量子力學(xué)基礎(chǔ)()

量子力學(xué)基礎(chǔ)()第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二§16-1波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋

量子力學(xué)中描述微觀粒子的波函數(shù)本身是沒有直接物理意義的,具有直接物理意義的是波函數(shù)的模的平方，它代表了粒子出現(xiàn)的概率。微觀粒子的運動狀態(tài)稱為量子態(tài)，是用波函數(shù)

來描述的，這個波函數(shù)所反映的微觀粒子波動性，就是德布羅意波。（量子力學(xué)的基本假設(shè)之一）玻恩指出：德布羅意波或波函數(shù)

不代表實際物理量的波動，而是描述粒子在空間的概率分布的概率波。

第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二

或概率密度為波函數(shù)是單值的、連續(xù)的和有限的。波函數(shù)允許包含一個任意的常數(shù)因子。歸一化條件微觀粒子的概率波的波函數(shù)是

，那么概率正比于波函數(shù)

和A

(A是常數(shù))描述了同一個量子態(tài)，對于空間任意兩點

和

有第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二態(tài)疊加原理（一個基本假設(shè)）如果波函數(shù)

,

,…都是描述系統(tǒng)的可能的量子態(tài)，那么它們的線性疊加也是這個系統(tǒng)的一個可能的量子態(tài)。宇稱：是描述微觀粒子波函數(shù)在空間反演下所具有的一種對稱性。偶宇稱(或正宇稱)奇宇稱(或負(fù)宇稱)第四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二例1:已知描述粒子的歸一化波函數(shù)為(t,x,y,z)，求在t時刻、在x到x+dx的無限大薄層內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率。解:體積元內(nèi)的概率為該薄層中發(fā)現(xiàn)粒子的概率例2:用電子束進行雙縫衍射實驗，先將狹縫B遮蓋，電子穿過狹縫A到達屏上任意一點P的狀態(tài)為1，后將狹縫A遮蓋，電子穿過狹縫B到達屏上任意一點的P狀態(tài)為2。求將兩狹縫打開，電子同時穿過A和B兩個狹縫到達屏上點P的概率密度。解:由線性疊加，得屏上點P發(fā)現(xiàn)電子的概率密度為第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二§16-2薛定諤方程

一、含時薛定諤方程自由粒子的平面波函數(shù)為根據(jù)德布羅意關(guān)系式，得將上兩式代入前式，得第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二將平面波函數(shù)對時間微商,得二次微商，得式中2稱為拉普拉斯算符。根據(jù)上式和上述等價關(guān)系，得

E

p2

或者

p

自由粒子的動能與動量關(guān)系為由上兩式得到等價關(guān)系為粒子處于力場中時，有所以薛定諤方程第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二二、定態(tài)薛定諤方程因勢場只是坐標(biāo)的函數(shù)，所以有將上式代入薛定諤方程，得由于時間和坐標(biāo)是獨立變量，上式可分成兩個方程。方程1:其解為方程2:定態(tài)薛定諤方程特解為概率密度分布為第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二三、概率守恒和概率流密度矢量概率密度隨時間的變化為將薛定諤方程及其共軛方程代入上式，并利用公式得令將上式代入前式，得概率守恒的微分形式第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二將上式積分，再利用高斯定理，得概率守恒的積分形式

此式表明：在空間某體積V內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率在單位時間內(nèi)的增量，必定等于在同一時間內(nèi)通過V的邊界面S流入體積V的概率。第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二§15-3力學(xué)量的算符表示和平均值

一、力學(xué)量的算符表示量子力學(xué)中描述系統(tǒng)的每一個力學(xué)量對應(yīng)一個算符。與動量相對應(yīng)的算符動量分量的算符與動量平方相對應(yīng)的算符是與能量相對應(yīng)的算符稱為哈密頓算符第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二角動量算符為直角坐標(biāo)系中的分量式球坐標(biāo)系中的分量式角動量平方算符為式中算符第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二角動量平方算符也可以表示為二、本征函數(shù)、本征值和平均值算符是代表對波函數(shù)的一種運算，是把一個波函數(shù)或量子態(tài)變換成另一個波函數(shù)或量子態(tài)。此式為力學(xué)量的本征值方程，常量A稱為力學(xué)量的本征值。引入哈密頓算符后，定態(tài)薛定諤方程可以簡化為量子力學(xué)中，任何一個力學(xué)量的平均值都可以用下式計算第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二§16-3一維勢阱和勢壘問題

一、一維無限深方勢阱

對于一維無限深方勢阱有∞0aU(x)∞勢阱內(nèi)U(x)=0，哈密頓算符為定態(tài)薛定諤方程為令薛定諤方程的解為第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二根據(jù)，可以確定

=0或m，m=1,2,3,。于是上式改寫為根據(jù)，得ka=n，n=1,2,3,…

因為當(dāng)n=0時，必定k=0，定態(tài)薛定諤方程應(yīng)有解得

(x)

Cx+D

所以由此式知：一維無限深方勢阱的能譜是分立譜,這個分立的能譜就是量子化了的能級。基態(tài)的能量為零點能第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二與能量本征值En相對應(yīng)的本征函數(shù)n(x)為

利用歸一化條件，得歸一化波函數(shù)為一維無限深方勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和幾率密度穩(wěn)定的駐波能級第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二二、勢壘穿透和隧道效應(yīng)有限高的勢壘在P區(qū)和S區(qū)薛定諤方程的形式為其中在Q區(qū)粒子應(yīng)滿足下面的方程式式中第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二用分離變量法求解，得(P區(qū))

(Q區(qū))

(S區(qū))在P區(qū)，勢壘反射系數(shù)

在Q區(qū)，勢壘透射系數(shù)

