannnbn(5)復(fù)指數(shù)形式的FS:(i)展開(kāi)式:f(t)Fnejn1t1iiFnTf(t)ejn1tdt,nZ1??n-n,-nnF?n-n,-nn??Fn+F-n=cn=dn,(n豐0)n-nn?Fn-n-nn?Fn-F-n=bn/jn(iv)F關(guān)于n是共扼對(duì)稱的,即它們關(guān)于原點(diǎn)互為共軛．nnnn(v)正負(fù)n(n非零)處的F的幅度和等于cnnn111111111111(7)周期信號(hào)的傅里葉頻譜:SiiiQ相位頻譜，簡(jiǎn)稱FS相位譜．(iv)周期信號(hào)的FS頻譜僅在一些離散點(diǎn)角頻率no1(或頻率nf1)上有值.(v)FS也被稱為傅里葉離散譜,離散間隔為o=2"/T(vi)FS譜、FS幅度譜和相位譜圖中表示相應(yīng)頻譜、頻譜幅度和頻譜相位的離散線段被稱為譜線、幅度譜線和相位譜線，分別表示FS頻譜的值、幅度和相位(vii)連接譜線頂點(diǎn)的虛曲線稱為包絡(luò)線,反映了各諧波處FS頻譜、幅度譜和相位譜隨分量的變化情況。n(viii)稱c為單邊譜，表示了信號(hào)在諧波處的實(shí)際分量大小。n (ix)稱F為雙邊譜，其負(fù)頻率項(xiàng)在實(shí)際中是不存在的。正負(fù)頻率的頻譜幅度相n(8)周期矩形脈沖序列的FS譜的特點(diǎn)：(i)譜線包絡(luò)線為Sa函數(shù);(ii)譜線包絡(luò)線過(guò)零點(diǎn):(其中o=2"1(iii)在頻域,能量集中在第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)之內(nèi)。(iv)帶寬bo=2"/T或bf=1/T只與矩形脈沖的脈寬T有關(guān),而與脈高和周期均無(wú)F(o)F(o)11n=_wF(o)=jwf(t)e_jotdtF[f(t)]_w是信號(hào)f(t)的頻譜密度函數(shù)或FT頻譜，簡(jiǎn)稱為頻譜(函數(shù))。(4)FT與IFT具有唯一性.如果兩個(gè)函數(shù)的FT或IFT相等，則這兩個(gè)函數(shù)必然相等。(5)FT具有可逆性。如果F[f(t)]=F(o)，則必有F_1[F(o)]=f(t);反之亦然。(i)稱F(o)為幅度頻譜密度函數(shù),簡(jiǎn)稱幅度譜,表示信號(hào)的幅度密度隨頻率變化的幅(ii)稱(ii)稱Q(o)=Arg(F(o))為相位頻譜密度函數(shù),簡(jiǎn)稱相位譜函數(shù),表示信號(hào)的相位隨頻率變化的相頻特性.FT部和虛部：FT部和虛部：(8)?FT存在的充分條件：時(shí)域信號(hào)f(t)絕對(duì)可積,即jwf(t)dt<w。_w注意：這不必要條件。有一些并非絕對(duì)可積的信號(hào)也有FT。FSFT分析對(duì)象頻率定義域函數(shù)值意義周期信號(hào)離散頻率,諧波頻率處頻率分量的數(shù)值非周期信號(hào)連續(xù)頻率，整個(gè)頻率軸頻率分量的密度值_w00a+jo_w00a+jot0O0t(a)偶雙邊指數(shù)信號(hào)0t0O0t(a)偶雙邊指數(shù)信號(hào)0 (2)-幾/2f(t)10(a)(b)(c)圖1(a)單邊指數(shù)信號(hào)(b)幅度譜(c)相位譜)(2?偶雙邊指數(shù)信號(hào)：f(t)=e一at(a>0)ww??=j0e一(一a+jO)tdt+jwe一(a+jO)tdt=1+1=2a，為實(shí)偶函數(shù)．一w0a一jOa+jOa2+O22222ff(t)1(aT(3)矩形脈沖信號(hào):f(t)=EG(t)(脈寬為T(mén)、脈高為E)T??kkff(t)=EGT(t)E0T-T0TOTTa(b)?圖3(TTa(b)??矩形脈沖FT的特點(diǎn)：aaaO(i)FT為Sa函數(shù),原點(diǎn)處函數(shù)值等于矩形脈沖的面積;f(t)TBO0t00(a)(b)圖4(a)信號(hào)的等效脈寬(b)等效帶寬)4(?