三角函數(shù)以及極限公式整合

?三角函數(shù)公式整合:兩角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=SinAcosB-CosAsinBcos(A+B)=CosAcosB-SinAsinBCos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)∕(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)∕(1+tanAtanB)cot(A+B)=(CotACotB-1)∕(cotB+cotA)Cot(A-B)=(CotACotB+1)/(CotB-CotA)倍角公式Sin2A=2SinA?CοsACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)和差化積sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)∕2]cοs[(θ-φ)∕2]sinθ-sinφ=2cοs[(θ+φ)∕2]sin[(θ-φ)∕2]cοsθ+cοsφ=2cοs[(θ+φ)⑵cοs[(θ-φ)∕2]cοsθ-cοsφ=-2sin[(θ+φ)∕2]sin[(θ-φ)∕2]tanA+tanB=sin(A+B)/CosACosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/CosACosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)積化和差SinaSine=-1∕2*[cοs(α+β)-cοs(α-β)]CoSaCoSe=1∕2*[cοs(a+β)+cοs(a-β)]SinaCoSe=1∕2*[sin(a+β)+sin(a-β)]CoSaSine=1∕2*[Sin(a+β)-Sin(a-β)]誘導公式sin(-a)=-SinaCos(-a)=CoSaSin(π∕2-a)=CoSacos(π∕2-a)=SinaSin(π∕2+a)=CoSacoS(π∕2+a)=-SinaSin(π-a)=Sinacos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtanA=sinA/cosAtan(π∕2+α)=-cotαtan(π∕2—α)=cotαtan(π—α)=-tanαtan(π+α)=tanα誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限萬能公式sina=2總理(Ia9+￡口司”(厘/2)]cosa-[1一加5甩口(口/2)]f[l÷s∕(t3/2)]切用以=2齒理J2)/[1-(a/2)]1.極限的概念(1)數(shù)列的極限：v?>0,3N(正整數(shù))，當n>N時，恒有IX—Al<?

nlimX=An

n→∞或X→A(n→∞)n幾何意義：在(A-?,A+?)之外，￡｝至多有有限個點xi,X2,…,XN(2)函數(shù)的極限X→∞的極限：vε>0,3X>0，當∣x∣>X時，恒有If(X)—個?limf(X)=A 或f(X)→A(x→∞)X→∞幾何意義：在(—X<X<X)之外，f(X)的值總在(A—?,A+?)之間。X→X的極限：v?>0,3δ>0,當0<

0X一X∣<δ時，恒有If(X)—w?limf(X)=A 或f(X)→A(x→X)0X→X0幾何意義：在X∈(X—b,X)(X0(3)左右極限0,X0+δ)鄰域內(nèi),f(X)的值總在(A-?,A+?)之間。0U左極限：v?>0當X0—δ<X<X0時，恒有If(X)—Al<?,3δ>0,右極限：?ε>0,極限存在的充要條件：limf(x)=Axfx一03δ>0,limf(x)=AX-X+0或f-(X0)=f(X0-0)=a<X<XO+δ時，恒有If(X)-A∣<ε或 f+(X0)=f(X0+0)=Alimf(X)=A=limf(X)當X0x→xOx→x+(4)極限的性質(zhì)唯一，性：若limf(X)=A,則A唯一XfX0保號性：若limf(X)=A,則在X的某鄰域內(nèi)0XfX0A>O(A<O)nf(X)>O(f(X)<0)；f(X)≥0(f(X)≤0)nA≥0(A≤0)有界性：若limf(X)=A,則在X0的某鄰域內(nèi)，f(X)有界XfX0無窮小與無窮大(1)定義：以0為極限的變量稱無窮小量；以8為極限的變量稱無窮大量；同一極限過程中,無窮小(除0外)的倒數(shù)為無窮大；無窮大的倒數(shù)為無窮小。注意：0是無窮小量；無窮大量必是無界變量,但無界變量未必是無窮大量。例如當X→∞時，XSinX是無界變量，但不是無窮大量。(2)性質(zhì)：有限個無窮小的和、積仍為無窮小；無窮小與有界量的積仍為無窮??；limf(X)=A成立的充要條件是f(X)=A+α(x∈(X-δ,X+δ)，limα=0)X→X 0 00(3)無窮小的比較(設(shè)limα=0，limβ=0)：若limβ=0，則稱β是比ɑ高階的無窮小，記為o(α)；特另IJα稱為α+β=α+o(α)ɑ的主部β若lim=∞，則稱β是比ɑ低階的無窮?。花沪氯鬺im=。，則稱β與α是同階無窮小；ɑ若limβ=1,則稱β與α是等價無窮小，記為β~α；ɑ若lim-β-=C,(C≠0,k>0)則稱β為α的k階無窮?。沪羕(4)無窮大的比較：若limU=∞,limV=∞，且limU=∞，則稱u是比V高階的無窮大，記為o(v)；特別IJU稱為U+v=o(v)+v的主部11等價無窮小的替換a，若同一極限過程的無窮小量a?a,β?β'，且Iim，存在，則PUm制=Iima，f(X)β'g(X)常用等價無窮小(lima=0)sin叵]

tan叵I

arcsin回

arctan回

ln(1+α)

e口—1-0K1—cos0~202J1+a—1~—IaIV— 2」(1+IaI)n—1~—IaI

na口—1~回lna注意：(1)無論極限過程，只要極限過程中方框內(nèi)是相同的無窮小就可替換;(2)無窮小的替換一般只用在乘除情形，不用在加減情形；(3)等價無窮小的替換對復合函數(shù)的情形仍實用，即若limf(a)=f(0)，a~a，，則f(0)~f(0)極限運算法則(設(shè)limf(X)=A，limg(X)=B)(1)limf(X)±glimf(X)±limg(X)=A±B(2)lim[f(X)?glimf(X)?limg(X)=A?B特別地，lim?cf(X)]=Climf(X)，limf(x)1=Eimf(x)1=Anf(X) limf(X)A(3)lim±--=——-=—(B≠0)g(x) limg(x)B5.準則與公式(lima=0，limβ=0)準則1：(夾逼定理)若φ(X)≤f(X)≤ψ(X)，則limφ(X)=limψ(x)=A n limf(x)=A準則2：(單調(diào)有界數(shù)列必有極限)若｛X｝單調(diào)，且X≤M(M>0)，則limX存在(｛X｝收斂)n n n nn→∞準則3：(主部原則)lima+o(a)

β^O(β)=lima?β,∞+o(∞) o(∞)lim—1 1——=lim—t——∞+o(∞)o(∞)2 1 2 1 2公式L1.sinx1Iim =1x→0X=≠>Iim岬二1

0公式2：1Iim(I+x)Xlim(l+f0])?<X—>0lim(l+l)n>=e=≠><Iim(I+j)口>=公式3：1l?！?1+Cl”=Glimaoo一般地，lim(l+ɑ)/=βiimα√0n<mr 1.aχn+ax∏-ι++a1,ax∏a公式4：Iim—? θ-=Iim—?—=<fn-m%f00bXm+bXrn-?++b XfOobXrnbm m-1 0 mm???∞n>m6.幾個常用極限(q>0,〃wl)…(1)Iim√β^=1,Iim√7ι=1；OO 77-00(2)IimXX