線段的垂直平分線與角平分線

/線段的垂直平分線與角平分線[知識框架]1、線段垂直平分線的性質(zhì)〔1垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.定理的數(shù)學表示：如圖1.∵CD⊥AB.且AD＝BD∴AC＝BC.定理的作用：證明兩條線段相等〔2線段關(guān)于它的垂直平分線對稱.2、線段垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.定理的數(shù)學表示：如圖2.∵AC＝BC∴點C在線段AB的垂直平分線m上.定理的作用：證明一個點在某線段的垂直平分線上.3、關(guān)于線段垂直平分線性質(zhì)定理的推論〔1關(guān)于三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)：三角形三邊的垂直平分線相交于一點.并且這一點到三個頂點的距離相等.性質(zhì)的作用：證明三角形內(nèi)的線段相等.〔2三角形三邊垂直平分線的交點位置與三角形形狀的關(guān)系：若三角形是銳角三角形.則它三邊垂直平分線的交點在三角形內(nèi)部；若三角形是直角三角形.則它三邊垂直平分線的交點是其斜邊的中點；若三角形是鈍角三角形.則它三邊垂直平分線的交點在三角形外部.反之.也成立。4、角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.定理的數(shù)學表示：如圖4.∵OE是∠AOB的平分線.F是OE上一點.且CF⊥OA于點C.DF⊥OB 于點D.∴CF＝DF.定理的作用：①證明兩條線段相等；②用于幾何作圖問題；角是一個軸對稱圖形.它的對稱軸是角平分線所在的直線.5、角平分線性質(zhì)定理的逆定理：角平分線的判定定理：在角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上.定理的數(shù)學表示：如圖5.∵點P在∠AOB的內(nèi)部.且PC⊥OA于C.PD⊥OB于D.且PC＝PD.∴點P在∠AOB的平分線上.定理的作用：用于證明兩個角相等或證明一條射線是一個角的角平分線注意角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的區(qū)別和聯(lián)系.6、關(guān)于三角形三條角平分線的定理：〔1關(guān)于三角形三條角平分線交點的定理：三角形三條角平分線相交于一點.并且這一點到三邊的距離相等.定理的數(shù)學表示：如圖6.如果AP、BQ、CR分別是△ABC的內(nèi)角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分線.那么：①AP、BQ、CR相交于一點I；②若ID、IE、IF分別垂直于BC、CA、AB于點D、E、F.則DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于證明三角形內(nèi)的線段相等；②用于實際中的幾何作圖問題.〔2三角形三條角平分線的交點位置與三角形形狀的關(guān)系：三角形三個內(nèi)角角平分線的交點一定在三角形的內(nèi)部.這個交點叫做三角形的內(nèi)心〔即內(nèi)切圓的圓心.7、關(guān)于線段的垂直平分線和角平分線的作圖：〔1會作已知線段的垂直平分線；〔2會作已知角的角平分線；〔3會作與線段垂直平分線和角平分線有關(guān)的簡單綜合問題的圖形.[典型例題]例1、如圖1.在△ABC中.BC＝8cm.AB的垂直平分線交AB于點D.交邊AC于點E.△BCE的周長等于18cm.則AC的長等于〔A．6cmB．8cm C．10cmD．12cm[跟蹤練習]如圖.AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點D.交AC于點E.如果△EBC的周長是24cm.那么BC=_________;如圖.AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點D.交AC于點E.如果BC=8cm.那么△EBC的周長是______;如圖.AB=AC,AB的垂直平分線交AB于點D.交AC于點E.如果∠A=28度.那么∠EBC=___.例2、已知：AB=AC.DB=DC.E是AD上一點.求證：BE=CE.[跟蹤練習]已知：在△ABC中.ON是AB的垂直平分線,OA=OC.求證：點O在BC的垂直平分線.CC例3、在△ABC中.AB=AC.AB的垂直平分線與邊AC所在的直線相交所成銳角為50°.△ABC的底角∠B的大小為_______________。[跟蹤練習]在△ABC中.AB=AC.AB的垂直平分線與AC所在直線相交所得的銳角為40°.則底角B的大小為________________。例4、如圖8.已知AD是△ABC的BC邊上的高.且∠C＝2∠B.求證：BD＝AC＋CD.例5、已知：如圖.點B、C在∠A的兩邊上.且AB=AC.P為∠A內(nèi)一點.PB=PC.PE⊥AB.PF⊥AC.垂足分別是E、F。求證：PE=PF[跟蹤練習]已知：PA、PC分別是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分線.它們交于P.PD⊥BM于D.PF⊥BN于F.求證：BP為∠MBN的平分線。例6、如圖10.已知在直角梯形ABCD中.AB∥CD.AB⊥BC.E為BC中點.連接AE、DE.DE平分∠ADC.求證：AE平分∠BAD.[跟蹤練習]如圖所示.AB=AC.BD=CD.DE⊥AB于E.DF⊥AC于F.求證：DE=DF。例7、如圖11.已知在四邊形ABCD中.對角線BD平分∠ABC.且∠BAD與∠BCD互補.求證：AD＝CD.[課堂練習]1.如圖.AC=AD.BC=BD.則〔A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上結(jié)論均不對2.如果三角形三條邊的中垂線的交點在三角形的外部.那么.這個三角形是〔A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形3.△ABC中.AB的垂直平分線交AC于D.如果AC=5cm.BC=4cm.那么△DBC的周長是〔A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm4.如圖所示.AB//CD.O為∠A、∠C的平分線的交點.OE⊥AC于E.且OE=2.則AB與CD之間的距離等于______________。5.已知.如圖.在△ABC中.AB=AC.O是△ABC內(nèi)一點.且OB=OC.求證：AO⊥BC.6.如圖7.在△ABC中.AC＝23.AB的垂直平分線交AB于點D.交BC于點E.△ACE的周長為50.求BC邊的長.7.已知：如圖所示.∠ACB.∠ADB都是直角.且AC=AD.P是AB上任意一點.求證：CP=DP.8.如圖.AD⊥DC.BC⊥DC.E是DC上一點.AE平分∠DAB．<1>如果BE平分∠ABC.求證：點E是DC的中點；<2>如果E是DC的中點.求證：BE平分∠ABC．9.如圖.在△ABC中.AB=BC=AC.AD⊥BC于D.E、F分別為AB、AC中點．求證：DA平分∠EDF．10.如圖.在直線MN上找一點P.使點P到直線AB和射線OC的距離相等．[課后作業(yè)]1.下列命題中正確的命題有〔①線段垂直平分線上任一點到線段兩端距離相等；②線段上任一點到垂直平分線兩端距離相等；③經(jīng)過線段中點的直線只有一條；④點P在線段AB外且PA=PB.過P作直線MN.則MN是線段AB的垂直平分線；⑤過線段上任一點可以作這條線段的中垂線.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.△ABC中.AB=AC.AC的中垂線交AB于E.△EBC的周長為20cm.AB=2BC.則腰長為________________。3.如圖所示.直線表示三條互相交叉的公路.現(xiàn)在要建一個貨物中轉(zhuǎn)站.要求它到三條公路的距離相等.則可供選擇的地址有〔A.一處 B.二處 C.三處 D.四處4.如圖.在△ABC中.AB=AC.∠A=120°.A