符號(hào)函數(shù)：不滿足絕對(duì)可積條件,但存在FT。?F(O)=jwSgn(t)e_jOtdt=2_wjOOO10ta(b)圖5(a)符號(hào)函數(shù)(b)頻譜_w均勻譜/白色譜：頻譜在任何頻率處的密度都是均勻的。強(qiáng)度為E的沖激函數(shù)的頻譜是均勻譜,密度就是沖激的強(qiáng)度.單位沖激信號(hào)及直流信號(hào)的頻譜函數(shù)總結(jié):IFT定義FT定義今)6(???jOj1010t(")0o圖6單位階躍函數(shù)及其幅度譜(1)線性性:Fxnanfn(t)=xnanF[fn(t)]線性性包括:齊次性F[af(t)]=aF[f(t)]；疊加性F[f1(t)+f2(t)]=F[f1(t)]+F[f2(t)]。(2)奇偶虛實(shí)性:偶一偶奇一奇實(shí)偶一實(shí)偶(FT可變?yōu)橛嘞易儞Q)實(shí)奇一虛奇(FT可變?yōu)檎易儞Q)實(shí)信號(hào)的FT:(實(shí)信號(hào)可分解為：實(shí)偶+實(shí)奇)實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù):實(shí)一實(shí)偶+j實(shí)奇幅度譜為偶函數(shù),相位譜為奇函數(shù):實(shí)一實(shí)偶EXP(實(shí)奇)實(shí)信號(hào)或虛信號(hào)的FT幅度譜偶對(duì)稱,幅度譜函數(shù)是偶函數(shù)。軛性：時(shí)域時(shí)域頻域共扼f*(t)F*(o)f*(—F*(o)2"-w2"oo-wFgojwgoejotdoo里葉變換，結(jié)果是o-wIFT可以通過(guò)FT來(lái)實(shí)現(xiàn)。(5)尺度變換特性：F[f(at)]=1F(|o)|,(a豐0)a(a)此性質(zhì)表明:時(shí)域壓縮對(duì)應(yīng)頻域擴(kuò)展、時(shí)域擴(kuò)展對(duì)應(yīng)頻域壓縮。o時(shí)移不影響幅度譜,只在相位譜上疊加一個(gè)線性相位。a(a)a(a)頻譜搬移：時(shí)域信號(hào)乘以一個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)后,頻譜被搬移到復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻率位置處。利用歐拉公式，通過(guò)乘以正弦或余弦信號(hào)達(dá)到頻譜搬移目的。(8)微分特性:?時(shí)域微分:F|f(t)=joF(o)頻域微分:dF(o)=F[(-jt)f(t)]?do如果連續(xù)運(yùn)用微分特性,則???Ff()t=(jo)nF(o)don(9)積分特性：o-w-jt?)10(?卷積定理：tt幅度譜的平方是一對(duì)傅里葉變換對(duì))。-w2"-w-w(12)帕斯瓦爾定理:jwf(t)2dt=1jwF(o)2do=j-w2"-w-w5周期信號(hào)的FT余弦信號(hào)的FT：?F[sino0t]=j"[6(o+o0)-6(o-o0)]??余弦信號(hào)和正弦信號(hào)的頻譜如圖7所示:0(")(")0(")(-")O(i)設(shè)周期為的周期信號(hào)f(t)在第一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)為f0(t),則111nn(b)沖激串FS為：編T1(t)=xwanejnO1tnn11(iii)一般周期信號(hào)的FT:(v)關(guān)系圖:ETfETEFTEt0tFnf(t)02"/TO………-T1-T/20T/2T1tFT02"/TO圖8非周期信號(hào)FT與周期信號(hào)FS/FT比較6抽樣信號(hào)的FT)理想抽樣前后信號(hào)頻譜的變化如圖9所示:(3)結(jié)論1：按間隔T進(jìn)行沖激串抽樣后信號(hào)的傅里葉變換,是周期函數(shù),是原函數(shù)傅里葉sss(4)結(jié)論2：時(shí)域離散頻