粒子能夠穿透比其動能高的勢壘的現(xiàn)象，稱為隧道效應(yīng)。如圖是在隧道效應(yīng)中波函數(shù)分布的示意圖。隧道效應(yīng)的應(yīng)用：掃描隧道顯微鏡(STM)隧道二極管第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二例1:證明無限深方勢阱中，不同能級的粒子波函數(shù)具有下面正交性的性質(zhì)：即不同能級的波函數(shù)互相正交。解:波函數(shù)取其復(fù)共軛相乘并積分，得第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二把波函數(shù)的正交性和歸一性表示在一起，其中當(dāng)m=n

時,mn

=1

當(dāng)m

n

時,mn

=0

mn

稱為克羅內(nèi)克符號。第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二§16-4一維諧振子問題

一、一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程經(jīng)典力學(xué)中，簡諧振動為系統(tǒng)的勢能為簡諧振子的能量為將勢能形式代入定態(tài)薛定諤方程，得令第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二將變量x變換為所以求解這個方程，并使解滿足束縛態(tài)條件，就可以得到一維諧振子的能量本征函數(shù)和能量本征值。二、一維諧振子的本征函數(shù)和能量本征值波函數(shù)的一般形式為或者式中Hn(

)稱為厄米多項式，具體形式為第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二由此得出n=0,1,2,3,4的厄米多項式分別為由歸一化條件，得時間因子的一維諧振子的定態(tài)波函數(shù)為第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二當(dāng)時，應(yīng)有0，所以上式的解為這表示一維諧振子的能量只能取一系列分立值，并且相鄰能級是等間距的，等于。基態(tài)能量為零點能經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典力學(xué)的結(jié)論，振子是不可能進入x>A的經(jīng)典禁區(qū)。量子力學(xué)中，由于隧道效應(yīng)，粒子可以到達經(jīng)典禁區(qū)，即不存在什么禁區(qū)。第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二圖中畫出了對應(yīng)于量子數(shù)n=0,1,2三種情況的波函數(shù)，以及相應(yīng)的概率密度。由圖可以看出，量子數(shù)n較小時，粒子位置的概率密度分布與經(jīng)典結(jié)論明顯不同。隨著量子數(shù)n的增大,概率密度的平均分布將越來越接近于經(jīng)典結(jié)論。第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二例1:一個電子被束縛在一維無限深勢阱內(nèi)，勢阱寬度為1.0110-10m。求當(dāng)電子處于基態(tài)時對阱壁的平均沖力。解:設(shè)電子的質(zhì)量為me，速度為vx，動量為px

，勢阱寬度為a。則沖力為將算符代入上式，得因電子是處于基態(tài)，則第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二*§16-5氫原子

一、有心力場中的薛定諤方程系統(tǒng)的勢能為哈密頓算符為定態(tài)薛定諤方程為將拉普拉斯算符寫為球坐標(biāo)的形式第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二其中將上式代入前式，得波函數(shù)表示為將上式代入前式，得設(shè)這個常量為，于是由上式，得第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二上式的具體形式是將Y(,)表示為兩個函數(shù)的乘積將上式代入前式，得設(shè)常數(shù)m2，則上式分成兩個方程第二十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二氫原子中電子波函數(shù)(r,,)的三個組成部分R(r)、()和()分別滿足的方程為：二、角動量的本征函數(shù)和相應(yīng)的量子數(shù)方位角波函數(shù)()是上式的解，即()是單值的，滿足()=(

+2)，即m只能取整數(shù)0,1,2,…

第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二根據(jù)歸一化條件，得歸一化系數(shù)為歸一化方位角波函數(shù)為為確保極角波函數(shù)()的有限性，必須滿足

=l(l+1),l=0,1,2,

并且m

l

，即m=0,1,2,…,l

將()和()合并，并正交歸一化，得球諧函數(shù)第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二將

=l(l+1)和球諧函數(shù)代入得將角動量平方算符代入上式，得其本征值為：L2=l(l+1)

動量的本征值為L稱為軌道量子數(shù)或角量子數(shù)，表示電子相對于原子核的角動量的大小。核外電子相對于核的角動量，稱為軌道角動量。第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二球諧函數(shù)Ylm(,)既是算符的本征函數(shù)，也是算符的本征函數(shù)，故有算符的本征值為m=0,1,2,…,l

m稱為磁量子數(shù)，表示電子軌道角動量的z分量的大小。軌道角動量在空間不能任意取向，而只能取某些特定方向的性質(zhì)，稱為角動量的空間量子化。第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二三、徑向波函數(shù)和氫原子的能級將

=l(l+1)代入徑向波函數(shù)R(r)所滿足的方程,得令于是勢能為其中因E<0，將上式代入式，得第三十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二由上式解得的徑向波函數(shù)，為歸一化系數(shù)為式中n=1,2,3,,l=0,1,2,,(n-1)

徑向波函數(shù)Rnl(r)中的也是一個特殊函數(shù)，稱為(l+1-n)階合流超幾何多項式。a的具體形式為第三十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二滿足束縛態(tài)條件時，有由上式可得氫原子的能量本征值為這就是氫原子的能級公式，與玻爾氫原子理論中的能級公式完全一致。從能級公式可以看到，E=0，這就是電離。當(dāng)n=1，即氫原子處于基態(tài)時，能量為第三十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期二四、能量的本征函數(shù)和能級的簡并度En的本征函數(shù)本征函數(shù)nlm(r,,)也就是在一定的主量子數(shù)n、角量子數(shù)l和磁量子數(shù)m時氫原子(或者說氫原子中的電子)所處的量子態(tài)。這個量子態(tài)的本征能量En

只決定于主量子數(shù)n，而與角量子數(shù)l和磁量子數(shù)m無關(guān)。對